押題04 空間向量與空間幾何（選擇、解答題）-2022年高考數(shù)學(xué)108所押題（新高考專用）（解析版）

押題04空間向量與立體幾何

了密押點(diǎn)睛(

已知三棱錐尸-ABC,其中以_L平面ABC,ZBAC=120°,Q4=A5=AC=2,則該三棱錐外接球的表面

積為1)

A.12乃B.16乃C.207rD.24乃

【答案】C

【解析】根據(jù)題意設(shè)底面AABC的外心為G,。為球心，所以O(shè)GL平面A8C,因?yàn)?4_L平面ABC,

所以O(shè)G//PA,設(shè)。是R4中點(diǎn)，因?yàn)镺P=04,所以O(shè)O_LP4,

因?yàn)樾平血ABC,4Gu平面48C,所以AG_L24,因此OO//AG,

因此四邊形OD4G是平行四邊形，故OG=AO=1PA=1,

2

由余弦定理，得

由正弦定理，得2AG=^=4G=2,

~2

所以該外接球的半徑R滿足R2=(OG)2+(AG)?=5=S=4%方=20乃,

故選：C.

【押題理由】知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，是

高考常用的考查形式。

【考前秘笈】1.空間幾何體的表面積(側(cè)面積)

(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何表面積

問題的主要出發(fā)點(diǎn)

（2）求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的

表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積.注意銜接部分的處理.

2.空間幾何體的體積

（1）常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積

（2）求組合體的體積的方法

求組合體的體積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，然后根據(jù)公式求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，再相加或相

減.

3.球與幾何體的切、接問題的處理思路

（1）“接”的處理

①構(gòu)造正（長(zhǎng)）方體，轉(zhuǎn)化為正（長(zhǎng)）方體的外接球問題；

②空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出合適的截面（過球心或接點(diǎn)等）；

③利用球心與截面圓心的連線垂直于截面來確定球心所在更線.

⑵“切”的處理

①體積分割法求內(nèi)切球半徑；

②作出合適的截面（過球心或切點(diǎn)等），在平面上求解；

③多球相切問題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題

y押題精選￡

1.（押考向.側(cè)面積問題）已知一個(gè)圓錐的體積為加，任取該圓錐的兩條母線a,b,若a,。所成角的最大

值為二，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.3萬北B.6兀C.6V37tD.9兀

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R,底面半徑長(zhǎng)為,，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，

所以R=2r,圓錐的體積口2xG〃=3兀，解得r=JJ,

所以該圓錐的側(cè)面積為nrR=6兀.

故選：B

2.已知某圓臺(tái)的高為"，上底面半徑為正，下底面半徑為2&，則其側(cè)面展開圖的面積為（）

A.9/B.6夜乃C.9?rD.

【答案】C

【解析】易知母線長(zhǎng)為，（生了+0收一&y=3,且上底面圓周為2而，下底面圓周為4夜冗，易知展開

圖為圓環(huán)的一部分，圓環(huán)所在的小圓半徑為3,則大圓半徑為6,

所以面積S=,x6x4正；r—,x3x2VLr=9z.

22

故選：C.

3.（押考向?體積計(jì)算問題）一個(gè)斜邊長(zhǎng)為夜的等腰直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為

（）

A.-B.—C.D.n

333

【答案】A

【解析】由條件可知直角邊長(zhǎng)為1,并且旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是底面半徑為1,高為1的圓錐，

所以幾何體的體積V=?不x/xluf.

33

故選：A

4.”阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱

美.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的

“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為I,則經(jīng)過該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為（）

A.-71B.邁^C.4乃D.8乃

33

【答案】A

【解析】將該多面體放入正方體中，如圖所示.

由于多面體的樓長(zhǎng)為1.所以正方體的棱長(zhǎng)為正

因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長(zhǎng)為&的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，

所以該多面體外接球的球心為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，其外接球直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，即

2R=42xyf2

所以R=1

所以該多面體外接球的體積內(nèi)=竽.

故選:A.

5.在四棱錐尸-ABC。中，P4J_平面48a>,AP=2,點(diǎn)M是矩形A6CO內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且A8=1,AO=3,

直線PM與平面A8CQ所成的角為記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為a,則tana=()

4

A.曲B.1C.75D.2

3

【答案】C

【解析】因?yàn)槭矫鍭BC。，所以即為直線尸M與平面A8CD所成的角，

所以NPM4=工，

4

因?yàn)?P=2,所以AM=2,

所以點(diǎn)M位于矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上,

則點(diǎn)M的軌跡為圓弧環(huán).

