數(shù)學計算機《第1-5章》課件-第1章

第1章函數(shù)與極限

1.1函數(shù)概念及其性質(zhì)

1.2極限的概念

1.3無窮小量與無窮大量

1.4極限的運算法則

1.5兩個重要極限

1.6函數(shù)的連續(xù)性

本章小結(jié)

內(nèi)容提要：函數(shù)是微積分研究的對象，極限是研究微積分的工具。本章首先復習中學已經(jīng)學習過的函數(shù)及其性質(zhì)的有關(guān)知識，進而給出基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的定義。

然后重點研究極限的概念與性質(zhì)及函數(shù)的連續(xù)性。

學習要求：了解函數(shù)、復合函數(shù)、分段函數(shù)等概念；復述無窮小與無窮大的概念、極限的運算法則、函數(shù)連續(xù)與間斷點的概念；熟悉復合函數(shù)的復合與分解，能用無窮小性質(zhì)求極限、判斷無窮小與無窮大；能夠用極限的運算法則求極限，熟悉兩個重要極限以及其在求極限中的應(yīng)用。

1.1函數(shù)概念及其性質(zhì)1.1.1函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義定義1設(shè)x

和y

為兩個變量，

D為一個給定的數(shù)集.如果對每一個x∈D，按照一定的法則f，變量y

總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，就稱y為x

的函數(shù)，記為

y

=f(x

)，x

∈D其中數(shù)集D稱為該函數(shù)的定義域，記為D(f)，

x

叫做自變量，

y

叫做因變量。

對于確定的x

0

∈D，依法則f

的對應(yīng)的值稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0

時的函數(shù)值，記作

y0=yx=x0=f(x0)

函數(shù)值的集合M={yy

=f(x)，

x∈D}，

稱為函數(shù)y=f(x)的值域。

2.函數(shù)的兩個要素

函數(shù)的對應(yīng)法則和定義域稱為函數(shù)的兩個要素。如果兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則分別相同，則稱這兩個函數(shù)是同一函數(shù)。例如，

u=v2

與

s=t2

就是相同的函數(shù)，由此可以看出，函數(shù)與表示其變量的符號是無關(guān)的。

例1

設(shè)

f(x)=x2

-2x+3

,求

f(2)、f(x+1)

.

解函數(shù)的對應(yīng)規(guī)律為

f(

)=(

)2

-2×(

)+3

所以

f

(2)=22-2×2+3=3

f

(x+1)=(x+1)2

-2(x

+1)+3=x2

+2

3.函數(shù)的表示法

函數(shù)通?？梢杂帽砀穹āD像法、解析法來表示,還可以用它們的綜合來表示.

(1)表格法:將自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法.如三角函數(shù)表、常用對數(shù)表以及經(jīng)濟分析中的各種統(tǒng)計報表等.

(2)圖像法:用圖像表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法.如圖1－1所示例子即為圖像法的應(yīng)用.

(3)解析法:用一個等式表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法.如y=2sinx

,y=2x3-lg(x

+5)等.圖1－1

4.函數(shù)定義域的求解方法

函數(shù)定義域的求解方法如下:

(1)根據(jù)實際問題的實際意義確定.

(2)抽象的函數(shù)解析式必須使其解析式有意義.通常應(yīng)

該考慮:分式中分母不能為零;偶次根式的被開方數(shù)非負;對數(shù)中真數(shù)表達式大于零;反三角函數(shù),例如arcsinx

,arccosx

,要滿足{x||x

|≤1};多個函數(shù)代數(shù)和的定義域應(yīng)是各

項函數(shù)定義域的公共部分等等.

5.反函數(shù)

定義2設(shè)函數(shù)的定義域為Df，值域為Vf

。

對于任意的y∈V

f，

在Df上至少可以確定一個x

與y

對應(yīng)，且滿足y=f(x)。

如果把y

看做自變量，

x

看做因變量，就可以得到一個新的函數(shù)：

x=f-1(y

)。

我們稱這個新的函數(shù)x=f-1(y

)為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，而把函數(shù)y=f

(x

)稱為直接函數(shù)。

反函數(shù)x=f

-1(y)與y=f

-1(x)，這兩種形式都可能用到。

應(yīng)當說明的是函數(shù)y

=f(x)與它的反函數(shù)x=f

-1(y)具有相同的圖形。而直接函數(shù)y

=f

(x)與反函數(shù)y=f

-1(x)的圖形是關(guān)于直線y=x

對稱的，如圖1－2所示。圖1－2

1.1.2函數(shù)的幾種特性

1.奇偶性

定義3設(shè)函數(shù)f

(x)的定義域D

關(guān)于原點對稱,對于任意一個x∈D,都有f(-x

)=-

f(x),則稱f(x)為奇函數(shù);若有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱;偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱.如圖1－3所示.圖1－3

