2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三年級上冊學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題+答案解析

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知全集U=｛]|i+l〉0｝,集合4=｛可則）

A.(1,2]B.(―1,1)U[2,+oo)

C.[1,2)D.(—1,1]U(2,+oo)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足。z=2+K則2的共輾復(fù)數(shù)是

A.-l-2iB.—1+2zC.l-2iD.l+2i

3.已知q,b,cWR，且0<b,0<c<L則()

ab

A.CL—c<b—1B.ac<bCb-a<b-aD.a+b>2A/O6

4.在（旅—3）5的展開式中，步的系數(shù)為（

A.15B.-15C.5D.-5

5.下列函數(shù)的圖象中，不是中心對稱圖形的是（）

卜+1

A.沙=cosgB.y=x+—C.y=\x\D.y=x3—x+1

x

6.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)尸（cos0,sin。），。eR，則尸到直線U=X-的距離的最大值為（）

A.1B.2C.2\/2D.3

7.已知非零平面向量a力，則”|a+6|=間+|“”是“存在非零實(shí)數(shù)入，使6=乂”的

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7T

8.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2,側(cè)面與底面所成角是工，則三棱錐P-46。的體積等于（）

21

A.-B.-C.2D.1

OO

9.已知實(shí)數(shù)a,6滿足2°=Zog鏟，/og2b=給出下列三個結(jié)論：

①就〉1;②2。=6;③外+1〈贏.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①B.②C.①③D.②③

10.已知由正整數(shù)組成的集合4=｛的,。2,。3,…，。5。｝，S（4）表示集合/中所有元素的和，磯4）表示集合

A中偶數(shù)的個數(shù).若S（A）=2025.則E（2）的最小值為（）

第1頁，共18頁

A.5B.7C.9D.10

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)“4=MO：/)的定義域?yàn)?

12.在△ABC中，AB=1>BC=4,04=，^，則/口=；若。為8C邊上一點(diǎn)，且/4DB=45°，

則AD=.

22

13.已知雙曲線2+外=1(加九<0)的漸近線方程為y=±2*貝卜*，〃的一組值依次為.

mn

14.《九章算術(shù)》是我國古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)著作，內(nèi)容涉及方程、幾何、數(shù)列、面積、體積的計算等多方面.

《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善

于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”由以上條

件，該女子第5天織布尺；若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為.

15.已知函數(shù)/(c)=-2m)(a:+m+1),g(x)=ex—1,給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)機(jī)=1時，方程/(2)=9(乃有且只有一個實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)機(jī)e(—1,0)時，對任意areR,/⑸<0或g?)<0；

③當(dāng)me(0,1)時,對任意cC(一oo,—2),f(x)g[x)<0；

④存在meH，對任意a?eR,/(①)一g(①)<0.

其中正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

7?\7f

(>0),f(Xi)=f(X2)=0,且M-徵|的最小值為了

(1)求3的值；

⑵設(shè)gQ)=/(2)+2COS2/-1,求函數(shù)g(功在區(qū)間0,-上的最大值及相應(yīng)自變量x的值.

17.(本小題12分)

近年中國新能源汽車進(jìn)入高速發(fā)展時期，2024年中國新能源汽車銷售量已超過1100萬輛，繼續(xù)領(lǐng)跑全球.

某市場部為了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車和燃油汽車的情況，從某市眾多4s店中任意抽取8個作為樣本,

對其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量(單位：輛)進(jìn)行調(diào)查.統(tǒng)計結(jié)果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽車銷售量108162320182211

燃油汽車銷售量1411131921252326

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(1)若從該市眾多門店中隨機(jī)抽取1個，估計該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率;

(2)若從樣本門店中隨機(jī)抽取3個，其中12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數(shù)記為X,求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別記為S河口SQ式比較S浮口5之的大小.(結(jié)論不要求

證明)

18.(本小題12分)

已知三棱柱4BQ1中，側(cè)面4413B為菱形，側(cè)面441GC為正方形，AA1=2,AABBX=60°,

(1)求證：BQ〃平面

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.

(i)求證：平面

(ii)求44與平面AiBE所成角的正弦值.

