第05講余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（原卷版）

第05講余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過做余弦函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2.通過單調(diào)性與最值的計(jì)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).3.通過周期性的研究，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．1.了解畫余弦函數(shù)圖象的步驟，掌握“五點(diǎn)法”畫出余弦函數(shù)的圖象的方法．(重點(diǎn))2．余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用．(難點(diǎn))3．余弦函數(shù)圖象的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))4．掌握余弦函數(shù)的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小(重點(diǎn)、易混點(diǎn))5.掌握余弦函數(shù)最大值與最小值，并會(huì)求簡(jiǎn)單余弦函數(shù)的值域和最值．(重點(diǎn)、難點(diǎn))6.了解余弦（型）函數(shù)、周期、最小正周期的定義．知識(shí)點(diǎn)01余弦曲線和余弦函數(shù)圖像的畫法余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫余弦曲線．(1)要得到y(tǒng)＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度即可．(2)用“五點(diǎn)法”畫余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．【即學(xué)即練1】（2223高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集為.知識(shí)點(diǎn)02余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值函數(shù)y＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性偶函數(shù)解析式y(tǒng)＝cosx圖象值域[－1,1]單調(diào)性在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞減最值x＝2kπ，k∈Z時(shí)，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymin＝－1【即學(xué)即練2】（2324高一下·上海徐匯·期中）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最大值與最小值，并分別求出取得最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值．題型一：求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性1.（2122高一下·上海浦東新·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.2．（2122高一下·上海黃浦·期末）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．3.（2122高一下·上海浦東新·期中）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意的，都恰好存在n個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“n重覆蓋函數(shù)”.(1)判斷下面兩組函數(shù)中，是否為的“n重覆蓋函數(shù)”，并說明理由；①，，“4重覆蓋函數(shù)”；②，，“2重覆蓋函數(shù)”；(2)若，為，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的最大值.4．（2223高一下·上海徐匯·期中）已知函數(shù)，（其中，）(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的嚴(yán)格遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值（其中常數(shù)）；(3)若函數(shù)為常值函數(shù)，求的值.題型二：求cosx（型）函數(shù)的單調(diào)性1.（2324高一下·上海嘉定·期中）下列命題中正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．若且，則2.（2324高一下·上海徐匯·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?．（2122高一下·上海寶山·期中）函數(shù)的值域?yàn)?4.（2223高一下·上?！て谥校┰O(shè)為常數(shù)，函數(shù)．(1)設(shè)，求函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間；(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，求此函數(shù)在上的值域．題型三：求含cosx的二次式的最值1．（2223高一下·上海長(zhǎng)寧·期末）已知關(guān)于的不等式在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2021高一下·上海奉賢·期中）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最大值為．3.（2122高一下·上海長(zhǎng)寧·期中）已知：.(1)化簡(jiǎn)：；(2)求函數(shù)的最小值.4．（2324高一下·上海徐匯·期中）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最大值與最小值，并分別求出取得最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值．題型四：由cosx（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)1.（2324高一下·上海徐匯·期中）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有．則的最大值為（

）A． B． C． D．22.（2324高一下·上海浦東新·期中）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.3．（2223高一下·上海浦東新·期中）已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值為時(shí)，自變量的取值集合為.4.（2223高一下·上海虹口·期中）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，如果存在，使得，則稱區(qū)間I為函數(shù)的“P區(qū)間”．(1)求證：是函數(shù)的“P區(qū)間”；(2)判斷是否是函數(shù)的“P區(qū)間”，并說明理由；(3)設(shè)為正實(shí)數(shù)，若是函數(shù)的“P區(qū)間”，求的取值范圍．題型五：求余弦（型）函數(shù)的最小正周期1.（2324高一下·上?！て谥校┫铝泻瘮?shù)中，最小正周期為的是（