連接"，則A/=2,

因?yàn)锳B=1,AD=3,

所以NAF8=NE4石=2，

6

則孤E下的長(zhǎng)度a=§x2=g,

所以tana=6.

故選：C.

6.（押考向.截面面積問題）某圓錐高為1,底面半徑為G，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積

的最大值為（）

A.2B.73C.41D.1

【答案】A

【解析】如圖，截面為△PA8,設(shè)C為AB中點(diǎn)，設(shè)OC=X,xe[0,G）,

則AB=2A/3-X2,PC=Vx2+1，

則截面面積S=；X2,3-fX正+1=J-（%2-1）2+4,

則當(dāng)父=1時(shí)，截面面積取得最大值為2.

故選：A.

7.已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐P-A8c全部頂點(diǎn)都在表面積為16兀的球。的球面上，則

三棱錐P-48c的體積的最大值為（）.

A.6B.C.mD."

242

【答案】C

【解析】球。的半徑為K，則4冗/?2=16兀，解得：R=2,

由已知可得：5/=手力=苧，其中日“。=石

球心0到平面ABC的距離為JR2—石2=],

故三棱錐尸-A8C的高的最大值為3,

體積最大值為20人腔?3=券.

故選：C.

8.在正三棱錐A-8C￡＞中，AB=2BC=4,E為BC中點(diǎn)，則異面直線與。后所成角的余弦值為（）

A.巫B.在C.@D.B

12634

【答窠】A

【解析】解：如圖：取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)EF

因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以.所以"=gAB=2,4出尸（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與￡＞七所成角.取

DC的中點(diǎn)G,連結(jié)AG,則AG_LDC,在￡?duì)?中，AB=4,DC=2,所以GC=1,所以cos/ACG=g==1.

在△R7）中，。尸=；AC=2,OC=2,cos/4CG=；,由余弦定理得：

。尸2=。尸2+。。2-2.。產(chǎn)?力，?85/4。6=22+22-2'2乂2、1=6,所以0尸=".在底面正三角形BC。中，

4

因?yàn)锽C=2,E為BC中點(diǎn)，所以。七=3。5泊60。=2*正=6.在4尸瓦）中，EF=2,DE=6DF=R

2

由余弦定理得：cosZDEF=DE+EF-DF-=G+?-二限=走.所以異面宜線AB與DE所成角的余弦

2xDExEF2x6x212

值為亙

12

故選：A

（押題型一多選題）如圖，正方體488-A8CQ的樓長(zhǎng)為2,尸為。D的中點(diǎn).則（）

A.ABLA.F

B.直線A。與B尸所成角的正切值為0

C.平面43尸截正方體所得的截面面積為4

D.點(diǎn)。與點(diǎn)O到平面48廣的距離相等

【答案】AD

對(duì)選項(xiàng)A,由正方體的性質(zhì)知48J_平面AORA，4/u平面AORA，所以AB14尸，故A正確;

對(duì)B,因?yàn)锳O〃8C,所以直線AD與所成的角即為BC與8尸所成的角，

連接CE易得△8C戶是直角三角形，且BC=2,CF=>/5,所以ian/C8/=無，

2

所以直線4力與8戶所成角的正切值為直，故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)C,在平面AORA內(nèi)，延長(zhǎng)A產(chǎn)交AO的延長(zhǎng)線于G,連接8G交CO于E點(diǎn)，

易得E為CD的中點(diǎn)，所以以7/4力且E尸=348=夜，所以四邊形BE%為等腰梯形，

所以四邊形防%的面積S=g（夜+2夜「孝）

9

所以平面A/尸截正方體所得的截面面積為弓，故C錯(cuò)誤；

乙

對(duì)D,由選項(xiàng)C知，E為CO的中點(diǎn)，所以點(diǎn)。與點(diǎn)O到平面A4尸的距離相等，故D正確.

故選：AD

（押題型一解答題）在如圖所示的多面體中，四邊形4BC。為正方形，A,E,B,尸四點(diǎn)共面，且/XABE

和△礪均為等腰直角三角形，ZBAE=ZAFB=90°.

