2015-2024年高考數(shù)學(xué)好題分類匯編：概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)字特征大題綜合（原卷版）

與題22槐阜就計(jì)自狼莊特征之泉除合

十年考情-探規(guī)律

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1獨(dú)立性檢驗(yàn)2024■全國甲卷、2023.全國甲卷、2022.全國新I卷

為載體及其應(yīng)用2022?全國甲卷、2021?全國甲卷、2020.海南卷、2020?山東卷

（10年6考）2020?全國卷、2017■全國卷

考點(diǎn)2線性回歸直1.熟練掌握獨(dú)立性

線方程為載體及其應(yīng)2022?全國乙卷2020?全國卷2018?全國卷2017?全國卷檢驗(yàn)和線性回歸直

用2017?全國卷2016?全國卷2015?重慶卷線方程的求解，該內(nèi)

（10年6考）容會(huì)繼續(xù)作為載體

2024.全國新II卷、2023?全國新I卷、2022?全國甲卷內(nèi)容命題

考點(diǎn)3賽事類（分配

2022?北京卷、2021.全國新I卷、2020?全國卷、2019?天津卷2.熟練掌握二項(xiàng)分

類）的分布列及期望

2019?全國卷、2017?山東卷、2016?山東卷、2016?天津卷布、超幾何分布及其

方差

2015?重慶卷、2015?天津卷、2015?湖南卷、2015?安徽卷他類別的分布列與

（10年9考）

2015?福建卷期望方差問題，同樣

考點(diǎn)4其他類型的2024?北京卷、2023?全國新I卷、2021?北京卷、2020?江蘇卷是高考命題熱點(diǎn)

分布列及期望方差2019?北京卷、2018?北京卷、2018?全國卷、2017?全國卷3.掌握對(duì)立事件、

（10年9考）2017?江蘇卷、2016?全國卷、2015?山東卷相互獨(dú)立事件的概

考點(diǎn)5條件概率、全率求解，會(huì)求古典概

概率公式、貝葉斯公率、條件概率、全概

2023?全國新I卷、2022?全國新I卷、2022?全國新II卷

式率，同樣是高考命題

（10年2考）熱點(diǎn)

考點(diǎn)6求解數(shù)字樣4.要會(huì)概率統(tǒng)計(jì)的

本特征及應(yīng)用2023?全國乙卷、2021.全國乙卷、2015?廣東卷綜合運(yùn)算及知識(shí)雜

（10年3考）糅問題

考點(diǎn)7概率統(tǒng)計(jì)的2024?全國甲卷、2023?全國新H卷、2023?北京卷、2020?北京卷

實(shí)際應(yīng)用與決策問題2020?全國卷、2019?北京卷、2019?全國卷、2018?全國卷

（10年7考）2017?北京卷、2016?四川卷、2016?北京卷、2016?全國卷

2016?全國卷、2016?全國卷、2015?陜西卷、2015?全國卷

考點(diǎn)8概率統(tǒng)計(jì)與

2023?全國新H卷、2021?全國新II卷

其他知識(shí)的雜糅問題

2020?江蘇卷、2019?全國卷

（10年4考）

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01獨(dú)立性檢驗(yàn)為載體及其應(yīng)用

L（2024?全國甲卷?高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間

的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

⑴填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

⑵已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率P=0.5,設(shè)方為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

萬＞P+1.65J"二"，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（阿。12.247）

n(ad-be)1

附：K2=

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2023?全國甲卷?高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中

20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼

養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)也再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于相與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下

列聯(lián)表：

O<m>m

對(duì)照組□

實(shí)驗(yàn)組U

3）根□據(jù)（i）□中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量

有差異.

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(7?+d)'

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

3.（2022?全國新I卷?高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)

慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未

患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

⑴能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好"，2表示事件"選到的人患有該疾

譙號(hào)與舞卷的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為

病".R.

(El)證明：

P(A|B)P(A\B)

（國）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出入川3）,「（川豆）的估計(jì)值，并利用（回）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n(ad-be)2

附K?=

(a+b)(c+d)(4+c)(b+d)

P(^K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4.（2022?全國甲卷?高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和2兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長

途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

⑴根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

⑵能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較

產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-be)。

(a+b)(c+(/)(?+c)(b+d)

P(^K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

6.（2020?海南?高考真題）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)

抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：gg/m3）,得下表：

S02

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計(jì)事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

n(ad-be)。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

7.（2020?山東?高考真題）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)

抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：gg/m3）,得下表：

[0,50](50,150]050,475]

PM2.5

[035]32184

(35,75]6S12

(75,115]3710

（1）估計(jì)事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150"的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

PM2.5\^

[0,75]

(75」15]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO,濃度有關(guān)?

n(ad-be)2

(a+b)(c+(/)(?+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

8.（2020,全國?高考真題）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛

煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉

[0,200](200,400](400,600]

人次空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好"；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天

“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天

中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9.（2017?全國?高考真題）（2017新課標(biāo)全國II理科）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)

量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）.其頻率分布直方圖如下:

頻

率

I頻率

一

一

組-

距

組

距

.O

4O

.0O

3446

320..044

.00..0

0.024

0.020

0.020

0.014SOI0

0.012OO8

O.OO4

---------------------------------O.