）.A． B． C． D．2．（2324高一下·上海奉賢·期中）若函數(shù)滿足，則.3．（2223高一下·上海靜安·期中）函數(shù)的最小正周期是．4．（2223高一下·上海閔行·期中）函數(shù)的最小正周期為.題型六：由余弦（型）函數(shù)的周期性求值1．（2223高一下·上海長(zhǎng)寧·期中）設(shè)函數(shù)，若，，在上為嚴(yán)格減函數(shù)，那么的不同取值的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．22.（2425高一上·上?！て谀┮阎?4個(gè)任意角滿足對(duì)任意恒成立，若，設(shè)為這14個(gè)任意角的余弦值的和，則的最大值為．3.（2021高一下·上海徐匯·期中）函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于區(qū)間，如果存在，，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的“區(qū)間”．（1）判斷是否是函數(shù)的“區(qū)間”，并說明理由；（2）設(shè)為正實(shí)數(shù)，若是函數(shù)的“區(qū)間”，求的取值范圍．題型七：求cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心1.（2122高一下·上海楊浦·期中）設(shè)函數(shù)，其中m，n，，為已知實(shí)常數(shù)，，則下列4個(gè)命題：（1）若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；（2）若，則函數(shù)為奇函數(shù)；（3）若，則函數(shù)為偶函數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，若，則，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42.（2021高一下·上海徐匯·期中）函數(shù)（）的對(duì)稱軸方程為.3.（2324高一下·上海·期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期，對(duì)稱中心；(2)求的單調(diào)區(qū)間，最值以及取得最值時(shí)的值．題型八：利用cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)1.（2223高一下·上海楊浦·期末）已知常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2324高一下·上?！て谥校┰O(shè)函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，則．3．（2122高一下·上海奉賢·期中）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則4．（2324高一下·上?！て谥校┮阎?，常數(shù)滿足，若集合中恰有6個(gè)元素，則的取值構(gòu)成的集合為.一、單選題1．（2223高一下·上海浦東新·期中）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)2．（2223高一下·上海長(zhǎng)寧·期中）在下列函數(shù)中，既是上的嚴(yán)格增函數(shù)，又是以為最小正周期的偶函數(shù)的函數(shù)是（

）A． B．C． D．3．（2223高一下·上海寶山·期中）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，以為最小正周期，且在上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2223高一下·上海普陀·期中）設(shè)函數(shù)，給出的下列結(jié)論中正確的是（

）①當(dāng)，時(shí)，為偶函數(shù)；②當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；③當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間恰有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間的最大值為，最小值為，則的最大值為A．① B．①④ C．①②③ D．①③④二、填空題5．（2122高一下·上海浦東新·期中）已知，且，則.6．（2223高一下·上海青浦·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的取值是7．（2324高一下·上?！て谥校?，的單調(diào)減區(qū)間是.8．（2021高一下·上海長(zhǎng)寧·期中）已知函數(shù)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是9．（2021高一下·上海楊浦·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.10．（2122高一下·上海閔行·期中）在中，，則的形狀為.11．（2223高一下·上海嘉定·期中）函數(shù)（其中）為奇函數(shù)，則；12．（2324高一下·上海·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則．13．（2122高一下·上海徐匯·期中）實(shí)數(shù)滿足，，則．14．（2122高一下·上海寶山·期中）已知，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，總成立，則的最小值是．15．（2122高一下·上海楊浦·期中）函數(shù)

是奇函數(shù)，則；16．（2324高一下·上?！て谥校?duì)于函數(shù)，給出四個(gè)命題：①該函數(shù)的值域?yàn)椋虎诋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值；③該函數(shù)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；④當(dāng)且僅當(dāng)，．上述命題中，假命題的序號(hào)是．三、解答題17．（2223高一下·上海靜安·期末）（1）指出函數(shù)的最大值，及函數(shù)取得最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值，并畫出該函數(shù)在一個(gè)最小正周期內(nèi)的大致圖像；（2）指出正弦函數(shù)的單調(diào)性，并以此為依據(jù)證明：余弦函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)格增函數(shù).18．（2122高一下·上海寶山·期中）給出集合{對(duì)任意，都有成立}.(1)若，求證：函數(shù)；(2)由于（1）中函數(shù)既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)，于是張同學(xué)猜想了兩個(gè)結(jié)論：命題甲：集合M中的元素都是周期為6的函數(shù)：命題乙：集合M中的元素都是偶函數(shù)；請(qǐng)對(duì)兩個(gè)命題給出判斷，如果正確，請(qǐng)證明；如果不正確，請(qǐng)舉反例：(3)設(shè)p為常數(shù)，且，求滿足成立的常數(shù)p的值.19．（2223高一下·上海徐匯·期中）設(shè)為常數(shù)，函數(shù)（）．(1)設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期；(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，求此函數(shù)的值域．20．（2223高一下·上海黃浦·期中）在某個(gè)旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫.其中，正整數(shù)表示月份且，例如時(shí)表示1月份，A和是正整數(shù)，.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.(1)試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條