2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)某中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測

皿「，、憶\__IX、/A

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，共50分。

1.已知全集U=R,集合a={x|/-1>0},則C〃l=()

A.(—1,1)B.[-1J]C.(-oo,-1]D.[1,+oo)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z1和Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為48,貝!Jz「Z2=()

C.l-31D.3+L

則其漸近線方程為

A.y=±2xB.y=±V-2xC「.y=±?-1xD.y=±—%

52345

4.已知(1—3%)=a。+arx+a2x+a3x+a4x+a5x,則g+*=()

A.-32B.32C.495D.585

5.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為減函數(shù)的是()

A.y=2"B.y=sinx

C.y=±D.y=Zogo.5(--+4%)

6.設(shè)函數(shù)/(￡)的定義域?yàn)镽,則“Vx6R,f(x+1)<f(x)”是“/(x)為減函數(shù)”的()

A.充分必要條件B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知點(diǎn)P在圓(X—l)2+y2=1上，點(diǎn)a的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則而的取值范圍是()

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

8.“三斜求積術(shù)”是我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實(shí)例的形式提出的，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長a,b,c求

三角形面積S,即5=J"c2a2—(酸哼心!)]現(xiàn)有面積為3/正的團(tuán)ABC滿足sin4sinB:sinC=2:3:4,則

回力8c的周長是()

A.9B.12C.18D.36

9.已知函數(shù)/(%)=2%,g(%)=/o%%.若對(duì)于/(%)圖象上的任意一點(diǎn)P,在g(%)的圖象上總存在一點(diǎn)Q,滿

足。尸10Q,且|0P|=|0Q|廁實(shí)數(shù)。=()

11

A.4BiC.2D.4

4L

10.在正方體力BCD—a'B'C'D'中，E為棱DC上的動(dòng)點(diǎn)，尸為線段B'E的中點(diǎn).給出下列四個(gè)

@B'E1AD'；

②直線與平面ABB'4所成角不變；

③點(diǎn)F到直線4B的距離不變；

④點(diǎn)F到44四點(diǎn)的距離相等.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.②③B.③④C.①③④D.①②④

二、填空題：本大題共5小題，共25分。

11.已知sinx=—|,x￡(兀,|兀),則tanx=.

12.拋物線/=4y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8,則點(diǎn)P到x軸的距離為.

13.已知數(shù)列｛4兀｝的前？i項(xiàng)和%滿足%=2an一且%,a2+1,。3成等差數(shù)列，則的=

14.若實(shí)數(shù)Va,。滿足方程組2；sa=貝曲的一個(gè)值是.

15.在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列｛廝｝,｛,｝分別表示兩組信息的傳輸鏈

上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：an+1=2aH+bn,bn+1=即+2bn(ji=1,2…)，描述了這兩組信息

在互相影響之下的傳播演化過程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足的>瓦，則在該模型中，關(guān)于兩組信

息，給出如下結(jié)論：

(T)VneN*,c1n>bn；

@Vn6N*,an+1>an,bn+1>bn；

③mk€N*,使得當(dāng)n>k時(shí)，總有償一1]<IO-1。

④mk€N*,使得當(dāng)n>k時(shí)，總有|等i-2|<IO-】。.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.已知函數(shù)/'(x)=2cos(x—7)cos(x+7)-

44

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-cosx,求g(x)的值域.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面力BCD為正方形，P4_L平面4BCD,Q為棱PD的中點(diǎn).

(1)求證：PB〃平面ACQ；

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：直線PC與平面2CQ所成角的正弦值.

