2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知某數(shù)列為，按照這個規(guī)律，則該數(shù)列的第10項(xiàng)是（）A. B. C. D.2.已知等比數(shù)列則（）A.8 B.±8 C.10 D.±103.已知兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.4.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則的值為（）A.0 B.3 C.4 D.55.已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B. C. D.6.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，《洛書》上的圖案由個黑白圓點(diǎn)分別組合，擺成方形，南西東北分別有個點(diǎn)，四角各有個點(diǎn)，中間有個點(diǎn)，簡化成如圖的方格，填好數(shù)字后各行、各列以及對角線上的3個數(shù)字之和都等于15．推廣到一般情況，將連續(xù)的正整數(shù)填入的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這樣一個階幻方就填好了，記階幻方對角線上的數(shù)字之和為，則的值為（）A. B. C. D.7.在數(shù)列中，，則（）A.25 B.32 C.62 D.728.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分）9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列說法正確的是（）A.是數(shù)列最小項(xiàng) B.是數(shù)列的最大項(xiàng)C.是數(shù)列的最大項(xiàng) D.當(dāng)時，數(shù)列遞減10.已知等差數(shù)列公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.當(dāng)時，取得最小值D.當(dāng)時，滿足最大整數(shù)的值為2511.已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，將數(shù)列的第1項(xiàng)，第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第項(xiàng)抽出來，按原順序組成一個新數(shù)列，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對恒成立，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.D.實(shí)數(shù)的取值范圍是(?4,16)三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________13.等比數(shù)列an中，，，令，則數(shù)列bn前項(xiàng)和為______.14.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則__________．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15.已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和16.已知直線過定點(diǎn)，且直線在，軸上的截距依次為和.（1）若直線在，軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于，兩點(diǎn)，求直線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形面積最小時直線的方程.17.已知數(shù)列滿足，，．?dāng)?shù)列滿足，，其中為數(shù)列是前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：．18.記是公差不為的等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列bn滿足，且.（1）求an（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn通項(xiàng)公式；（3）求證：對于任意正整數(shù)，19已知數(shù)列滿足：，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中.如果的一階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“絕對差異數(shù)列”.判斷數(shù)列是否為“絕對差異數(shù)列”并給出證明.（3）設(shè)，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的，恒成立，求的取值范圍.2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知某數(shù)列為，按照這個規(guī)律，則該數(shù)列的第10項(xiàng)是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，代入即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列，可化為，所以數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為，所以該數(shù)列的第10項(xiàng)是.故選：D.2.已知等比數(shù)列則（）A.8 B.±8 C.10 D.±10【正確答案】A【分析】運(yùn)用等比中項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.【詳解】根據(jù)等比中項(xiàng)知道，求得，則.又，則.故選：A.3.已知兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先利用斜率公式求出，再由傾斜角斜率的取值圖象數(shù)形結(jié)合求得即可.【詳解】由圖象結(jié)合題意可知：，觀察到直線過點(diǎn)與線段有公共點(diǎn)時傾斜角為鈍角時逐漸增大，斜率大于或等于直線的斜率；為銳角時傾斜角逐漸減小，斜率小于或等于直線的斜率；所以直線的斜率的取值范圍是．4.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則的值為（）A.0 B.3 C.4 D.5【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，求得的值，得到數(shù)列an是周期為6的數(shù)列，結(jié)合，即可求解.【詳解】數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足，且，可得，，所以數(shù)列an是周期為6的數(shù)列，其中，所以.故選：D.5.已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B. C. D.【正確答案】B【分析】利用時，得到，代入，求出答案.【詳解】由題意可得①，所以時，②，①-②得，所以，所以.故選：B.6.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，《洛書》上的圖案由個黑白圓點(diǎn)分別組合，擺成方形，南西東北分別有個點(diǎn)，四角各有個點(diǎn)，中間有個點(diǎn)，簡化成如圖的方格，填好數(shù)字后各行、各列以及對角線上的3個數(shù)字之和都等于15．推廣到一般情況，將連續(xù)的正整數(shù)填入的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這樣一個階幻方就填好了，記階幻方對角線上的數(shù)字之和為，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求出階幻方中所有數(shù)字之和，再除以得對角線上的數(shù)字之和，再令可得結(jié)果.【詳解】階幻方由填入得到，填入的數(shù)字之和為，又因?yàn)殡A幻方每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，所以對角線上的數(shù)字之和為，當(dāng)時，代入可得，故選：C．7.在數(shù)列中，，則（）A.25 B.32 C.62 D.72【正確答案】B【分析】令，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得當(dāng)時，是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時，是單調(diào)遞增數(shù)列，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去絕對值求和即可.【詳解】解：令函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時，是單調(diào)遞增數(shù)列，所以所以故選：B8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求遞推關(guān)系，然后記，利用構(gòu)造法求得，然后分組求和可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，記bn的前n項(xiàng)和為，則.