2024-2025人教A版高二年級上冊期中數(shù)學(xué)模擬檢測試題（共2套含解析）

2024-2025高二上期中數(shù)學(xué)人教A版）真題試卷模擬檢測

試題（三）

檢測范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.（23-24高三上?重慶南岸?階段練習(xí)）已知直線4：2x+2y-l=0,/2：4x+&y+3=0,

4:加x+6y-l=0,若且4,貝〃的值為（）

A.T。B.10C.-2D.2

2.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）中國國家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國國家表演藝術(shù)的

最高殿堂，中外文化交流的最大平臺.大劇院的平面投影是橢圓C,其長軸長度約為212m,

短軸長度約為144m.若直線/平行于長軸且C的中心到/的距離是24m,則/被C截得的線段

長度約為（）

A.140mB.143mc.200mD.209m

3.（24-25高二下?全國?隨堂練習(xí)）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，。是平面N8C外任意一點(diǎn),

—■1-2?—■,、

OP=-OA+-OB+WC（X^^）

若由53/確定的一點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)共面，則2的值為

（）

2]_32

A.15B.3C.5D.5

4.（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知圓C：。-3）一+&-4）-=9,直線八

mx+y-2m-3=0_則直線/被圓c截得的弦長的最小值為（）

A.2不B.屈C.2后D.戈

5.（2024?上海?高考真題試卷）定義一個(gè)集合Q,集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取

耳，6,呂e。，存在不全為0的實(shí)數(shù)4,4,4,使得40a+402+40^=0.已知

（l,O,O）eQ,則（0,0,1）任C的充分條件是（）

A（0,0,0）eQB.（-1。。六。

C（0,l,0）eQD.（°，°，T）e。

22

口口C—r--^-r-=l（tz>0,Z）>0）

6.（2023?四川雅安?一模）已知片也為雙曲線/b2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

人在。上，若閨/1=2陽4/必尸2=30°,2廠內(nèi)的面積為65則C的方程為（）

江上=1二上=1

A.96B.36

2222

土-匕=1土一匕=1

C.69D.63

7.（2023?甘肅定西?模擬預(yù)測）若點(diǎn)（2/）在圓/+V=x+N+”0的外部，則a的取值范圍

是（）

A.（3）B.F）C,4,；］口,（-…出,+"

已知拋物線6：/=2。/過點(diǎn)（2,4）,圓

8.（21-22高二上?四川攀枝花?階段練習(xí)）如圖所示,

22

C2:x+y-4x+3=0_過圓心G的直線/與拋物線（；和圓G分別交于RQ，M,N,則

戶M+4例的最小值為（）

A.23B.42C.12D.13

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

X------=［，7Z7

9.（2022?廣東?模擬預(yù)測）已知雙曲線。4的左、右焦點(diǎn)分別為々，&，點(diǎn)p雙曲

線C右支上，若/耳根=,，片鳥的面積為S,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若6=60°,則s=4指

B.若5=4,則席|=2右

C.若△尸與名為銳角三角形，則Se（4,4V?）

9f上人」

D.若"P片"的重心為G,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，點(diǎn)G的軌跡方程為4I3

10.（23-24高二上?廣東中山?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.已知點(diǎn)°（龍/）在圓U（xT）+a-l）-=2上，貝產(chǎn)+了的最大值是4

B.已知直線依一>T二°和以加（一3」），"（3,2）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)上的取值范圍

2

——<k<\

為3

C.已知P（%6）是圓/+/=/外一點(diǎn)，直線/的方程是。，+如=/,則直線/與圓相離

D.若圓反《-4）2+3-4）2=r26>0）上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)火1,0）的距離為］,則『的取值

范圍是?⑹

11.（22-23高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.已知向量&-4）1=。,2,2）,則。在［上的投影向量為（122）

B.若對空間中任意一點(diǎn)0,有632,則24民C四點(diǎn)共面

c.已知RE'｝是空間的一組基底，若藍(lán)=￡+），則?加｝也是空間的一組基底

D.若直線/的方向向量為e=0,°，3）,平面二的法向量“-I2，°，31則直線,‘a(chǎn)

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（2023?江蘇無錫三模）已如尸@3）,M是拋物線/=以上的動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過

M作圓U（x-2）-+V=4的切線，切點(diǎn)為A,則雨+河的最小值為.