條件①：4Q1PC；條件②：4Q，平面PCD.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.某汽車生產(chǎn)企業(yè)對(duì)一款新上市的新能源汽車進(jìn)行了市場調(diào)研，統(tǒng)計(jì)該款車車主對(duì)所購汽車性能的評(píng)

分，將數(shù)據(jù)分成5組：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140],并整理得到如下頻率分布直方

圖：

頻率

(1)求ni的值；

(2)該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對(duì)評(píng)分低于110分的車主送價(jià)值3000元的售后服務(wù)項(xiàng)

目，對(duì)評(píng)分不低于110分的車主送價(jià)值2000元的售后服務(wù)項(xiàng)目.若為這3人提供的售后服務(wù)項(xiàng)目總價(jià)值為X

元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)用隨機(jī)抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評(píng)分不低于110分的人數(shù)為匕問

=0,1,2，…,10)為何值時(shí)，P(Y=k)的值最大？(結(jié)論不要求證明)

19.已知橢圓后母+，=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)M(2,0),離心率為苧.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)T(t,0)的直線2與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4B(均不與點(diǎn)”重合)，若以線段4B為直徑的圓恒過點(diǎn)

M,求t的值.

20.已知函數(shù)/(%)=x2e2~x—x+1.

(1)求曲線y=/(%)在(2,/(2))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=((%),求g(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)判斷/(%)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.

21.已知Q:%,02,…，以為有窮正整數(shù)數(shù)列，且2a2工…/ak>集合X={-1,0,1上若存在"EX,i=

1,2,…，k,使得%1%+x2a2+—卜xkak=t,則稱t為k-可表數(shù),稱集合T=(t\t=xrar+x2a24---F

xkaktXtEXfi=1,2，…,k)為k一可表集.

(1)若左=10,。=2?一力=1,2產(chǎn)?，匕判定31,1024是否為k一可表數(shù)，并說明理由；

(2)若{1,2,…,n}IT,證明：n<^;

(3)設(shè)田=3—"=1,2,…，k,若{1,2,…,2024}UT,求k的最小值.

參考答案

l.B

2.X

3.B

4.C

5.D

6.5

7.D

8.C

9.B

10.C

ll.|/0.75

12.7

13.2；2n

2*77-

14.0=0(滿足￡=2kn,kGZ或。=~+2kn,kGZ的￡值均可)

15.①②③

16.解:(I)因?yàn)閒O)=2cos(x-j)cos(x+2)

IT7T71

—2cos[(%+4)—引cos(%+4)

=2sin(x+9cos(%+力

=sin(2x+

=cos2x,

所以〃x)的最小正周期T=尚=:=加

(II)因?yàn)間(%)=/(%)-cosx,

所以g(%)=cos2x—cosx=2cos2x—cosx—1=2(cosx--)2--,

因?yàn)閏os%6[—1,1],

所以依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得g(x)的值域?yàn)?/p>

O

17.(1)

R

BC

連接BD與4C相交點(diǎn)E,連接EQ,

因?yàn)榈酌鎆BCD為正方形，所以E為BD的中點(diǎn)，又Q為棱PD的中點(diǎn),

所以EQ為EIPBD的中位線，所以EQ〃PB,

又EQu平面ACQ,PBC平面4CQ,所以PB〃平面ACQ.

(2)

選條件①：

易知CD1平面PAD,AQu面PAD,所以CD1AQ,

又CDnPC=C,CD,PCu平面PCD,AQ1PC,

所以4Q1平面PCD,

又PDu平面PCD,所以4Q1PD,由于Q為棱PD的中點(diǎn)，所以回P2D為等腰直角三角形,

以力為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長為1,

貝14(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),￡)(0,l,0),P(0,0,l),

所以前=(1,1,0),而=(0,|,g,PC=(1,1,—1),

設(shè)平面ACQ的法向量為元=(%,y,z),

?元=0今%+y=0

1i可取元=(LTl)