BE

（1）求證：直線3E〃平面AOF；

（2）若平面A4CO_L平面AE8F,A8=2,點(diǎn)尸在直線OE上，求人戶與平面r所成角的最大值.

【答案】（1）詳見解析；（2）g.

4

【解析】（1）在四邊形AEZ/中，

,/AABE和△八8斤均為等腰直角三角形，且Z.BAE=ZAFB=90°,

；?ZBAF=ZABE=45°,

:.AF//BE,

又SEa平面4。凡瓶匚平面人0兄

:.班7/平面AOR

（2）V四邊形ABCD為正方形，

：.DALAB,

又???平面A8U）_L平面入科凡D4U平面.48。。，

平面48COCI平面AEBF=AB,

???D4_L平面AEBF,

如圖是立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(0,42—冷，則8(2,0,0),C(2,0,2)/(l,—l,0),A(0,0,0),

/.^C=(O,O,2),BF=(-l,-l,O),

設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為。=(x,y,z),

e5?配=0(2z=0

則《一，即nn〈八，

ri-BF=0[-x-y=0

令x=l,Ijliji=(1-1,0),

設(shè)AP與平面8(7所成角為8,又麗=(0,42-為，

.《no-BQ-」一4_五「囚

「卜|網(wǎng)|伍/解+(2—獷2，2儲(chǔ)-4」+4

要使sin。最大，4。0,

」一企二也

V.仄2.V/2”22-4AZ,1+,4A274

：.o4,即AP與平面8C尸所成角的最大值為￡.

【押題理由】能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡(jiǎn)

單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用，是高考常用的考

查形式。

【考前秘笈】1.用向量法證明平行或垂直：

(1)平行問題的證明方法：

①證明空間兩直線平行，可以先轉(zhuǎn)化為空間兩向量共線，即只需證明表示兩袋直線的向量滿足實(shí)數(shù)倍數(shù)關(guān)

系.

②證明面面平行，只要證明一平面內(nèi)兩條相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩條直線即可，也就將其轉(zhuǎn)化為證

明線線平行的問題.

③遇到中點(diǎn)問題常作中位線，用中位線定理解題，也是幾何中的常用方法。

(2)垂直問題的證明方法：

①要證線線垂直，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量垂直.

②要證線面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直.

(3)步驟

①第一步選點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并把相應(yīng)的點(diǎn)用坐標(biāo)的形式表示出來；

②第二步把證明線線、線面、面面平行或垂直的相關(guān)向量用坐標(biāo)表示出來；

③第三步根據(jù)線線、線面、面面平行或垂直列式計(jì)算；

④第四步證出結(jié)論。

2.用向量法求空間距離

(1)求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是找到平面的法向量和斜線段對(duì)應(yīng)的向量，然后利用向量的投影求點(diǎn)到平面

的距離；直線與平面平行時(shí)，直線上任一點(diǎn)到平面的距離叫直線與平面的距離；異面直線的距離是夾在兩

條異面直線之間的公垂線段長(zhǎng)。

(2)步驟：

①第一步建立空間直角坐標(biāo)系，將題目中給的條件用坐標(biāo)表示出來，并求出該平面的一個(gè)法向量；

②第二步找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量：

③第三步求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離，線面

距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。

3.用向量法求空間角

（1）求各種角的方法一般都是先確定兩個(gè)向量（方向向量或者法向量），求這兩個(gè)向量夾角的余弦值或正

弦值，注意確定所求夾角與向量夾角的關(guān)系，最后得到所求的角或角的三角函數(shù)值。

（2）步驟

①第一步建立空間直角坐標(biāo)系，將題目中給出的條件用坐標(biāo)表示出來；

②第二步將所求角涉及的直線的方向向量和平面法向量求出來；

③第三步代入公式求出角的三角函數(shù)值或角。

I押題精選（

1.（押考向一空間幾何體的位置關(guān)系）在正方體ABC。-ABGA中，M,N,尸分別為棱AB,CC.,CR

的中點(diǎn)，Qw平面MNP,4Q=A8,直線四。和直線MN所成角為。，則（）

A.MN//ACB.。的最小值為?

C.A,M,N,尸四點(diǎn)共面D.PQ〃平面4CR

【答案】BD

【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,

設(shè)￡尸,6分別是4。，他，席的中點(diǎn)，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面MNP截正方體所得圖象是正六邊形EFMGNP,

則?！昶矫婵诹?62.