條件①：EB=EAi；

條件②：BAilBiC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

19.(本小題12分)

已知橢圓E:'+9l(a〉b>0)過點(diǎn)"0),離心率為彳，一條直線與橢圓￡交于/、8兩點(diǎn)，線

段AB的垂直平分線為/,M{x0,y0)為直線AB與直線/的交點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程；

(2)若3=1,直線/是否過定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由.

20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=eax-X-l(a>0).

(1)當(dāng)a=2時，求曲線沙=/(c)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

⑵若對任意；re[0,+oo),都有/(/)》0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

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(3)求證：存在實(shí)數(shù)°,使方程〃乃+；=0有正實(shí)根.

21.(本小題12分)

已知｛aj和｛吼｝都是無窮數(shù)列.若存在正數(shù)/,對任意的neN*,均有*-bn\WA,則稱數(shù)列｛aj與｛4｝

具有關(guān)系P(4).

(1)分別判斷下列題目中的兩個數(shù)列是否具有關(guān)系P⑴,直接寫出結(jié)論；

①廝=2?,bn=n+2,neN*；

,dn=2x+1，neN*.

⑵設(shè)時=,bn=an+1+1,neN*,試判斷數(shù)列｛廝｝與｛6/是否具有關(guān)系P(A).如果是，求出

N的最小值，如果不是，說明理由;

(3)已知｛廝｝是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列｛5｝滿足：｛4｝與｛廝｝具有關(guān)系P⑴，且與―瓦,

歷―匕2，…，與01—近00中至少有100個正數(shù)，求d的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義計算即可.

【詳解】因?yàn)閁={c|x+l〉O},集合4={/門</<2},則=(―1,1］U⑵+00).

故選：D.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軌復(fù)數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

先化簡z,再利用共軌復(fù)數(shù)的定義即可求解.

【解答】

解：由題意，得2=2="少二=1—2人

所以5=1+21,

故選D

3.【答案】C

【解析】【分析】通過舉反例即可判斷4助，對于。根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.

1211

【詳解】對于/：令Q=5,b=a,c=5，Q—c=0,b—1=——>所以a—c〉b—1,故4錯誤；

ZDZO

對于B：令Q=—2,b=—l,c=］今QC=—l=b,故5錯誤；

對于C：因?yàn)閍<b,所以b—a>0今/^>0,所以Qx/—<bx=J—</一，故C正確;

對于。：當(dāng)a<b<0時，顯然不成立，令a=—2,b=—14a+6=—3<2，iK=2\/^，故。錯誤

故選：C.

4.【答案】B

【解析】【分析】寫出二項展開式通項，令x的指數(shù)為2,求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.

［詳解］(旅-3『的展開式通項為乳+1=%(，月-(-3)fc=..(一3)4=0,1,2,???,5),

由=2可得卜=1，故展開式中/的系數(shù)為Cl-(-3)=-15.

故選：B.

5.【答案】C

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【解析】【分析】利用函數(shù)的圖像求解，選項出利用V=cos/的對稱性和函數(shù)的圖像變換得到

y=cos（力+g選項2：?/=7+1利用對號函數(shù)的對稱性求解即可，選項C：利用絕對值函數(shù)的圖像求

X

解即可，選項。：利用三次函數(shù)的對稱性求解即可.

7T

【詳解】選項4y=cos（力+；是由函數(shù)？/=COS6向左平移司個單位得到，因?yàn)閂=COS/是中心對稱圖

O

形，所以沙=cos卜+1)也是中心對稱圖形，

選項8：/(—c)=—(c+!)=—/(2)故對號函數(shù)沙=z+1關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,

\X/X

選項C：易知沙=1引是偶函數(shù)，且在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增，不是中心對稱圖形,

選項。：三次函數(shù)“=/—立+1關(guān)于(0,1)中心對稱，因?yàn)?3)+/(_為=2.

故選：C.

6.【答案】D

【解析】【分析】分析可知，點(diǎn)P在圓/+/=1上，求出圓心到直線工一4一2四=0的距離，結(jié)合圓的

幾何性質(zhì)可得出產(chǎn)到直線沙=c-2班的距離的最大值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)PQ』)，則/+/=1,所以，點(diǎn)尸在圓/+/=1上，

該圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1,

原點(diǎn)到直線x-y-2V2=0的距離為d=4^=2，

v/TTT

因此，P到直線y=x-2四的距離的最大值為2+1=3.

故選：D.