13.（24-25高二上?黑龍江?開學(xué)考試）如圖，平行六面體力88-44Goi的所有棱長均為

2,“及"。,/4］兩兩所成夾角均為60。，點(diǎn)瓦尸分別在棱8瓦上，且8￡=23百。/=20P,

則歸耳=；直線g與EF所成角的余弦值為.

14.（22-23高二下?貴州遵義?期中）若點(diǎn)（L2）在直線"-1=0上（其中0,6都是正實(shí)數(shù)）,

2I

---1-----

則。26的最小值為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（23-24高二上?廣東?階段練習(xí)）已知直線/：x-y+l=°和圓

C:x2+j2-2x+4y-4=0

（1）判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線/被圓°截得的弦長；

⑵求過點(diǎn)（4T）且與圓C相切的直線方程.

16.（15分）（2022?全國?高考真題試卷）如圖，四面體NBC。中，

AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC；后為NC的中點(diǎn).

（1）證明：平面3皮），平面/。；

⑵設(shè)43=3。=2,乙4C3=60。，點(diǎn)尸在3。上，當(dāng)ANPC的面積最小時(shí)，求W與平面

所成的角的正弦值.

17.（15分）（24-25高二上?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，已知橢圓

r2V21

C\—T-H—T-=l（di>/>>0）p於i\I——

?6過點(diǎn),口'1人焦距為4應(yīng)，斜率為3的直線/與橢圓C相交于異于

點(diǎn)尸的兩點(diǎn)，且直線均不與％軸垂直.

⑴求橢圓C的方程;

（2）若〃N=麗，求上W的方程;

（3）記直線PM的斜率為左，直線PN的斜率為匕證明:卜島為定值.

18.（17分）（2023?全國?高考真題試卷）如圖，在正四棱柱qG2中,

AB=2,AAX=4點(diǎn)4血,。2，。2分別在棱0，上,

AA^=1,BB2=DD2=2,CC2=3

⑴證明：B2C2//A2D2.

⑵點(diǎn)尸在棱34上，當(dāng)二面角尸一4c2-3為150。時(shí)，求鳥尸.

19.（17分）（2022高三?全國?專題練習(xí)）已知動點(diǎn)M到直線x+2=°的距離比到點(diǎn)尸Q，0）的距

離大1.

⑴求動點(diǎn)M所在的曲線C的方程；

⑵已知點(diǎn)尸（L2）,48是曲線C上的兩個(gè)動點(diǎn)，如果直線力的斜率與直線心的斜率互為相

反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值;

答案:

題號12345678910

答案CCAACBCDACDAD

題號11

答案ABC

1.C

【分析】由兩直線的平行與垂直求得“加值后可得結(jié)論.

4?3

——=——W—

【詳解】由題意22-1,77=4,2%+12=0,m=-6,

所以冽+〃=—2.

故選：C.

2.C

江+廣=1

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)該橢圓方程為/b1,a>b>°,由題意得出橢圓的方程,

令》=24,即可得出答案.

【詳解】設(shè)該橢圓焦點(diǎn)在工軸上，以中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)橢圓的方

22

工+匕=1

程為：?2b2,a>b>0,由題意可得2。=212,26=144,

因?yàn)橹本€1平行于長軸且0的中心到I的距離是24m,

42472

?\2x\=——?200

令y=24,得3(m),

故選：c.

3.A

12一

—I-----F4=］

【分析】根據(jù)點(diǎn)。與A,B,°三點(diǎn)共面，可得53,從而可得答案.

【詳解】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)。與A,B,°三點(diǎn)共面，

1—??-?—?,

OP=-0^+-05+A0C(AGR)

又

12一。2

—I1-4=1A=—

所以53,解得15

故選：A.

4.A

【分析】由題意可證直線/恒過的定點(diǎn)0（2,3）在圓內(nèi)，當(dāng)CP，/時(shí)直線/被圓C截得的弦長

最小，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可求解.

［詳解］直線/：皿+八2…3=%（x-2）+y-3=0,

Jx-2=0fx=2

令%-3=0,解得日=3,所以直線/恒過定點(diǎn)。（2,3）,

圓C：。一3）2+5-4）2=9的圓心為。（3,4）,半徑為「=3,

且因?。?-3丫+（3-町=2<9,即尸在圓內(nèi),

當(dāng)CPJ_/時(shí)，圓心。到直線i的距離最大為d=M=岳,

此時(shí)，直線/被圓C截得的弦長最小，最小值為24r左=2板.