由于ACu平面ABC。，"ND平面=MgAC,所以MN與AC是異面直線，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由圖象可知Aa平面EFMGNP,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，MGHAC,MFHCD\,

MG《平面4cA，ACu平面AC.,所以MG〃平面AC",

同理可證得“尸〃平面AC),

由于MGcW=M,所以平面EFMGNPH平面ACD,,

由于PQu'『?面EFMGNP,所以PQ〃平面ACR,D選項(xiàng)正確.

由于4Q=AB,所以。點(diǎn)的軌跡是以用為球心，半徑為1的球被平面EFMGNP所載形成的圓.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知四邊形fMNP是平行四邊形，設(shè)RVcMP=O,則。是EV,M尸的中點(diǎn)，連接。片,

由于4P=4加，所以04_LMP：由于BF=BN,所以O(shè)4_LMV,

而FNcMP=O,所以J?平面EBHGNP,

4M=R=奈°M=3O=冬

則直線B&與平面EFMGNP所成角為g

MNu平面EFMGNP,所以直線用Q和直線MN所成角3的最小值為1.

故選：BD

2.如圖，正方體A8CO-A8CQ棱長(zhǎng)為2,M為棱AG的中點(diǎn)，N為棱CC」的點(diǎn)，且CN=a(0vav2),

現(xiàn)有下列結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為()

2

A.當(dāng)時(shí)，AM〃平面BDN

B.存在aw(O,2),使得MN_L平面BDN

C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到平面的距離為亞

3

D.對(duì)任意。?0,2),直線AM與8N是異面直線

【答案】CD

【解析】以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

2-.、___2u

對(duì)于A：8(2,2,0),m2,-),DB=(z2,2,0),￡W=(0,2,-),設(shè)平面3ON的法向量為勺=(%,y,zj,

2x1+2y=0

則《2令％=1,1=(1,T,3).42,0,0),“(04,2),加=(-2,1,2),麗1=-2-1+6/0,故A

2)1+§4=0

錯(cuò)誤;

對(duì)于B：N(0,2,W=(0,-1,2-a),DBNM=-2,所以與MN不垂宜，故MN與平面BON不垂直，故

B錯(cuò)誤;

2X+2y2=0

對(duì)于C：N(0,2,1),麗=(0,2,1),麗=(2,2,0),設(shè)平面80V的法向量為％=(再，為，入)，則2

2y2+z2=0

Ic/V-zd2V6

令七=1,=(1,-1,2),又C(0,2,0),西二(0,0,1),所以點(diǎn)C到平面80V的距離為」|^=能=下故

C正確;

對(duì)于D：因?yàn)锳RM在平面48GR內(nèi)，N在平面A8GA外，所以4M與物V是異面直線，故D正確.

故選：CD.

3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A4GR中，點(diǎn)M是AA的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q，R在底面四邊形4BCZ)內(nèi)(包

括邊界)，尸片〃平面MG。，百。=冷，點(diǎn)R到平面A8與A的距離等于它到點(diǎn)。的距離，貝IJ()

A.點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為&B,點(diǎn)。的軌跡的長(zhǎng)度為￡

C.尸。長(zhǎng)度的最小值為也一LD.PR長(zhǎng)度的最小值為迷

5220

【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A,取3C的中點(diǎn)N,連接AMB,N,則AN//MG,ABJ/DC、,所以AN〃平面。MQ,

AB"平面。Mg,

又A/V〃平面OMG，A8〃平面OMG，ANDAg=A,所以平面AN8"平面DMC；,

又點(diǎn)尸在底面四邊形48C。內(nèi)(包括邊界)，尸片〃平面"G。，所以點(diǎn)P的軌跡為線段AN,

多所以點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為亭故A不正確;

因?yàn)镠N二yjAB2+BN2=

對(duì)于B,連接OQ,因?yàn)镼在底面A8CO上，|AQ|=與，所以JDQ、DD；=舊&7=佟)，解得OQ=g,

所以點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)D為圓心,嗎為半徑的河如下圖所示，

所以點(diǎn)。的軌跡的長(zhǎng)度為:x2xgx;r=7，故B正確;

對(duì)于C,過點(diǎn)。作0P_LANJP\交點(diǎn)。的軌跡于Q'，此時(shí)PQ的長(zhǎng)度就是PQ長(zhǎng)度的最小值,