故選：A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于先分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求遞推公式，然后再并項(xiàng)得bn的遞推公式，利用構(gòu)造法求通項(xiàng)，將問題轉(zhuǎn)化為求bn的前二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分）9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列說法正確的是（）A.是數(shù)列的最小項(xiàng) B.是數(shù)列的最大項(xiàng)C.是數(shù)列的最大項(xiàng) D.當(dāng)時，數(shù)列遞減【正確答案】BCD【分析】設(shè)第項(xiàng)為an的最大項(xiàng)，根據(jù)列出不等式組，求解即可判斷BCD，利用數(shù)列的單調(diào)性及范圍判斷A．【詳解】設(shè)第項(xiàng)為an最大項(xiàng)，則，即，所以，又，所以或，故數(shù)列an中與均為最大項(xiàng)，且，當(dāng)時，數(shù)列an遞減，故BCD正確，當(dāng)趨向正無窮大時，無限趨向于0且大于0，且，所以不是數(shù)列an的最小項(xiàng)，且數(shù)列an無最小值，故A故選：BCD10.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.當(dāng)時，取得最小值D.當(dāng)時，滿足的最大整數(shù)的值為25【正確答案】ABD【分析】由得到，進(jìn)而求得即可判斷A；，，成等差數(shù)列，即可判斷B；因?yàn)椋诸愑懻摦?dāng)，，即可判斷C；因?yàn)?，所以，，所以，，即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，故A正確．因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，而，則，故B正確．因?yàn)?，由得，即，所以，所以對稱軸為：，所以當(dāng)時，開口向上，當(dāng)，取得最小值，當(dāng)時，開口向下，當(dāng)，取得最大值，故C錯誤．因?yàn)?，?shù)列an單調(diào)遞增，所以，，則，，又因?yàn)?，所以?dāng)時，滿足的最大整數(shù)的值為25，D正確．故選：ABD11.已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，將數(shù)列的第1項(xiàng)，第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第項(xiàng)抽出來，按原順序組成一個新數(shù)列，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對恒成立，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.D.實(shí)數(shù)取值范圍是(?4,16)【正確答案】BCD【分析】利用數(shù)列前項(xiàng)積和通項(xiàng)公式的關(guān)系判斷A，B，利用錯位相減法判斷C，分類討論結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時，由是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，得，即，所以，所以，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故A錯誤;當(dāng)時，，即，又，解得(其它根舍去)，所以，當(dāng)時，，又，滿足上式，所以，故B正確，由題意知，所以，則，，兩式相減得，，所以，故C正確;由，易知單調(diào)遞增，故，當(dāng)為奇數(shù)時，由，對恒成立，得恒成立，即，而，故，當(dāng)為偶數(shù)時，由恒成立，得，此時，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是(?4,16)，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列，解題關(guān)鍵是合理分類討論，然后進(jìn)行分離參數(shù)，得到所要求的取值范圍即可．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列an的前n項(xiàng)和，當(dāng)時，，而，不滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.故13.等比數(shù)列an中，，，令，則數(shù)列bn前項(xiàng)和為______.【正確答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列an中，求出，求出an的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，求出bn通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出bn的前項(xiàng)和.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列an中，則，解得，所以，由，則，所以故答案為.14.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則__________．【正確答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，進(jìn)而可得，結(jié)合數(shù)列周期性分析求解.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，即，可知為定義在上的奇函數(shù)；且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).因?yàn)椋瑒t，可得，即，由可知：3為數(shù)列的周期，則，且，所以.故2.易錯點(diǎn)睛：本題分析的奇偶性的同時，必須分析的單調(diào)性，若沒有單調(diào)性，由無法得出.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15.已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得出，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出公差；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用分組求和即可解決【小問1詳解】假設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以通?xiàng)公式為；【小問2詳解】因?yàn)?，所?6.已知直線過定點(diǎn)，且直線在，軸上的截距依次為和.（1）若直線在，軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于，兩點(diǎn)，求直線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形面積最小時直線的方程.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）分為截距都為和不為，進(jìn)行求解直線方程；（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程，求出坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算最小值時求解直線方程.【小問1詳解】當(dāng)直線過定點(diǎn)，若截距都為時，設(shè)，則，所以直線方程為，當(dāng)直線過定點(diǎn)，若截距都不為時，設(shè)，則，所以直線方程為，綜上所述，直線的方程為或；【小問2詳解】根據(jù)題意設(shè)直線方程，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時直線方程為，即.17.已知數(shù)列滿足，，．?dāng)?shù)列滿足，，其中為數(shù)列是前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：．【正確答案】（1）；（2）；證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用累和法可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法，結(jié)合的單調(diào)性證明即可.【小問1詳解】由，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】由（1）可得，所以①，②，②－①得，所以．，，所以遞增，所以，又當(dāng)時，，所以．因此，．18.記是公差不為的等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列bn滿足，且.（1）求an（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（3）求證：對于任意正整數(shù)，【正確答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析【分析】（1）設(shè)公差為，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到；（2）由已知遞推關(guān)系式可得，由此可得證得數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)