例如:f(x)=x2

是偶函數(shù)，因為f

(-x)=(-x)2=x2=f(x)；又如f(x)=x3

是奇函數(shù)，因為f

(-x)=(-x)3

=-x3=-f(x)；函數(shù)y=sinx

是奇函數(shù)，

y=cosx

是偶函數(shù)；

函數(shù)y=sinx

+cosx

既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

2.函數(shù)的周期性

定義4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D

。

若存在不為零的數(shù)T

使得對于任意的x

∈D，都有x±T∈D

，且

f(x+T)=f(x

)

恒成立，則稱f

(x)為周期函數(shù)，其中T

叫做函數(shù)的周期。通常周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期。

例如，

y=sinx

，y

=cosx

都是以2π

為周期的周期函數(shù)，y

=tanx

，

y=cotx

都是以π為周期的周期函數(shù)。周期函數(shù)的圖形是按照周期重復出現(xiàn)的，參見附錄Ⅱ。

3.函數(shù)的單調(diào)性

定義5設(shè)函數(shù)f

(x)的定義域為D

，(a,b)?D

，任取x1

、x2

∈(a,b

)，且x1

<x2

，恒有

f(x1

)<f

(x2

)

則稱函數(shù)f

(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的，如圖1－4(a)所示。

如果任x1

、x2

∈(a,b

)，且x1

<x2

，恒有

f(x1)>f(x2)

則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)減少的,如圖1－4(b)所示.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).圖1－4

例如,函數(shù)f(x)=x2

在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的,在區(qū)間(-∞,0]內(nèi)是單調(diào)減少的;但是在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi),函數(shù)f

(x)=x2

不是單調(diào)的.

又如,函數(shù)f(x)=x3

在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的.

如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù)(或是減函數(shù)),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b

)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),區(qū)間(a

,b)叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的單調(diào)增加或單調(diào)減少的性質(zhì),叫做函數(shù)的單調(diào)性

4.函數(shù)的有界性

定義6設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,數(shù)集I?D,如果存在正數(shù)M,使得與任一x

∈I所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式

|f(x)|≤M

則稱f(x)在I內(nèi)有界.如果這樣的M不存在,就稱函數(shù)f(x)在I內(nèi)無界.這就是說,如果對于任何正數(shù)M,總存在x1∈I,使|f

(x1)|>M,那么函數(shù)f(x)在I內(nèi)無界.

1.1.3初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

(1)常數(shù)函數(shù)

y=C(C

為常數(shù))。

(2)冪函數(shù)y=xμ(μ

為常數(shù),μ

∈R

)。

(3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a

>0,a≠1,a

為常數(shù));y=ex(e=2.71828182849…).

(4)對數(shù)函數(shù)y=logax(a

>0，a

≠1，

a為常數(shù))；y

=lnx

(自然對數(shù))。

(5)三角函數(shù)y

=sinx

，y

=cosx

，

y

=tanx

，

y

=cotx

，

y

=secx，

y

=cscx

。

(6)反三角函數(shù)y

=arcsinx

，

y

=arccosx，y

=arctanx

。

y

=arccotx。

上述基本初等函數(shù)的圖形請讀者參見附錄Ⅱ。

例5

試求由函數(shù)y=u3

，u=tanx

復合而成的函數(shù)。

解將u=tanx

代入y=u3

中，即得所求復合函數(shù)y=tan3x

。

有時，一個復合函數(shù)可能由三個或更多的函數(shù)復合而成。

例如，由函數(shù)y=2u

，u

=sinv和v=x2+1

可以復合成函數(shù)y=2sin(x2+1)，其中u

和v都是中間變量。反之，分析一個復合函數(shù)的復合結(jié)構(gòu)一般由外向里，每一步都應(yīng)是基本初等函數(shù)的形式。

今后我們所討論的函數(shù)，絕大多數(shù)都是初等函數(shù)。

在定義域的不同范圍內(nèi)用不同的解析式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

一般說來分段函數(shù)不是初等函數(shù)，分段函數(shù)往往不能用一個解析式子表示。

例如

習題1－1

2.指出下列各組函數(shù)的同異性,為什么?