故選：A.

5.C

【分析】首先分析出三個(gè)向量共面，顯然當(dāng)（1，°，°），（°，°，1），（°，1，°）€。時(shí)，三個(gè)向量構(gòu)成空間

的一個(gè)基底，則即可分析出正確答案.

【詳解】由題意知這三個(gè)向量°P>°鳥，°4共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

對A,由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)

（T0,°＞&0,0）eC無法推出（0,0,1）任C,故A錯(cuò)誤;

對B,由空間直角坐標(biāo)系易知（一1兒°＞（10°）4°。1）三個(gè)向量共面，則當(dāng)

（0,0,0）,（1,0,0）eQ無法推出（0,0,1）eC,故B錯(cuò)誤；

對c,由空間直角坐標(biāo)系易知a°，（）），（（）01），（°工°）三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基

底，

則由。。Q能推出（o,?！梗┤蜵,

對D,由空間直角坐標(biāo)系易知（10°），（°兒1＞（°°一1）三個(gè)向量共面，

則當(dāng)（0,0,-l）（l,0,0）eQ無法推出（0,0,1）任C,故口錯(cuò)誤.

故選：C.

6.B

【分析】先根據(jù)雙曲線的定義求出因"”片H,在△/耳工中，利用正弦定理求出月工￡,再根

77

據(jù)三角形的面積公式求出礦，利用勾股定理可求得C,進(jìn)而可求出答案.

【詳解】因?yàn)樵=2內(nèi)a,所以附＞|居⑷,

又因?yàn)辄c(diǎn)A在C上，所以閨止曰=2。，

即2|041Tg4|=2。,所以內(nèi)/|=2凡寓2=4°

在名中，由正弦定理得sin//丹巴sinN/g耳

sm坐半黑］

所以同

又0。＜乙4月丹＜180。，所以44月片=90。，故/丹《旦60°

則“.狗"枷6。。=2聞=66所以〃一，

則國引=（2c）2=I幽「-M可=16/_婕=12/=36,所以,2=9,

所以〃=。2一/=6,

所以C的方程為36

故選：B.

7.C

【分析】利用表示圓的條件和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】依題意，方程/+/-x+y+a=°可以表示圓，貝川一3+產(chǎn)一4a得“<5；

由點(diǎn)°』）在圓r+V-x+y+anO的外部可知：22+l2-2+l+a>0,得。>一4.

“1

-4<a<—

故2.

故選：C

8.D

111_2

【分析】由點(diǎn)在拋物線上求出p,焦半徑的幾何性質(zhì)有P可四用P,再將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為

|尸尸|+4|8]-5,應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值即可，注意等號成立條件.

【詳解】由題設(shè)，16=20X2,則"=8,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：丁=",則焦點(diǎn)網(wǎng)2,0）,

1121

---1----=-=—

由直線P0過拋物線的焦點(diǎn)，則歸目\QF\P2

圓C2：（x-2）2+/=l圓心為（2,0）,半徑1,

\PM\+4\QN\=|PF|-1+4(|QF\-1)=|PF\+4\QF\-5=2(|PF\+4\QF|)島+缶)-5

II-I

+督)+5"里.皿+5=13

=2x

QF\PF\

當(dāng)且僅當(dāng)I尸刃=21。尸|時(shí)等號成立，故歸M+的最小值為13.

故選：D

112

-+二——

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由焦半徑的傾斜角式得到盧司口-p,并將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為

結(jié)合基本不等式求最值.

9.ACD

【分析】對于A,利用焦點(diǎn)三角形的面積公式求解，對于B,由焦點(diǎn)三角形的面積公式求出

6=90°,再由以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對于C,當(dāng)△兩巴為直角三

角形時(shí)，求出臨界值進(jìn)行判斷，對于D,利用相關(guān)點(diǎn)法結(jié)合重心坐標(biāo)公式求解

X1=1I—

［詳解］由.4，得。~2=1，〃2=4,貝y=11=2,c=，5

4

京一京

焦點(diǎn)三角形兩月的面積公式^2,將0=60。代入可知S=4百，故A正確.

」尸片H尸閭=2

當(dāng)S=4時(shí)，夕=90。，由1M2+因「=|片閭:可得圈=2,故B錯(cuò)誤.

當(dāng)4PB=90。時(shí)，s=4,當(dāng)NP“=90。時(shí)，S=4也，因?yàn)椤魇?苒為銳角三角形，所以

Se（4,4?故c正確.