7.【答案】A

【解析】【詳解】“|a+“=同+也說明a,b共線同向，能推得“存在非零實(shí)數(shù)*使b=_Xa”的，所

以充分性具備，但反過來，“存在非零實(shí)數(shù)入，使6=入屋’a,b可能共線同向，也可能共線反向，所以必要

性不具備.

故選/

8.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)正三棱錐的定義和側(cè)面與底面所成二面角的定義求出三棱錐的高，代入體積公式即

可.

【詳解】如下圖所示：

第6頁，共18頁

p

由正三棱錐的定義，底面△ABC為正三角形，且邊長為2,作正三棱錐的高PO,垂足。為△A3。的中心,

連接40并延長，交BC于M點(diǎn)；

由正三棱錐的幾何的性質(zhì)可知：AMLBC,PMLBC,/PMO就是側(cè)面P8C與底面所成二面角的平面

-7T

角，APM0=~,可得△POM是等腰直角三角形，PO=OM.

根據(jù)正三角形的性質(zhì)，OM=—^即正三棱錐的高為

33

三棱錐的體積為：-x-x22xsin-x^=-.

32333

故選：B

9.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及反函數(shù)的概念確定a力的關(guān)系，即可得到2。=6;結(jié)合函數(shù)圖象分析a力的

范圍即可得到就<1；利用a=把不等式等價轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可證明不等式成立.

X

J=logiX

如圖，設(shè)函數(shù)沙=2"與y=/。9/的圖象交于點(diǎn)/,函數(shù)4=/0。22與9=(])的圖象交于點(diǎn)3,

則點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為a,即4(a,2B(a>0),點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為6,即3(b>l).

?.,函數(shù)沙=2,與沙=/。比2互為反函數(shù)，y=log/與期=互為反函數(shù),

.?.點(diǎn)/與點(diǎn)8關(guān)于直線沙=/對稱,

,2。=6,②正確.

2]=>logi—=1,log心=1>

27一屋

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/.0<a<I，1<^<2,/.<L①錯誤.

由y得2一2b+1<最等價于:+1<e°,

令2=工，則立〉2,不等式等價于工+1</,

a

設(shè)f⑺=e"—（2+1）（/〉2）,則f'（x）—ex—l>e2-l>0,

/（乃在（2,+oo）上為增函數(shù)，

/（z）>/⑵=e2-3>0,即2+1<e"，

6

...2+1<e?>③正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是把a(bǔ)力轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用反函數(shù)的概念得到a,b

的等量關(guān)系，逐個判斷即可確定選項.

10.【答案】B

【解析】【分析】先排除有5個偶數(shù)不可能，再找一個有7個偶數(shù)的實(shí)例后可得正確的選項.

【詳解】45個正奇數(shù)的和不小于1+3+5+???+（2x45-1）=2025,

因?yàn)镹中有50個不同的正整數(shù)，故/中不可能有不超過5個不同的偶數(shù).

={1,3,5,???,2x43-1,18,20,22,24,26,28,38},

則A中共有元素個數(shù)為43+7=50,

6x5

這50個數(shù)的和為432+18x6+Q—x2+38=1849+108+68=2025,

故E（⑷的最小值為7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于組合最值問題，我們一般先找到一個范圍，再驗(yàn)證臨界值存在即可.

11.【答案】（—l,0）U（0,+oo）

【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零、分母不為零可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得函數(shù)/（，）的

定義域.

【詳解】對于函數(shù)八為=皿/，有{>0,解得/〉一1且

因此，函數(shù)/（乃的定義域?yàn)椋ā?,0）U（0,+oo）.

故答案為：（―l,0）U（0,+oo）.

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7T

12.【答案】—；；；；；

O

.\/6

【解析】【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.

22222

【詳解】在△/口。中，由余弦定理得Ra+c-b4+I-(A/13)1又Be(0,7r)則

2QC2X4X12

ZB=-.

3

..AD_1^6

在△46。中，由正弦定理得：斗二.所以

smBsmAADB___—

22

13.【答案】1；—4（答案不唯一，滿足n=—4m即可）

【解析】【分析】根據(jù)漸近線可得打=-4皿，即可得結(jié)果.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線上+外=l（mn<0）的漸近線方程為沙=±22,

mn

n

則一=一4,即八二一46，

m

例如m=l,n=—4.

故答案為：1；—4（答案不唯一，滿足八=—4機(jī)即可）.