3.指出下列函數(shù)的復合過程:

1.2極限的概念

極限描述的是變量在某個變化過程中的變換趨勢.比如現(xiàn)實生活中電池的充放電;從市場的變化趨勢來預測產(chǎn)品需求狀況,等等,這些過程從數(shù)學上看便體現(xiàn)了極限的思想.

1.2.1數(shù)列的極限

數(shù)列是按正整數(shù)的順序排列的無窮多個數(shù).通常也把數(shù)列寫成

y

1,y2,…,y

n,…

數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項.第n項yn叫做數(shù)列的通項或一般項.

例如８頁

等都是數(shù)列.

數(shù)列可用通項簡記為{y

n}.

因此,上述數(shù)列可簡寫為:

我們要研究的問題是：給定一個數(shù)列{y

n}，當項數(shù)n

無限增大時，通項y

n的變化趨勢.

定義1給定數(shù)列{y

n}，如果當n無限增大時,y

n無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱n趨于無窮大時(記為n→∞),數(shù)列{y

n}以常數(shù)A為極限,也稱數(shù)列{y

n}收斂于A.

記作

否則,稱數(shù)列yn{}沒有極限,也稱該數(shù)列是發(fā)散的.

數(shù)列{(-1)n+1},當

n無限增大時，yn

總是在1與-1之間跳躍，永遠不會趨近于某一個固定的數(shù)。因此它沒有極限,是發(fā)散的。

數(shù)列{2n-1}，當n

無限增大時，yn

將隨著n增大而增至無窮大，我們說它也沒有極限，是發(fā)散的。

圖1－5

例3考察y=sinx,當x→+∞時的變化情況。

解

由于y

=sinx是周期函數(shù),當x

→+∞時,函數(shù)y=sinx的值在-1和1之間呈現(xiàn)周期性擺動,不趨向于任何常數(shù).所以我們說當x→+∞時,函數(shù)y=sinx沒有極限。

我們給出如下的定義:

定義2如果當x→+∞

時,函數(shù)f

(x)趨于某一個常數(shù)A,則稱當x→+∞時,函數(shù)f(x)以A

為極限.記作

類似地,可以引入當x→-∞和x→∞時f(x)的極限.

定義3如果當x→-∞時,函數(shù)f(x)趨于某一個常數(shù)A,則稱當x→-∞時,函數(shù)f

(x)以A

為極限.記作

例4求。

解由指數(shù)函數(shù)的圖形可知，當x→-∞時,3x

→0,所以

定義4如果當x→∞(包括x→+∞x

→-∞)時，函數(shù)f(x)趨于某一個常數(shù)A

，則稱當x→∞時,函數(shù)

f(x)以A

為極限。記作

如

定理1當x→∞時,f(x)以A

為極限的充分必要條件是:

例5求

解由反正切函數(shù)圖形1－6可以看出

因為

所以不存在

圖1－6

定義5設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x

0

的某個鄰域(點

x

0本身可以除外)內(nèi)有定義，如果當x趨于x

0

(但x≠x

0

)時，函數(shù)f(x)趨于一個常數(shù)A,則稱當x趨于x

0時，

f(x)以A

為極

限。記作

亦稱當x→x

0時，f(x)的極限存在。否則稱當x→x

0時，

f(x)的極限不存在。

上述x

趨于x

0

的變化趨勢并沒有限定。事實上，一般x趨于x

0有兩個方向：從x大于x

0趨于x

0時我們稱為f(x)的右極限；從x小于x

0趨于x

0時我們稱為f(x)的左極限。

記作

例7根據(jù)極限定義說明:

解(1)當自變量x

趨于x

0時，函數(shù)2x

就趨于2x

0

,于是依照定義有。

(2)無論自變量取何值，函數(shù)都取相同的值c，所以。

由上得知:常數(shù)的極限是它本身.

根據(jù)上面的定義,我們給出類似定理1極限存在的充分必要條件.

定理2當x→x

0時，

f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)在點x

0處左、右極限存在并且都等于

A。即

例8設(shè)

。試判斷是否存在。

解

先分別求f(x)當x→1時的左、右極限：

習題1－21.求下列極限:

1.3無窮小量與無窮大量

1.3.1無窮小量定義1若函數(shù)f(x)在自變量x

的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,f(x)為無窮小量。簡稱無窮小。無窮小量常用希臘字母α

，β，γ等來表示。

例如,

,即當x→-∞時,3x

為無窮小量；,即當x→0時,x2

也為無窮小量.