設(shè)G（x,y）,尸>1）,則/廠由題設(shè)知片（-6,0）,凡（右，0）,則

［y獷一生=人」〕

乩=”,所以413人故D正確.

故選：ACD

10.AD

【分析】利用三角代換可判斷A；求出直線依所過定點(diǎn)，結(jié)合圖形可判斷B；利用

點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C；轉(zhuǎn)化為兩圓相交問題可判斷D.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在圓,：（1）一+5-1）一=2上，

x+y=l+V2cosa+1+V2sina=2+2sin（a+—）<4

所以4,

71

df——

當(dāng)4時(shí)，x+了取得最大值4,故A正確；

Jx=0

B選項(xiàng)，由“卜一°）一。+1）=°,所以h=T,即直線丘—T=。過點(diǎn)P（°T）,

kwk=--

因?yàn)橹本€和線段相交，故只需左之七'=1或一PM3,故B錯(cuò)誤；

c選項(xiàng)，圓的圓心（°，°）到直線辦+外=/的距離J/+/,

而點(diǎn)尸（"⑸是圓x2+「=/外-點(diǎn)，所以。2+/>/，

所以y]a2+b2r,所以直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，與點(diǎn)N（L°）的距離為1的點(diǎn)在圓白一1）一+/=1上，

由題意知圓MET”尸4）2=丑>0）與圓（>1）2+/=1相交,

所以圓心距滿足Kd=5<r+1,解得4<r<6,故D正確.

故選：AD

11.ABC

【分析】利用投影向量的定義判斷A,利用空間四點(diǎn)共面，^^0P=mO4+n0B+t0C,其

中加+〃+/=1判斷B,根據(jù)向量基底的概念判斷C,利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椤?（9,4，-4）卷=（1,2,2）,所以Z在刃上的投影向量為

a-bba-b9+8-8

=—「b7?(1,2,2)=(1,2,2)

1+4+4

w故選項(xiàng)A正確;

—I---1——1

選項(xiàng)B：因?yàn)?32,故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C：刊',｝是空間的一組基底，m=a+c,所以P'm+c｝兩向量之間不共線，所以

「'」也是空間的一組基底，故選項(xiàng)C正確；.

選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€/的方向向量為e=Q°，3）,平面a的法向量

e-n=-2+0+2=0,則直線/〃c或/ua,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：ABC

12.3

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出1兒〃］再借助式子幾何意義作答.

［詳解］依題意，設(shè)MG。,％)/。＞。，有圓C:(X_2)2+J?=4的圓心C(2,0),半

徑r=2,

而點(diǎn)P在拋物線C內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)M是過點(diǎn)P垂直于y軸的直線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí),

"即取得最小值3,

所以PM+阿的最小值為3.

故3.

2屈V15

37T

13.

2葉T求出

EF=^AB+AD--AAXEF=—

【分析】表達(dá)出3,平方后求出9,求出

從。|=2V6,利用向量夾角余弦公式求出異面直線距離的余弦值.

【詳解】連接“尸，A",

____k_____________1k____、i___2_________-__、___i__

EF=AF-AE=AD+-DD,-AB-—BB.=-AB+AD-—AAi,

31313

----?2*1*11*2—?—*2———(■2'—(,

EF=AB+AD+-AA-2ABAD+-ABAA——ADAA

933

.44___712__712__7140

—4+4H-----2x2x2cos—I—x2x2cos--------x2x2cos———

9333339,

故??3;

4c=AB+AD+AA、

,2,2?2，2，?,???

故4。=AB+AD+AAX+2ABAD+2AB-AA.+2AD-AA,

=4+4+4+2x2x2x—+2x2x2x—+2x2x2x—=24

222

——2—-21—*14—-->2—*,—(,8

-AB+AD――AA—_ABAA+-AD-AA――不

=____________313131=_3_=_業(yè)

8布-8V15-15

33

屈

故直線"G與EF所成角的余弦值為F.

2麗而

故3；15

]4.3+2^2/2A/2+3

【分析】根據(jù)點(diǎn)在直線上可得凡6的關(guān)系，再利用“1”的妙用求解作答.