14.【答案】於21|；；；；

;9

【解析】【分析】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2,由題意求出數(shù)

列的首項后可得第5天織布的尺數(shù)；再令與五（1—2“）’50,求出〃，即可得出答案.

1—2

【詳解】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2,前5項的和為5,

設(shè)首項為勤，前〃項和為Sn，

則由題意得S5=電?—：）=31al=5,.9=1

1—2ol

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ronon

.?95=1x24=、，即該女子第5天所織布的尺數(shù)為

O.LoJ.J_L

5

令乳(12"),50，解得：2"^311,所以？2》9.

所以若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為9.

故答案為：|^;9.

OJ.

15.【答案】①②③

【解析】【分析】畫出二次函數(shù)圖象和指數(shù)函數(shù)圖象，根據(jù)加的不同取值范圍，分析二次函數(shù)圖象的分布,

即可求解.

【詳解】對于①，當(dāng)m=l時，/(,)=(c—2)(立+2),由/(乃與g(c)圖象可知，方程/(M=g(c)有且只

有一個實(shí)數(shù)根，①正確；

對于②，當(dāng)/C(—oo,0)時，g[x)<0,當(dāng)ze(0,+oo)時，g(/)〉0.當(dāng)加C(―1,0)時函數(shù)/(乃為開口向

下的二次函數(shù)，令函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為3=2me(—2,0),?=-機(jī)一Ie(—1,0),所以當(dāng)

ce(0,+oo)時，/(乃<0,所以②正確.

對于③，當(dāng)機(jī)C(0,1)時，/(乃為開口向上的二次函數(shù)，2；i=2mG(0,2),?=—m—2,—1),所

以對任意xe(-00,-2),f[x)<0,g(x)<0,所以(工)<0,③正確.

對于④，當(dāng)m>0時，當(dāng)立一>一oo時，/(x)—>+oo,此時/(2)—。(2)>0；

當(dāng)m=0時，/(①)=0,當(dāng)力e(-oo,0)時,f[x)-g(x)>0；

當(dāng)wi<0時，/(—1)=m2(-l-2m)》m)(—m)(2m+1)>—(―^——2m+11-i

——>e

27

—1=g(-l),即/(-I)—g(-l)〉0,

所以不存在加eH,對任意a；eR，f(x)-g(x)<0,④錯誤.

故答案為：①②③.

16.【答案】⑴因?yàn)楹瘮?shù)/⑵=sin(3z—小(3〉0),f(xi)=f(x2)=0,且血一期|的最小值為看

第10頁，共18頁

所以，函數(shù)的最小正周期為T=2x；=7T,則3=彳=2.

⑵由⑴知,f⑺=sin\2x-,

貝Ug(i)=/(6)+2cos之力一1=sin2x--cos2x+cos2x=sin2x+-cos2x

=sin(2c+1),

、r,c//穴?t.TT_、7T77r

當(dāng)°<力(萬時,—2x,

2666

TP-7FTVTV

故當(dāng)2c+w=］時，即當(dāng)C=d時，函數(shù)g(2)取最大值，即g(c)max=sin5=1.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得出函數(shù)/Q)的最小正周期，即可求得“的值；

(2)由0《cwJ可求出2c+1的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)/(為在區(qū)間［o,：上的

最大值及其對應(yīng)的X值.

17.【答案】(1)由題可知：8家門店中新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的有2家，分別是：門店3,

門店4,

所以若從該市眾多門店中隨機(jī)抽取1個，估計該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率

c21

P=-=-

84

(2)12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數(shù)為3,分別是：門店4,門店5,門店7,

從樣本門店中隨機(jī)抽取3個，12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數(shù)記為X,X的所有可能取值

為：0,1,2,3

所以P(X=0)=舄515

P(X=1)c^cl

2828

15P(X=3)=^=1

P(X=2)clcl

~cT5656

所以X的分布列為

X0123

515151

P

28285656

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

5x至+2X竺639

E(X)=0x—+1+3XL

ZO285656568

(3)新能源汽車銷售量的樣本平均數(shù)

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10+8+16+23+20+18+22+11”

--------8--------=16

新能源汽車銷售量的樣本方差

=g[(10-16)2+(8-16)2+(16-16)2+(23-16)2+(20-16)2+(18-16)2+(22-16)2+(11-16)2]=號

燃油汽車銷售量的樣本平均數(shù)

14+11+13+19+21+25+23+26”

----------------8----------------5

燃油汽車銷售量的樣本方差

^=|[(14-19)2+(11-19)2+(13-19)2+(19-19)2+(21-19)2+(25-19)2+(23-19)2+(26-19)2]=?