1DP「

而NB=NAPD,N84N=4OP',所以△MNrOP,A，所以絲=塵，即而=一F，解得。?'=辿

ANAB—5

2

所以PQ=DP-DQ=—，

所以p。長(zhǎng)度的最小值為竽彳，故c正確;

對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)R到平面ABB】A的距離等于它到點(diǎn)D的距離，由正方體的特點(diǎn)得點(diǎn)R到宜線的距離等

于點(diǎn)R到平面A四4的距離，

所以點(diǎn)R到直線A8的距離等于它到點(diǎn)。的距離，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)R的軌跡是以點(diǎn)。為焦點(diǎn)，以A8

為準(zhǔn)線的拋物線，

以4。的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,過點(diǎn)。且垂直于A。的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，

則O（0,g）,N（1,O）,直線A8的方程為廣一；，直線AN的方程為x—2y—1=0,

則拋物線的方程為/=2y,設(shè)與直線4N平行且與拋物線相切的直線/的方程為：x-2y+n=0,

聯(lián)立*二］，整理得4N一（4〃+2）），+〃2=0,A=（4/i+2）2-16/r=0,解得〃=一；，

所以直線/的方程為：x-2y-^-=0,

4

則直線AN與直線/的距離為：一［-4一二⑹

產(chǎn)前20

所以尸穴長(zhǎng)度的最小值為述，故D正確，

20

故選：BCD.

4.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形48co中，E,尸分別是A8,BC的中點(diǎn)，將“IDE,ACDF,所分別沿

DE,DF,E尸折起，使A,B,C重合于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是（）

A.PDLEFB.三棱錐戶的外接球的體積為2指萬

2

C.點(diǎn)P到平面DEP的距離為：D.二面角尸一所”的余弦值為:

【答案】AC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，作出圖形,

取EF中點(diǎn)“，連接P”，DH,由原圖知ABE尸和尸均為等腰三角形，故PH工EF,DHA.EF,乂因

為FHC\DH=H,所以E尸_L平面P?！?，

又PDu平面PDH,所以P￡）_L￡F,A正確；

H

由PE,PF,PDT線兩兩垂直，如下圖構(gòu)造長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是三凌錐尸-。所的外接球，長(zhǎng)方

體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，設(shè)為2R,則(2R)2=[2+]2+22=6,則/?=必，所以所求外接球的體積

4L

為q冗N=瓜冗，B錯(cuò)誤;

根據(jù)題意，可知PE,PF,尸。三線兩兩垂直，且尸石=尸尸=1,PD=2,在APHD中,PH=—,

2

逑，由等積法可得！xLxlxlx2=1x1x&x逑x〃，得力=],C正確;

由題意如上圖，PE=PF,DE=DF，則DH±EF,所以N/7/D為二面角2-E/一。的一個(gè)

平面角，因?yàn)镻D工DF,PDA.DE,且DFnOE=。，所以叨_L平面PEF,則，即NO尸〃=90。，

在RtA/WO中，COSNPHD=^=LD不正確.

DH3

故選：AC.

5.如圖，已知平面ABCO垂直于平面4石6,四邊形458為菱形，AF±AC,ECJ-AC,』BAD=g

CE=2A8=2A尸=4.下列結(jié)論正確的是()

A.異面直線48與直線在所成角的余弦值為-立

B.異面直線AB與直線。尸所成角的余弦值為-立

4

C.若三棱錐8-OE尸的頂點(diǎn)都在球。上，則球心0在平面4CE戶內(nèi)

64

D.若三棱錐所的頂點(diǎn)都在球。上，則球。的表面積為三乃

【答案】CD

【解析】:平面ABCD垂直于平面AEb,AFLAC,平面ABCDA平面AEC尸=4。,

???A尸?L平面ABCD,同理反工平面ABCD,

???四邁形A8CO是邊長(zhǎng)為2菱形，NBAO=?,

???AC=2y/3,

取EC中點(diǎn)G,則CG//4￡CG=A尸，

???西邊形AFGC為平行四邊形.