【詳解】依題意，。+2b=1,而a>0,b>0,

2114ba、。。

—I-----=(a+26)(—I-----)=3H-------1----->3+2M力3+2正

于是a2ba2ba2b

4baa=2y[lbO_

2b,即。=2缶時(shí)取等號，由[。+26=1,得"一？""一"

當(dāng)且僅當(dāng)。

…J21

「26取得最小值為3+2&.

所以當(dāng)

故3+2夜

15.⑴相交，截得的弦長為2.

⑵x=4或4x+3了-13=0

【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解;

（2）利用直線與圓相切與點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)系求解.

A/4+16+16

【詳解】（1）由圓0：/+必-2》+4歹-4=0可得，圓心C（l,-2）,半徑"2

t±|jJ=2V2<r

d=

圓心C（L-2）到直線/:x-y+l=°的距離為

所以直線/與圓C相交,

直線/被圓C截得的弦長為2，/-/=2

（2）若過點(diǎn)（4T）的直線斜率不出在，則方程為*=4,

此時(shí)圓心CQ，_2）至|j直線x=4的距離為4T=3=r,滿足題意；

若過點(diǎn)（4，T）且與圓C相切的直線斜率存在，

則設(shè)切線方程為，+1=以尸4）,即日_y_軟一1=0,

卜34+1|4

/、-3k=__

則圓心到直線點(diǎn)一尸4左-1=0的距離為,解得3,

413八

----X------=0AO1OA

所以切線方程為3.3,即4x+3y-13=°,

綜上，過點(diǎn)GF且與圓C相切的直線方程為x=4或4x+3y-13=0.

16.（1）證明過程見解析

（2）=與平面”3。所成的角的正弦值為7

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明△被CBD,得到/3=C3,結(jié)合等腰三角形三線合一

得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到3E工從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)?D=C〃，E為/C的中點(diǎn)，所以/CLDE；

在AABD和△C8。中，因?yàn)?CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△及8DWCBD,所以N3=C3,又因?yàn)椤隇?C的中點(diǎn)，所以/CL8E；

又因?yàn)槠矫?即，DEcBE=E,所以/C,平面8E。，

因?yàn)镹Cu平面NCA,所以平面5助，平面/CD.

（2）連接跖，由（1）知，AC-L^BED,因?yàn)榉纔平面BE。，

S=-AC-EF

所以/CL斯，所以A“AFcC2,

當(dāng)斯，8。時(shí)，取最小，即△/尸C的面積最小.

因?yàn)椤餮?。之CBD,所以C3=/3=2,

又因?yàn)?/CB=60。，所以V/3C是等邊三角形，

因?yàn)椤隇镹C的中點(diǎn)，所以NE=EC=1,BEM,

DE=-AC=1

因?yàn)镹O,C。，所以2

在中，DE2+BE2=BD2,所以BEJ.DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyzt

則/(1,0,0),5(0,6,0)。(0,0,1)所以近=(-1,0,1),%=(-l,Ao)

設(shè)平面的一個(gè)法向量為力=（x/，z）,

ii-AD=—x+z=0

則［力./2=-了+島=0,取片石,則”=6后3）,

C（T,0,0）,巾甌=1,先

又因?yàn)镮人所以<A

6

cosn,CF=

所以

e[o<e<^\

設(shè)C尸與平面/AD所成的角為I2九

sin6*=|cosw,CF|=皿1

所以??7,

473

所以CF與平面所成的角的正弦值為〒

17.(1)124

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；

1

y=—X+機(jī)

（2）設(shè)直線/的方程為3,與橢圓聯(lián)立，由弦長公式求得"N的方程;

（3）將韋達(dá)定理代入尢住中計(jì)算結(jié)果為定值.

91,

f+f=1

ab

2c=4后a=2^3

a2=b2+c2b=2

c=2V2

【詳解】（1）由題意得〔解得

22

L+匕=1

故橢圓C的方程為124

⑵設(shè)直線/的方程為'一產(chǎn)‘"，"（XQJ’NG，%）

1

y=——x+m

3

---1---=1

由1124得4/-6加x+9加之一36=0,

/、4734百

由A=(6加)2_144(相2_4)>0,得一亍〈亍，

3m9m2-36

x+x.=——=-------

則y2I24.

=J(*+馬)2_4芭馬=半?\16—3加2;回

解得"？=2或機(jī)=-2

當(dāng)根=2時(shí)，直線3^+經(jīng)過點(diǎn)尸*』)

不符合題意，舍去;

1、

y=——x-2

當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，直線’的方程為3.