所以S：=S?

【解析】【分析】(1)根據(jù)新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即

可.

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出隨機(jī)變量對應(yīng)的概率即可得到分布列，然后利用數(shù)學(xué)期望公

式求解即可；

(3)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差公式求出樣本方差，然后直接判斷即可.

18.【答案】⑴連接481交4B于點(diǎn)連接EN,

在三棱柱ABC-43G中，四邊形44113為平行四邊形，

因?yàn)?場門小8=四，則M為481的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為/C的中點(diǎn)，則

因?yàn)镋ATCZ平面BACAiBE,故場?！ㄆ矫?/p>

(2)若選①：EB=EAi.

⑴因?yàn)樗倪呅?41GC為正方形，則N4ZE=90°,

'EAi=EB

在和△ABE中，AAi=AB,所以，△AAEgZSABE,

、AE=AE

所以，ABAE=AA^AE=90°,

所以，AC±AB,ACLAAx,

因?yàn)?3nA4i=4,AB、AAi因此，AABxB；

(行)因?yàn)樗倪呅?415B為菱形，貝!且AC,平面441由，

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，而抽、而瓦、就的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

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因?yàn)?41=2,ZABBi=60°,則4（0,-1,0）、4（—乃,0,0）、6（通0,0）、E（0,—1,1）,

設(shè)平面AiBE的法向量為元=（,,y,z）,41g=（2代,0,0）,%而=（石,-1,1）,

m?AiB=2v3rc=0陽qr'曰一/n,

l，取?Z=l,可得加=OJJ）,

{m-A^E=V3x-y-\-z=O

因?yàn)槎?（一伍l,。），所以，cos：區(qū)）=苛株=七=彳，

因此，441與平面小BE所成角的正弦值為VI；

4

若選②：BAilBiC.

⑶因?yàn)樗倪呅?41百口為菱形，則

因?yàn)锳iBrBi。，ABiCBiC=Bi，AB^61。。平面4右1。，所以，413,平面ABi。，

因?yàn)?7U平面481。，所以，ACVA^B,

因?yàn)樗倪呅?41GC為正方形，則40,441,

因?yàn)?3aA4=4，AiB.AA1C^AArBiB,所以，4C_L平面44場3；

（蒞）因?yàn)樗倪呅?41田為菱形，貝且AC,平面441歸，

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，誦、而、前的方向分別為X、產(chǎn)z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

因?yàn)?4=2,ZABBj=60°,則4（0,—1,0）、4（一遍,0,0）、3（血,0,0）、E（0,-l,l）,

設(shè)平面4歸后的法向量為記=Q,g,z）,9=（2代,0,0）,而=（石,一1,1）,

m?Aij^=2V^x=0g1-—小ri\

，L，取V=1,可得沅=（0」i）,

{m-AyE=\—y+z=0

因?yàn)槎?（一乃，1，°），所以，cos時屈=*^；='=G，

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因此，44i與平面小8E所成角的正弦值為V2

4

【解析】【分析】⑴連接4場交48于點(diǎn)跖連接￡〃，利用中位線的性質(zhì)推導(dǎo)出后河〃81。，結(jié)合線面

平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

⑵選條件①：1）推導(dǎo)出4441石出山18石，可得出/艮4后=/44&=900,可得4018,AClAAi，

再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

儂）以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，M6、MB；、力方的方向分別為x、＞、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用

空間向量法可求得441與平面小88所成角的正弦值；

選條件②：⑴由菱形的幾何性質(zhì)得出結(jié)合已知條件以及線面垂直的判定定理可證得出3,平

面A3。，進(jìn)而可得出再由正方形的幾何性質(zhì)得出4。，441，利用線面垂直的判定定理可證

得結(jié)論成立；

儂）以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，調(diào)、而用、彳方的方向分別為x、八z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用

空間向量法可求得441與平面由88所成角的正弦值.

19.【答案】⑴因?yàn)闄E圓婚+,=1仙＞6〉0）過點(diǎn)（，6,0）,離心率為j

a=A/6

b=\/a2—c2

＜

22

因此，橢圓片的方程為4+＜=i.

