專題19 垂美四邊形模型與378、578模型（原卷版）

專題19垂美四邊形模型與378、578模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半?！咀冃?】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023春·浙江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．25例2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對(duì)角線，互相垂直，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．例3．（2023·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個(gè)解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．32例4．（2023·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過(guò)勾股定理即可證明．應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_(kāi)____．例5．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．（1）寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長(zhǎng)方形、直角梯形（任選兩個(gè)均可）；（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請(qǐng)你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA，OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB=30度．求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．例6．（2022秋·江西撫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)【知識(shí)感知】如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過(guò)的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號(hào)）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問(wèn)四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對(duì)角線交于點(diǎn)，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長(zhǎng)．模型2、378和578模型當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形。條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8時(shí)；結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·浙江溫州·九年級(jí)校考期末）邊長(zhǎng)為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°例2．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例3．（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7，試過(guò)A作AD垂直BC于點(diǎn)D并求出CD的長(zhǎng)度．例4．（2023·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長(zhǎng)分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．28例6．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是矩形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．2．（2023·河南信陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．643．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，若，，則．4、當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，則這兩個(gè)三角形的面積之和是．5．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點(diǎn)在BC上，若CE＝2，則AE的長(zhǎng)等于．6．（2023·河北·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則AB為．7．（2023春·山東·八年級(jí)期中）如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD．垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解決問(wèn)題：已知AB＝5．BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接DE，求DE的長(zhǎng)；②如圖3．當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH．若GH＝2，則S△ABC＝．8．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于它的一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．(1)回顧在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱．(2)如圖，將繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接、、．①證明：是等邊三角形；②若，證明：四邊形是勾股四邊形．9．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)階段練習(xí)）給出定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．如圖所示，將繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，，，已知．（1）求證：是等邊三角形；（2）求證：，即四邊形是勾股四邊形．10．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問(wèn)四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)性質(zhì)探究：如圖1，試探索垂美四邊形兩組對(duì)邊、與、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．(3)問(wèn)題解決：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，連接，，，已知，，求的值．

11．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)?？计谥校局R(shí)感知】（1）如圖1，四邊形的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，我們把這種對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．在我們學(xué)過(guò)的：①平行四邊形

②矩形

③菱形

④正方形中，屬于垂美四邊形的是______；（只填序號(hào)）【性質(zhì)探究】（2）如圖1，試探究垂美四邊形的四條邊，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；【性質(zhì)應(yīng)用】（3）如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求的長(zhǎng)．

12．（2023春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：下列三個(gè)圖形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四邊形的是______（填序號(hào)）(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)O，．試證明：．(3)解決問(wèn)題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、．已知，，求的長(zhǎng)．13．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：如圖，在四邊形中，，，問(wèn)四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形兩組對(duì)邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系．猜想結(jié)論：要求用文字語(yǔ)言敘述______寫出證明過(guò)程先畫出圖形，寫出已知、求證．(3)問(wèn)題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長(zhǎng)．14．（2023春·福建廈門·八年級(jí)?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)了平行四邊形章節(jié)后，小明根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，試著創(chuàng)造了一個(gè)新的特殊四邊形，規(guī)定：對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”如圖1所示．(1)【概念理解】證明：有三條邊相等的垂美四邊形是菱形；（寫出已知、求證）(2)【性質(zhì)探索】若記垂美四邊形面積為，試直接寫出與、之間的關(guān)系；(3)【性質(zhì)應(yīng)用】根據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明有400多種方法，小明為了證明勾股定理，嘗試用兩個(gè)全等的直角三角形（）如圖2擺放，其中、、在一條直線上，若假設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為，，，即，，，試?yán)茫?）中結(jié)論證明勾股定理．15．我們定義對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．如圖點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，對(duì)角線AC與BD交于O點(diǎn)，BD與EC交于點(diǎn)F，AC與ED交于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