O25303540455055606570箱產(chǎn)量/kgO3540455055606570箱產(chǎn)量/kg

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

⑴設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件："舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量

不低于50kg”,估計(jì)A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

⑶根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.

m0.0500.0100.001n（ad-bcf

pfj?,K=

k3.8416.63510.828（a+b）（c+d）（“+c）3+d）

考點(diǎn)02線性回歸直線方程為載體及其應(yīng)用

L（2022?全國乙卷?高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種

樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單位:

n?）,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量先0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=0.038,》>；=1.6158,￡他=0.2474.

i=li=li=l

⑴估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

⑵求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

⑶現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186mt已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

豆（此一?。ā芬淮酰____

附：相關(guān)系數(shù)「=I"'""，JL896?1-377.

岳一）玄（…了

Vi=li=l

2.（2020?全國?高考真題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該

地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20

個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)①，yi）（i=l,2,20）,其中x/?和w?分別表示第，個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單

20202020

位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得=60,￡>=1200,￡（無「寸=80,￡（x-y）2=9000,

1=1Z=1Z=14=1

20

X5-丁）（％-》）=8。。.

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均

數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（x/,丫//=1，2,…，20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物

數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

汽（X,-君⑶一了）

附：相關(guān)系數(shù)r=“,,2=1.414.

臣（X,-君2t（y「力2

Vz=li=l

3.（2018?全國?高考真題）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，（單位：億元）的折線圖.

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施

投資額，建立了＞與時(shí)間變量，的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量,的值依次

為1,2,-,17）建立模型①：夕=-30.4+13.5入根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量r的值依次為L2,-,7）

建立模型②：夕=99+17.57.

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.

4.（2017?全國?高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取

16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的

尺寸服從正態(tài)分布

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（〃-3b,u+3b）之外的零件數(shù)，求

尸（X21）及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（"-36”+36之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)

過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

但）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（0）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116

經(jīng)計(jì)算得釬病-97,?0.212,其中&為抽取的第i個(gè)零件

的尺寸，/=1,2,,16.

用樣本平均數(shù)5作為4的估計(jì)值&,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為。的估計(jì)值5,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生

產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除3-33,.+38）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)〃和。（精確到0.01）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃,02）,貝|尸（〃一3b<Z<〃+3b）=0.9974,0.997416?0.9592,

V0.008x0.09.

5.（2017?全國?高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨

機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計(jì)算得了='>,=9.97,s=（占一=y=落］x0.212，

l-L616

￡（Z-8.5）218.439,2（%-可（i-8.5）=-2.78,其中士為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，，=1，2,…』6.

V1=11=1

（1）求（專。?=1,2,...,16）的相關(guān)系數(shù)廠，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行

而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ舨穦<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在口-3s,元+3s）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)

過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（0）從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

（0）在（元-3s,元+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值

與標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0。1）附：樣本a，%）（i=l,2,...,〃）的相關(guān)系數(shù)

’0.008?0.09.

6.（2016?全國?高考真題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（0）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（0）建立y關(guān)于f的回歸方程（系數(shù)精確到0Q1）,預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理量.

附注：

77

參考數(shù)據(jù)：Ex-=9.32,￡丘=40.17,

1=14=1

=0.55,近=2.646.

）

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=|J,

住&-T這（％-蘇

V/=i/=i

￡&-，）（y-歹）

回歸方程＞=。+"中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=J----------，a=y-bT.

t（一了

i=l

7.（2015?重慶?高考真題）隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存

款（年底余額）如下表：

年份20102011201220132014

時(shí)間代號(hào)f12345

儲(chǔ)蓄存款y（千億元）567810

（團(tuán)）求y關(guān)于t的回歸方程、=匕+。

但）用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年a=6）的人民幣儲(chǔ)蓄存款.

￡（改-x）（y,.-y）2匕％一”取

八b=-..........................=且---------

附：回歸方程券=〃+。中｛￡（"?。?少一標(biāo)2'

i=li=l

a=y-bx.

考點(diǎn)03賽事類（分配類）的分布列及期望方差

1.（2024?全國新II卷?高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如

下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少

投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得

。分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p,

乙每次投中的概率為分各次投中與否相互獨(dú)立.

（1）若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設(shè)o<p<g,

（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

2.（2023?全國新I卷?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中

率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（X,=1）=1-2區(qū)=0）=%』,2,…則，*>[=/一記

k/=l）i=l

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為人求后代）.