理解無窮小概念時應(yīng)注意：

(1)無窮小是以零為極限的變量,是一個函數(shù)。

不要把一個很小很小的數(shù)誤認為是無窮小量。如10-30這個數(shù)雖然非常小,但它不以0為極限,所以不是無窮小量。常數(shù)0是特殊的無窮小量，除0之外，任何常數(shù)都不是無

窮小量。

其中l(wèi)imα=0.

在自變量的同一變化過程中,無窮小具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和仍然是無窮小。

性質(zhì)2常數(shù)與無窮小的積仍是無窮小。

性質(zhì)3

有限個無窮小之積(自變量為同一變化過程時)仍然是無窮小。

性質(zhì)4有界函數(shù)與無窮小之積仍是無窮小。

習題1－3

1.判斷下列敘述是否正確，并說明理由。

(1)無窮小量是越來越接近于零的量；

(2)0是無窮小量；

(3)無窮小量是0；

(4)無窮小量是以零為極限的變量；

(5)無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。

1.4極限的運算法則

利用極限定義求函數(shù)的極限,一般情況下是不方便的,而且有一定的局限性.本節(jié)介紹極限的四則運算法則,并利用運算法則求變量的極限.

推論1

如果limf(

x)存在，而C為常數(shù)，那么

推論2

limf(

x)=A

存在，而n為正整數(shù)，那么

例1求

解

例2求

解

例4求

解

當x→2時,分式的分子、分母的極限均為0,不能直接用商的極限法則求解.而當x

→2但x≠2時,分子、分母都有以零為極限的公因子x-2,可消去后再求極限.即

例5求

解

例7求

解

當x→∞時,分式的分子、分母均趨于無窮大,不能直接用商的極限法則求解.將分子、分母同除以x的最高次冪x3,得

例8求

解將分子、分母同除以x

的最高次冪x

3,得

例9求

解

將分子、分母同除以x

的最高次冪x

3,得

習題1－

4

1.求下列極限:

2.求下列極限:

1.5兩個重要極限

從上表可以看出,當x→0時,函數(shù),即

1.5.2第二重要極限

我們可以從表1－3中觀察函數(shù)隨x

無限增大的變化趨勢。

更一般地,還可以有如下公式:

這兩個極限式可以統(tǒng)一為“1加無窮小的無窮大次方的極限為e”

1.5.3等價無窮小在求極限中的應(yīng)用

我們知道,如果α

，β

都是無窮小量，當limβα=1時，則β與α是等價的，記作α~β。關(guān)于等價無窮小,我們有下面兩個等價代換法則，它們對于求極限有時是很有用的。

習題1－5

1.求下列極限:

2.求下列極限:

1.6函數(shù)的連續(xù)性

在現(xiàn)實生活中有許多量都是連續(xù)變化的，例如氣溫的變化，植物的生長,物體運動的路程，等等。這些反映在數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性，它是與函數(shù)的極限密切相關(guān)的另一個基本概念。

1.6.1連續(xù)函數(shù)的概念

1.增量

定義1

設(shè)變量u

從它的初值u

0

變到終值u

1,則終值與初值之差u

1

-u

0就叫做變量u

的增量,又叫做u的改變量,記作Δu,即Δu

=u

1-u

0

.

對于函數(shù)y=f

(x

),當自變量x

從x

0變到x

0+Δx(自變量的改變?yōu)棣)時,函數(shù)y有相應(yīng)的改變量,記作Δy,即

Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

)

2.函數(shù)在點x0處的連續(xù)

定義2

設(shè)函數(shù)y=f(x),在點x

0的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當自變量x

在點x

0處的改變量Δx

趨于零時,函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy=f

(x

0+Δx)-f(x

0)也趨于零,即

則稱函數(shù)f(x),在點x

0處連續(xù)。

由上述定義，如果令x=x

0+Δx，則當Δx→0時，

x

→x

0，于是limΔx→0Δy

=0可以改寫為

即

因此，函數(shù)在點x

0

處連續(xù)也可定義如下:

定義3

設(shè)函數(shù)y=f(x

)，在點x

0

的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當x→x

0時函數(shù)f(x

)，的極限存在，

且等于f(x

)，在點x

0

處的函數(shù)值f

(x

0)，即

則稱函數(shù)f(x)在點x

0處連續(xù)。

據(jù)此,函數(shù)f(x)在點x

0處連續(xù)必須同時滿足以下三個條件:

(1)函數(shù)在x

0點有定義;

(2)函數(shù)f(x)當x→x

0時有極限;

(3)極限值等于該點處的函數(shù)值。

如果這三條中任何一條滿足,則可判定函數(shù)f(x)在x

0

處就是不連續(xù)的。

同理,根據(jù)函數(shù)f(x)在x

0處左極限和右極限的定義,可給出f(x)左連續(xù)與右連續(xù)的定義:

定義4如果=f(x

0),則稱函數(shù)y=f(x)在點x

0處左連續(xù);如果li

=f(x

0),則稱函數(shù)y=f(x)在點x

0處右連續(xù)。

例1討論函數(shù)

在x=0處的連續(xù)性。

解

點x=0是函數(shù)f(x

)的分段點，且此點兩側(cè)函數(shù)的表達式不同，所以必須分別求左、右極限，再用連續(xù)的定義判定。

因為

所以

又因為f(0)=2,于是

故函數(shù)f(x)在點x=0處是連續(xù)的

3.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)

定義5

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都連續(xù),則稱f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且則稱f(x)在區(qū)間[a

,b]上連續(xù)。

連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。

1.6.2初等函數(shù)的連續(xù)性

定理

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。

根據(jù)這條定理，我們在求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點的極限時，只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。

1.6.3函數(shù)的間斷點

1.間斷點

定義6

如果函數(shù)y=f(x)在點x

0處不連續(xù)，則稱函數(shù)y=f(x)在點x

0處間斷，點x

0稱為函數(shù)y=f(x)的間斷點。

2.間斷點的分類

定義7

設(shè)x

0

為f(x)的一個間斷點，如果當x→x

0

時，與均存在，則x

0稱為函數(shù)y=f(x)的第一類間斷點，否則，稱x

0為f(x)的第二類間斷點。

第一類間斷點還可分為如下兩類：

(1)跳躍間斷點———左、右極限存在但不相等，即

(2)可去間斷點———極限值存在但不等于函數(shù)值，即

例2

設(shè)函數(shù)f(x)=，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。

解因為f(x)在x=0處有定義，且

顯然

所以f(x)在x=0處不連續(xù)，且x=0是第一類間斷點,且為可去間斷點。

1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)具有一些重要性質(zhì),這些性質(zhì)在理論與實際中都有廣泛的應(yīng)用，

性質(zhì)1

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b

]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上必然存在最大值與最小值。

性質(zhì)2

設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),f(a)=A,f(b)=B,且A≠B,

則對于A

與B

之間的任一值C,在開區(qū)間(a

,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f

(ξ

)=C。

性質(zhì)3

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且

f(a)·f(b)<0，則在開區(qū)間(a

,b

)內(nèi),至少存在一點ξ，使得f(ξ)=0。

性質(zhì)4

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界。

例4證明方程x

5-2x2+x+1=0在區(qū)間(-1,1)內(nèi)至少有一個實根。

證明設(shè)f(x)=x

5-2x2+x+1=0，因為f(x)是初等函數(shù),并在[-1,1]上連續(xù)；又因為f(-1)=-3<0，

f(1)=1>0，所以，根據(jù)性質(zhì)4，在(-1,1)內(nèi)至少有一點ξ

，使f

(ξ)=0，(-1<ξ<1)，即

ξ5

-2ξ2+ξ+1=0

所以，方程x

5-2x2+x+1=0在區(qū)間(-1,1)內(nèi)至少有一個實根。

習題1－61.判斷下列敘述的正誤(說明判斷理由):(1)如果f(x

0)存在,則

f(x)在點x

0處連續(xù).

(

)(2)如果

f

(x)存在,則f(x)在點x0處連續(xù).

(

)(3)如果f(x

0

)存在,

f

(x)存在,則f(x)在點x

0處連續(xù).

(

)(4)如果f

(x

0

-0)=f

(x

0

+0),則f(x)在點x

0處連續(xù).

(

)(5)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).

(

)

2.討論下列函數(shù)在指定點的連續(xù)性:

本章小結(jié)

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的概念函數(shù)是高等數(shù)學研究的基本對象.函數(shù)的定義域確定函數(shù)存在的范圍,函數(shù)的對應(yīng)法則確定自變量如何對應(yīng)到因變量,這是構(gòu)成函數(shù)的兩個要素.兩個函數(shù)恒等當且僅當定義域和對應(yīng)法則完全相等,若兩者之一不同,就是兩個不同的函數(shù).

2.復合函數(shù)

設(shè)y=f(u

),而u

=φ(x)且函數(shù)φ(x)的值域全部或部分包含在函數(shù)f(u)的定義域內(nèi),那么我們把y叫做x

的復合函數(shù),簡單地說,復合函數(shù)就是函數(shù)嵌套函數(shù)或者函數(shù)的函數(shù).但要注意:不是任何兩個函數(shù)都能復合成一個函數(shù)