專訓(xùn)3-三角形中的六種常見證明類型

階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)3三角形中的六種常見證明類型習(xí)題課學(xué)習(xí)了全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)和判定后，與此相關(guān)的幾何證明題的類型非常豐富，常見的類型有：證明數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系，倍分關(guān)系，線段的和差關(guān)系，不等關(guān)系和圖形的面積關(guān)系等．1類型證明數(shù)量關(guān)系1．【中考?郴州】如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)．求證：BE＝CD.題型1證明線段相等∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.又D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，∴AD＝AE.在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB.∴BE＝CD.證明：2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.求證：∠DBC＝∠DCB.題型2證明角相等∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD.∴BD＝CD.∴∠DBC＝∠DCB.證明：2類型證明位置關(guān)系3．如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，以CP為一邊作等邊三角形PCE.求證：AE∥BC.題型1證明平行關(guān)系∵△ABC，△PCE均為等邊三角形，∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠ABC＝∠PCE＝60°.∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP.即∠BCP＝∠ACE.在△CBP和△CAE中，證明：∴△CBP≌△CAE(SAS)．∴∠CAE＝∠CBP＝60°.∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC.4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中點(diǎn)，求證：DG⊥EF.題型2證明垂直關(guān)系如圖，連接ED，F(xiàn)D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴DE＝FD.又∵G是EF的中點(diǎn)，∴DG⊥EF.證明：3類型證明倍分關(guān)系5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE均是△ABC的高，AD，BE相交于點(diǎn)H，且AE＝BE，求證：AH＝2BD.∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°.又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.在△BCE和△AHE中，證明：∴△BCE≌△AHE(ASA)．∴BC＝AH.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.4類型證明和、差關(guān)系6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求證：AB＋BD＝AC.如圖，延長CB至E，使BE＝BA，連接AE，則∠BAE＝∠E.∴∠ABC＝∠E＋∠EAB＝2∠E.又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.證明：又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.即AB＋BD＝AC.5類型證明不等關(guān)系7．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，P是AD上的任意一點(diǎn)，且AB＞AC，求證：AB－AC＞PB－PC.如圖，在AB上截取AE，使AE＝AC，連接PE.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD.在△AEP和△ACP中，∴△AEP≌△ACP(SAS)．∴PE＝PC.在△PBE中，BE＞PB－PE，即AB－AC＞PB－PC.證明：6類型證明面積關(guān)系8．如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC，CB(或它們的延長線)于點(diǎn)E，F(xiàn).當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于點(diǎn)E時(shí)(如圖①)，易證S△DEF＋S△CEF＝

S△ABC.當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖②和圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．在題圖②中上述結(jié)論仍成立；在題圖③中不成立．對于題圖②證明如下：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為M，N，則∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.在△ADM和△BDN中，解：∴△ADM≌△BDN.∴DM＝DN.∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°，∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF.在△DME和△DNF中，∴△DME≌△DNF(ASA)．∴S四邊形DMCN＝S四邊形DECN＋S△DME＝S四邊形DECN＋S△DNF＝S四邊形DECF＝S△DEF＋S△CEF.由題圖①可知S