3.（2022?全國甲卷?高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，

負(fù)方得。分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝

的概率分別為0.5,0,4,0,8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

4.（2022?北京?高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m以

上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽

成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

⑴估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

⑶在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

5.（2021?全國新I卷?高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路"知識(shí)競賽，有48兩類問題，每位參加比賽的同

學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則

從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束4類問題中的每個(gè)問題回

答正確得20分，否則得0分；8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答

A類問題的概率為0.8,能正確回答2類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

6.（2020?全國?高考真題）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比

賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，

直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比

賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為

（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

7.（2019?天津?高考真題）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為（.假定甲、乙兩位

同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（回）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（回）設(shè)M為事件"上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)

恰好多2",求事件M發(fā)生的概率.

8.（2019?全國?高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，

先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,

乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為04各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球

該局比賽結(jié)束.

（1）求尸（X=2）；

（2）求事件"X=4且甲獲勝”的概率.

9.（2017?山東,高考真題）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方

法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)

比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者4,X,4,A4,

4,4和4名女志愿者82,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.

（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含與的概率.

（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.

10.（2016?山東?高考真題）甲、乙兩人組成"星隊(duì)"參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一

輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，貝〃星隊(duì)"得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，貝星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，

貝廣星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是】3，乙每輪猜對(duì)的概率是彳2；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影

43

響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)"參加兩輪活動(dòng)，求：

（團(tuán)）"星隊(duì)"至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；

（回）“星隊(duì)"兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

11.（2016?天津?高考真題）邢江中學(xué)高二年級(jí)某班某小組共10人，利用寒假參加義工活動(dòng)，已知參加義工

活動(dòng)次數(shù)為1，2,3的人數(shù)分別為2,4,4.現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會(huì).

（1）記"選出2人參加義工活動(dòng)的次數(shù)之和為4”為事件A,求事件A發(fā)生的概率；

（2）設(shè)X為選出2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

12.（2015?重慶?高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，

肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè).

（1）求三種粽子各取到1個(gè)的概率.

（2）設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

13.（2015?天津?高考真題）為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有

來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員

中隨機(jī)選擇4人參加比賽.

（1）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)"，求事件A發(fā)生的

概率；

（2）設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

14.（2015?湖南?高考真題）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從

裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球

中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).

（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求》的分布列和數(shù)學(xué)期望.

15.（2015?安徽?高考真題）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢

測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

（0）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

（0）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的

檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.（2015?福建?高考真題）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖

定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6

個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直

至該銀行卡被鎖定.

5）求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；

（團(tuán)）設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

考點(diǎn)04其他類型的分布列及期望方差

L（2024?北京?高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單

中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立用頻率估計(jì)概率.

⑴估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

（i）記X為一份保單的毛利潤，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（0）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中E（X）估計(jì)值的大小.（結(jié)論不要求證明）

2.（2023?全國新I卷?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中

率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且尸（X,=l）=l-P（X,=0）=西=1,2,…,明則￡曰＞,]=記

\z=l）i=l

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為九求后代）.

3.（2021?北京?高考真題）在核酸檢測(cè)中，筑合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將上個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1

次檢測(cè)，如果這上個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:

如果這左個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)

果，檢測(cè)結(jié)束.

現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.

（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1"混采核酸檢測(cè).

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)；

（"）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為1.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）.

（II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用"5合1"混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，

試判斷數(shù)學(xué)期望E（y）與（I）中E（X）的大小.（結(jié)論不要求證明）

4.（2020?江蘇?高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋

中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)"次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為l，恰有2個(gè)黑球的概

率為Pn,恰有1個(gè)黑球的概率為qn.

（1）求pi,qi和P2,92；

（2）求2pn+qn與2pnu+qn-l的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E（Xn）（用。表示）.

5.（2019?北京?高考真題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要

支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100

人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布

情況如下：

交付金額（元）

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（0）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率；

（回）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000

元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（團(tuán)）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)

他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000

元的人數(shù)有變化？說明理由.

6.（2018?北京?高考真題）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

（0）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

（0）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

（回）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“4=1"表示第左類電影得到人

們喜歡，"孩=。"表示第左類電影沒有得到人們喜歡（笈=1，2,3,4,5,6）.寫出方差。芻,黨2,D4,

。4，D短的大小關(guān)系.

7.（2018?全國?高考真題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品

作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)

果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P（0<P<D,且各件產(chǎn)品是否為

不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為F（P）,求A。）的最大值點(diǎn)P。；

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的外作為。的值.已知每件產(chǎn)品

的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

8.（2017?全國?高考真題）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元,

未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫

（單位:回）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶;如果

最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得

下面的頻數(shù)分布表：

最高[10,[15,[20,[25,[30,[35,

氣溫15)20)25)30)35)40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

⑴求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位:瓶）的分布列.

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位:元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量”（單位:瓶）為多少時(shí),Y的

數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

9.（2017?江蘇?高考真題）已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m,neN,n>2），這些球除顏色外全部

相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3,……，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次

取球放入編號(hào)為k的抽屜（k=l,2,3.....m+n）.

（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放

的是黑球的概率P；

（2）隨機(jī)變量x表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E（x）是x的數(shù)學(xué)期望，證明

E(X)<

(m+n