(3)直線尸“，PN均不與x軸垂直，所以再034203,則加且加。2,

:玉+加1+加—1

岫=』上13

(%-3)(々-3)

所以再一3X2-3

2

|&Xz—|(m-l)(X1+x2)+(m-I)

xxx2-3(%i+x2)+9

19m2-361zi3m/

------------(m-l)、----1-(m-11)x2

943、J23m2-6m1

9m2-363m9m2-18m3

---------3----F9

42為定值.

18.(1)證明見解析;

(2)1

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明;

(2)設(shè)P(。,2")(04'44),利用向量法求二面角，建立方程求出彳即可得解.

【詳解】(1)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，a)，C8,CG所在直線為x/,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則C(0,0,0),C2(0,0,3),與(0,2,2),鼻(2,0,2),4(2,2,1),

豕;=(0,-2,1),匹;=(0,-2,1),

B2C2//A2D2

又42不在同一條直線上，

82c2〃4。2

(2)設(shè)PQ2,田(04444),

則工=(-2,-2,2),PQ=(0,-2,3-2),^Q=(-2,0,1)

設(shè)平面04c2的法向量"二(X，Mz),

萬?Ac2=-2x-2y+2z=0

<2~

則n,PC?=-2)+(3-4)z-0

令z=2,^y=3-A,x=A-l

.i=(2-1,3-42),

設(shè)平面4c2°2的法向量加=(見4。)，

m-AC=-2a-2b+2c=0

<__2__2

則［m-D2c2=-2a+c=0

令a=l,得6=l,c=2,

m=(1,1,2)

n，m6

/.\cos(n,m=|cosl50°|=-^-

?||mV674+U-l)2+(3-A)2

化簡可得，22-42+3=0,

解得2=1或4=3,

...P(0,2,l)或P(0,2,3),

:.B2P=1

19.（1）/=4x

（2）證明見解析，-1.

【分析】（1）由拋物線的定義即可求解；

（2）分別設(shè)出直線力，依的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)48坐標(biāo)，再求直線的

斜率即可.

【詳解】（1）已知動點(diǎn)M到直線x+2=0的距離比到點(diǎn)尸（1,0）的距離大1,

等價(jià)于動點(diǎn)“到直線x=T的距離和到點(diǎn)/（1，°）的距離相等，

由拋物線的定義可得：

動點(diǎn)M的軌跡是以尸（1，°）為焦點(diǎn)，以直線x=T為準(zhǔn)線的拋物線，

可得P=2,拋物線開口向右，.?.曲線C的方程為V=4x.

（2）設(shè)直線產(chǎn)/的斜率為左，

???直線PA的斜率與直線PB的斜率互為相反數(shù)，.?.直線PB的斜率為-k,

設(shè)J：＞—2=左（％—1）,lPB:y-2=-k（x-1）,

［y-2=k（x-\）

聯(lián)立方程組［「=4x,整理得如2_4廣務(wù)+8=0,

_4-2k“（2-左）24-2k、

即忖+（2"4）］（y-2）=0,＞=丁或產(chǎn)2（舍），可得出―1^'?。?，

（y-2=-k（x-1）

聯(lián)立方程組ir=4x,整理得4+4尸4左-8=0,

-4-2k型（2+左＞-4一2后、

即向+（2左+4）卜-2）=。，〒或尸2（舍），可得?。?，則

-4-2k4-2/c

k=k____k=_i

AB~(2+k)2(2-4一

即直線的斜率為定值-1.

P_

拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離，了等于焦點(diǎn)到拋物線頂

點(diǎn)的距離.牢記它對解題非常有益.

2024-2025高二上期中數(shù)學(xué)（2019人教A版）真題試卷模擬檢測

試題（三）

檢測范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.（2021?全國?高考真題試卷）拋物線V=2處（p>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為近，則

P=（）

A.1B.2C.2V2D.4

2.（22-23高二上?江西撫州?期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)+D為

V/8C的邊ZC上一動點(diǎn)，則直線8。斜率后的變化范圍是（）

(-oo,0]u

A.4B.

與C

C.