63

7/2）＞1+C2=0,

⑵設(shè)點(diǎn)4（處明）、B（X2,則，2必

當(dāng)直線AB的斜率存在且不為零時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

聯(lián)立二二：6可得RM+1W+4km+2/-6=0,

則△=16Mm2-4(2k2+1)(2m2-6)=8(6fc2+3-m2)>0,可得/<6k2+3,

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4r?*7D

當(dāng)g=l時，由韋達(dá)定理可得g+/2=—整理可得2k2+1=—2km，

2kz+1

可得m=—k-3，

2k

此時，譏+92=卜⑶+?)+2m=2A;+2m,則y。=陰/范=卜+m=-J-,

22K

所以，直線/的方程為4+￡=—%/—1),即沙二—;(2—3),

此時，直線/恒過定點(diǎn)(Jo)；

當(dāng)直線ABLc軸時，則線段的方程為2=1，此時點(diǎn)/、8關(guān)于X軸對稱，

則直線/為x軸，此時，直線/過點(diǎn)(，0)；

當(dāng)直線軸時，此時點(diǎn)/、3關(guān)于/軸對稱，則3=0,不合乎題意.

綜上所述，直線/恒過定點(diǎn)(和).

【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可得出關(guān)于°、6、c的等式組，求出這三個量的值，即可得出橢圓￡的

方程；

(2)對直線/的位置進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線/的方程，將直線/的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，根據(jù)線段N3

的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1可得出參數(shù)的關(guān)系，化簡直線/的方程，即可得出直線/所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

(3)求證直線過定點(diǎn)(3/0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程4—yo=k(x-皿)或截距式“=kx+b來證明.

20.【答案】1)當(dāng)a=2時，函數(shù)/@)=€2工—2―1,求導(dǎo)得尸(力=2e2,—1,則〃0)=1,而/(0)=0,

所以曲線沙=/(2)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為4=

(2)對任意XGa+00),不等式/(/)20=60'-7-120060'》出+1,

當(dāng)出》0時，令2/=6'一/一1,求導(dǎo)得“=e'—l20,函數(shù)g=e，—力—1在[0,+oo)上遞增，

%iin=。，因此e'2N+l,當(dāng)時,V/C[0,+00),6尤》》力+1,即/(/)20恒成立,則Q2l;

當(dāng)0<a<l時，=aeax-1,由/Q)=0,得/二工上工，

aa

當(dāng)0<①<Ln4時，/3)<0,函數(shù)/(立)在(0」hJ)上單調(diào)遞減，/儂)</(0)=0,不符合題意，

aaaa

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是1.

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產(chǎn)（工+》,

(3)由1〉0,/(力)+]=0,得6如_力_1_o今e。，一力+!今Q

Z,C"2-U5-7O-?Xy|2"

X

1X1/

令()3+1)求導(dǎo)得[皿+2

g@)=x〉°，⑺=——

*乙

①11

1

令岫)=1-MR+]),立>0,求導(dǎo)得?(x)=2——<(),

x+2(2+下"(2+孑

9329167

函數(shù)以2)在(0,+00)上單調(diào)遞減，而入⑴=--ln->--ln^=--->0,從3)=--ln-<0,

OZiOZa(乙

則存在力oG（1,3）,使得無（四））=0,當(dāng)0</〈/0時,h（x）>0,即，（力）〉0,

函數(shù)g（優(yōu)）在（。,3）上單調(diào)遞增，g（?））〉g（；）=0,取正數(shù)aWgQo）,

則直線9=a與函數(shù)g=gR）在（0,費(fèi)）上的圖象有交點(diǎn)，此交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間（；,藥,

所以存在實(shí)數(shù)。，使方程/（2）+；=0有正實(shí)根.

【解析】【分析】（1）把a(bǔ)=2代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

（2）證明+1恒成立，再按a2l,0<a<1分類，結(jié)合不等式的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性得解.

（3）由方程有正實(shí)根分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)（_ln^+,利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)能取到正數(shù)即可推理

得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：借助恒成立的不等式立+1,再借助不等式的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)分類求解是關(guān)鍵.

21.【答案】⑴①因?yàn)樗?2律，K=n+2（7zeN*）,若數(shù)