；?AG//FE,

在直角三角形ACG中，AG={(2⑹2+2?=4，乂8G="方"=2&，

在ABAG中由余弦定理得，

???cosNB4G=；,即異面直線A5與直線FE所成角的余弦值為=，故A錯(cuò)誤；

44

F

VAF=2,根據(jù)條件可知E4_LD4,FALAC,

:,DF=2Q，F(xiàn)C=4,

在△DCF中由余弦定理得，cosZCDF=-—,又48〃OC,

4

/.ACDF異面直線AB與直線DF所成角或補(bǔ)角，

???異面直線AB與直線。產(chǎn)所成角的余弦值為正，故B錯(cuò)誤:

???空間中到B、。兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合為平面ACEF,

所以球心O在平面ACK產(chǎn)內(nèi)，故C正確；

取線段的中點(diǎn)為Q,

,:FC=EC,故QC為線段E尸的垂直平分線，所以球心Ow直線QC,

取8。的中點(diǎn)為M,以M為原點(diǎn)，MA,MD,MQ分別為1,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系"一個(gè)z,

m-6,0,加,D（0,l,0）,尸（圓,2）,0是球心，只需要使|。叫=|。產(chǎn)|,即

+（加—2）~,

解得：6=2,所以N=|o球=；,所以S=4尸/?=甘乃，故D正確.

故選：CD.

6.（押題型一解答題，面面垂直和線面角問題）如圖，圓臺(tái)上底面圓。|半徑為1,下底面圓。2半徑為近,48

為圓臺(tái)下底面的一條直徑，圓儀上點(diǎn)。滿足AC=BC,Pa是圓臺(tái)上底面的一條半徑，點(diǎn)RC在平面的

同側(cè)，旦POJ1BC.

（1）證明：平面P4C_L平面A8C；

（2）若圓臺(tái)的高為2,求直線AQ與平面26c所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）今縉

【解析】⑴取4c中點(diǎn)M，由題意，PO.=KBC=—AB=2,

2

又POJ/BC,故PO.//-BC,PO.=-BC.

22

又02M〃上BC,。2M=LBC,故PQ1〃QM,PQ=02M,

所以四邊形尸?。2M為平行四邊形，則PM//Q02.

由a。2"1"平而A8C,故RW_L平面A8C,

又PMu面PAC,故平面PAC_L平面48c.

（2）以。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，取,豕，函*的方句為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則仃:

A（-^,0,0）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,P一與,§,2,0,（0,0,2）,

122）

故福=（夜,0,2）.

設(shè)平面PBC的法向最萬=（Xy,z）

而反=（-夜,后,0）,齊二（-1,-4,2

n-BC=-\/2x+\/2y=0

故一五&g令z=l,得n=（6國(guó)）.

n-CP=---x--^-y+2z=0

設(shè)所求角的大小為6，則sin。=卜os（福，，卜^=2浮.

所以直線AO1與平面P8C所成角的正弦值為觀.

7.（押考向一線面垂直與二面角問題）如圖，在三棱柱ABC-A&G中，AB=AAi=AyC=BC=2.

（1）求證：

（2）若AC=0,Z4BB,=60,點(diǎn)用滿足3麗，=2西，求二面角4-人始-知的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）在

2

【解析】（1）連接4比4與交于點(diǎn)o,連接OC,

?.?四邊形AB&A為菱形，「?ABLA瓦，0為AB中點(diǎn)，

又CA=CB,.-.AiBIOCf

八同C|OC=0,AB1,C0u平面ACBt,..A8J?平面ACBt,

又平面ACB,,:.A,BLB}C.

(2)vZAfiB,=60,AB=AAi=2,.?.0B=5OA=\,

在RMOBC中,OC2=BC2-OB\:.OC=\,

在AOWC中，^OA2+OC2=AC2,:.OCLOA,

又。4003=。，04,。8<3平面4844，..叱_1.平面4珥4，

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，35,而，反為x，y，z軸可建如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),A(0,->/3,0),B,(-1,0,0),C(0,0,l),。卜1,-6,1),

.?.福

設(shè)M(x,y,z),則^?=(x-l,y,z),MC1=(-l-x,-x/5-y,l-z),

3(x-l)=2(-l-x)5

25/3

.>3y=2(-^-j),解得:

???3與7=2宙,3?=--

3z=2(l-z)2

z=—

5

4^=(-l,x/3,0),

設(shè)平面M4,同的法向量G=(a,b,c),

_13^,2八

A]M,n=-ciH----uH—c=0,「L—//T.Grz\

555,令b=l,解得：a=y/3>c=-2\/3>「.〃=(真,1,-26)；

44?萬=-a+6b=0

又OC_L平面A8&A,則平面4A片的一個(gè)法向量為正二(0,0,1)，

又二百角A-A.B.-M為銳二面角，???二面角A-A.B.-M的余弦值為史.

