必修數(shù)學試題及答案

必修數(shù)學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[4]分，共[20]分）

1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.$\sqrt{9}$B.$\sqrt{2}$C.$3.14$D.$\pi$

2.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，則$f(2)$的值為（）

A.1B.3C.4D.5

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=15$，$S_8=36$，則$a_5$的值為（）

A.3B.4C.5D.6

4.若$a^2+b^2=1$，則$a^4+b^4$的最大值為（）

A.2B.1C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{4}$

5.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）

A.$y=-x^2+2x-3$B.$y=x^3-3x+2$C.$y=-2x+3$D.$y=\frac{1}{x}$

6.若$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，$\sin\alpha\neq0$，則$\tan\alpha$的值為（）

A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$B.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{3}{2\sqrt{2}}$D.$-\frac{3}{2\sqrt{2}}$

7.下列各對角線互相垂直的平行四邊形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

8.若$a>b>0$，則下列不等式成立的是（）

A.$\frac{1}{a}>\frac{1}$B.$a^2>b^2$C.$a^3>b^3$D.$a^4>b^4$

二、填空題（每題[4]分，共[16]分）

1.若$a^2+b^2=2ab$，則$\cos\alpha+\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中$\alpha$和$\beta$是銳角。

2.若$a+b=2$，$ab=1$，則$a^2+2ab+b^2$的值為4。

3.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=10$，$S_8=30$，則$a_5=4$。

4.若$a^2+b^2=1$，則$a^4+b^4$的最大值為2。

5.若$a^2+b^2=1$，則$\cos^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{3}{4}$。

四、解答題（每題[8]分，共[32]分）

1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$），且$f(-1)=2$，$f(1)=3$，$f(2)=2a+b+c=6$，求函數(shù)$f(x)$的表達式。

2.在$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=4$，求$\triangleABC$的面積。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_5=15$，$S_8=36$，求$a_1$和公差$d$。

4.已知$a^2+b^2=1$，$ab=-\frac{1}{2}$，求$a^4+b^4$的值。

五、應用題（每題[10]分，共[20]分）

1.已知$x$，$y$是方程組

$$

\begin{cases}

x+y=3\\

x^2+y^2=7

\end{cases}

$$

的解，求$x^3+y^3$的值。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第$n$項為$a_n=2n+1$，求該數(shù)列的前$10$項和。

六、證明題（每題[10]分，共[20]分）

1.證明：若$a^2+b^2=1$，則$a^2+b^2+2ab\geq2$。

2.證明：等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B。無理數(shù)是不能表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，$\sqrt{2}$是無理數(shù)。

2.A。將$x=2$代入$f(x)=x^2-4x+3$得$f(2)=2^2-4\times2+3=1$。

3.C。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$S_5=5a_1+10d=15$，$S_8=8a_1+28d=36$，解得$a_1=1$，$d=2$，所以$a_5=a_1+4d=1+4\times2=9$。

4.A。由柯西不等式，$(a^2+b^2)(1+1)\geq(a+b)^2$，即$a^4+b^4\geq2$，等號成立當且僅當$a=b$。

5.B。$y=x^3-3x+2$的導數(shù)為$3x^2-3$，在定義域內(nèi)恒大于0，所以是增函數(shù)。

6.A。由$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，$\sin\alpha\neq0$，得$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{3}{1}=2\sqrt{2}$。

7.B。菱形的對角線互相垂直，所以選B。

8.C。由$a>b>0$，得$a^3>b^3$，所以選C。

二、填空題答案及解析：

1.$\cos\alpha+\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由三角函數(shù)的和角公式，得$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由$a^2+b^2=2ab$，得$\cos^2\alpha+\cos^2\beta=2\cos\alpha\cos\beta$，所以$\cos^2\alpha+\cos^2\beta=2\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}$，所以$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{4}$，代入$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=2\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\frac{1}{2}$，所以$\sin