3.（23-24高二上?吉林延邊?期中）已知點(diǎn)“3T5）,'（。,伍2）,C（2,7,-l）,若幺，。

三點(diǎn)共線，則。，b的值分別是（）

A.-2,3B.-1,2C.1,3D.22

已知半徑為3的圓C的圓心與點(diǎn)尸（一2，1）關(guān)于直線

4.（22-23高二上?云南臨滄?期末）

'-夕+1=°對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.(x+l)2+(HB.(1)2+3-1)2=81

Qx2+(y+1)2=9D.f+/=9

已知干E'｝為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中

5.（24-25高二上?安徽合肥?階段練習(xí)）

能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）

一一一———

A."b,c+b,a-cB.a+2b9b,a-c

一一__III-?—,,■一

C.2。+b,2c+b,a+b+cD.Q+b,a+b+c,c

C:二-5=l（a>o,b>o）

6.（23-24高三上?河南?開學(xué)考試）已知雙曲線優(yōu)匕的左、右頂點(diǎn)分別

為4,41為C的右焦點(diǎn)，C的離心率為2,若尸為C右支上一點(diǎn)，PFLF4,記

ZA1P,42=00<0<~]

,則tan6=(

A.2

7.（2023?山東?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系》°了中，點(diǎn),（°口），直線/：y=2x-4.設(shè)圓

C的半徑為1,圓心在/上.若圓C上存在點(diǎn)“，使1吊41=2|/。|,則圓心。的橫坐標(biāo)。的取

值范圍為（）

1212

y,T

8.（23-24高二上?廣東廣州?期末）已知橢圓C：/占的左右焦點(diǎn)分別

入，過鳥的直線交橢圓。于/,8兩點(diǎn)，若恒用=引"用，點(diǎn)“滿足元而=3碇，且

則橢圓。的離心率為（）

V6

A.3B.3C.3D.3

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（22-23高二上?河北保定?期末）已知向量“=則下列結(jié)

論正確的是（）

A.向量。與向量區(qū)的夾角為§

B."3$）

--H

C.向量。在向量方上的投影向量為（22；

D.向量。與向量。，區(qū)共面

10.（21-22高二上?重慶?期末）對于直線/1：辦+2了+3”0,/2：3工+（"1b+3-〃=0似下說

法正確的有（）

A.4〃12的充要條件是。=3

_2

B.當(dāng)Q1時(shí)，Z11Z2

C.直線4-定經(jīng)過點(diǎn)M（3⑼

D.點(diǎn)00,3）到直線4的距離的最大值為5

11.（23-24高二上?安徽合肥?期末）如圖，已知拋物線0：V=2*S>0）的焦點(diǎn)為F,拋

物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸的直線/（直線/的傾斜角為銳角）與拋物線

C相交于48兩點(diǎn)（/在x軸的上方，B在x軸的下方），過點(diǎn)/作拋物線C的準(zhǔn)線的

A.當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，以同=40B.若|NF|=WM,則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得AOB=90。D.若萬;=3而，則直線/的傾斜角為60°

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（2023?湖南長沙?一模）已知橢圓G與雙曲線G有共同的焦點(diǎn)即巴，橢圓G的離心率為

cNF、PF,=匕

雙曲線°。的離心率為,2,點(diǎn)P為橢圓加與雙曲線C。在第一象限的交點(diǎn)，且一3,

11

----1----

則G的最大值為.

13.（22-23高三上?廣東?開學(xué)考試）過點(diǎn)尸（2,2）作圓/+必=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、

B,則直線"8的方程為.

14.（22-23高三上?河北唐山?期末）如圖，在四棱柱/BCD-中，可，底面/BCD,

且底面為菱形，24=3,AB=2,ZABC=120°,尸為8C的中點(diǎn)，M在'4上,

°在平面/BCD內(nèi)運(yùn)動（不與尸重合），且尸°」平面四℃,異面直線尸°與耳屈所成角的

余弦值為5,貝的最大值為

M二

A

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（23-24高二上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上,

焦距為2內(nèi)，且點(diǎn)

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過且斜率為2的直線/交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦N8的長.

16.（15分）（2022高二上?全國?專題練習(xí)）已知直線/的方程為：

（2+冽卜+（1-2加）歹+（4-3加）=0

⑴求證：不論相為何值，直線必過定點(diǎn)M；

（2）過點(diǎn)M引直線4,使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求4的方程.

17.（15分）（23-24高二上?江蘇南通?期末）如圖，在四棱錐尸-4SCO中，平面

ABCD,AB1AD,AD//BC,AP=AB=AD=1,BC=2

（1）求二面角3-尸。一C的正弦值；

（2）在棱尸0上確定一點(diǎn)E,使異面直線與8E所成角的大