2

8.如圖，在多面體尸中，底面A3C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，4)_L底面A5C,AD//BE//CF,AD=4,

CF=3,Z￡HE=45°.

D

(1)證明：AELDFy

(2)求二面角B-AF-E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)晅

20

【解析】⑴由已知A￡)_L平面ABC,得4)_LA8,

又ZME=45。，.-.ZE4B=45O,

又ADHBEHCF,則

:.BE=2,AE=2五，

在AADE中，由余弓玄定理DE，=AO^+AE'-2Ao?AE-cosNDAE=4‘+h>/I)—2x4x2VJx￥=8,

DE=2五,

故O&+A￡=AD2,

:.AE1.DE，

如圖所示，過點(diǎn)E作EG//8C,設(shè)EGnB=G,

則四邊形8CGE為矩形，

2222

:.CG=BE=2,GF=CF-CG=3-2=lfEF=y]EG+FG=72+1=x/5?

又AF=jAC、CF2=物+32=屈,故A/2=人七2+七戶2,

s.AELEF^

又0匹「律二E，且OE，Mu平面OEF，

.?.AE_L平面OE產(chǎn)，

s.AELDFx

(2)取BC中點(diǎn)。，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,-1,0),網(wǎng)-75,0,0),￡(-75,0,2),尸(0,1,3),

所以/=(-石,1,0),而=(023),荏=(-6,1,2),

設(shè)平面A3F的法向量用=(x，y,zj,

則［普7即IE產(chǎn)”令百=6則4=(點(diǎn)3,-2),

v7

Ar4=0\2yl+3zj=0

設(shè)平面AM的法向量為=(9,%，22)，

2y+3z=

,AFn,=0220，令％=3,則用二［一-熱，二一2

則(—*即＜

AE?凡=0-\/3X2+y2+2z2=0

x_<+3x3+(—2)x(—2)

13l3局

所以8s（歷㈤一y

J(石)+3、(-2)2-J-y-+32+(-2)220'

由圖可知二面角3-4尸一E為銳二面角，

所以二面角A/-E的余弦值為迎.

20

9.如圖1,在AABC中，ZACB=90°,DE是△ABC的中位線，沿OE將△AOE進(jìn)行翻折，使得AACE是

等邊三角形（如圖2）,記A8的中點(diǎn)為尸.

（1）證明：OF_L平面ABC.

（2）若AE=2,二面角O?AGE為求直線48與平面ACO所成角的正弦值.

O

【答案】（1）證明見解析；（2）亞

4

取4。中點(diǎn)G,連接/G和EG,由已知得。上〃8C,且。E=gBC.

因?yàn)榉睪分別為AB,AC的中點(diǎn)，所以尸G〃8C,且尸G=^BC

所以O(shè)E〃尸G,且OE=AG.

所以四邊形DEGF是平行四邊形.

所以EG〃。凡

因?yàn)榉鄣腂C_LAC,易知DE_LAC.

所以翻折后￡>EJ_E4，DELEC.

又因?yàn)镋4C|EC=E,EA,ECU平面AEC,

所以。石J?平面AEC.

因?yàn)镺E〃占C,

所以3CJ?平面AEC.

因?yàn)槌?；u平面AEC所以EG」8c.

因?yàn)锳ACE是等邊三角形，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，所以EG_LAC

又因?yàn)?CPl8C=C,AC,BCu平面ABC.

所以EGJ_平面ABC.

因?yàn)镋G〃。尸，所以。/J_平面ABC.

(2)(方法一)如圖，

過點(diǎn)E作37_LEC,以E為原點(diǎn)，EH、EC,ED所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系石-xyz,

設(shè)OE=a,則4(后1,0),B(0,2,2a),C(0,2,0),0(0,0,a),則麗=卜61,2〃)，4C=(-V3J,0),

歷=(0,-2,a),

因?yàn)镈E，平面AEC.所以加=(0,0,〃)是平面AEC的法向量，

設(shè)面ACD的法向量為用=(x,y,z),則

i7i-AC