-y+-z=0

-n=0?LL

設(shè)直線PC與平面ZCQ所成角為6,

則sin。=|cosPC,n|=鼎=總行=：；

選條件②：

因?yàn)?Q1平面PCD,PDu平面PCD,所以2Q1PD,

由于Q為棱PD的中點(diǎn)，所以回P2。為等腰直角三角形，

以力為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長為1,

貝M(0,0,0),B(1,O,O),C(1,1,O),D(O,1,O),P(O,O,1),Q(0,另),

所以前=(1,1,0),XQ=(0,1,1),PC=(1,1,-1)-

設(shè)平面ACQ的法向量為元=(x,y,z),

fjp?-_A(x+y=0

則隹?一U今1八，可取元=(1,一1,1),

[AQ-n^O[9+產(chǎn)=0

設(shè)直線PC與平面ACQ所成角為氏

則sin。=|cos定，司=鼎=備=5-

18.1?：(1)由頻率分布直方圖可知

(0.005+0.025+0.035+m+0.007)x10=10m=0.028；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知評(píng)分低于110分的占比03,

評(píng)分不低于110分的占比0.7,

任選3人中其評(píng)分情況有四種：

3人均低于110分；

2人低于110分，1人不低于110分；

1人低于110分，2人不低于110分；

3人均不低于110分，

所以X可取9000,8000,7000,6000四種情況，

P(X=9000)=0.33=0.027,P(X=8000)=3x0,32x0.7=0.189,

P(X=7000)=3x0.31x0.72=0.441,P(X=6000)=0.73=0.343,

故X的分布列為：

X9000800070006000

P(X)0.0270.1890.4410.343

則E(X)=9000x0.027+8000x0.189+7000x0.441+6000X0.343=6900；

⑶由題意可知P(y=k)=《0x(0.7/x(0.3)lo-k,

可知當(dāng)k=7時(shí)P(Y=k)取得最大值.

證明如下：設(shè)p(y=k)最大，gP{X-S>pry-fc+iy

I/-K.)ryi-K.11)

x(0.7)kx(O.3)lo-k>C轉(zhuǎn)ix(0.7)k+1x(0.3)9f

所以

x(0.7)kx(O.3)lo-fc>C^Q1x(0.7)J*(0.3)ii-k'

化簡得需-"og+1^6.7<k<7.7,因?yàn)?<k<10,keN,故/c=7.

19.解：⑴由題意可知白=1=>a=2,

又離心率為e=匹眩=苧n川=2,

a2

即橢圓方程為：++冬=1；

4Z

設(shè)直線Z:x=ky+3A(x1,y1),B(x2,y2),

則為？=Oi-2,7-L),MB=(x2-2,%)，

因?yàn)橐跃€段48為直徑的圓恒過點(diǎn)M,所以就?麗=0,

聯(lián)立直線與橢圓廠2二？:二八一上+2)y2+2kty+t2-4=0,

U+2yz-4=0

2=4k2t2-4(fc2+2)(t2-4)>0

_2kt

所以<%+%=—遷，則2k2—產(chǎn)+4>0,

t2-4

22

由Md-MB=00(*i—2)(*2-2)+y1y2-(/c+1)為光+k(t—2)(%+y2)+(t-2)0,

整理得3t2—8t+4=0nt=2或t=|,

易知t=2時(shí)不符題意，所以t=|.

20.解:(1)由題意知f(%)=x2e2~x-%+1,定義域?yàn)镽,

所以/'(%)=(―%2+2x)e2~x—1,

所以直線的斜率k=f(2)=-1,/(2)=3,

所以切線方程為y=—%+5,即％+y—5=0.

(2)由(1)知g(%)=/'(%)=(―x2+2x)e2~x—1,

所以"(%)=(%2—4%+T)e2~x,

令g'(%)=0,即％2—4%+2=0,解得％=2-71或久=2+度，

當(dāng)％c(—8,2-彘)，grM>o,

當(dāng)光€(2一瓶2+口)，g'(x)V0,

當(dāng)％E(2++8),gf(x)>0,

所以g(%)在(一8,2-彘)，(2+/1,+8)單調(diào)遞增，在(2-，1,2+，司單調(diào)遞減.

(3)2個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：

由(2)知當(dāng)％<2-時(shí)，g(%)在區(qū)間(一8,2-，為上單調(diào)遞增，

g(2-Vl)=(2y/~2-2)e^-1>|e-l>0,g(0)=-1<0,

所以存在唯一%1e(0,2-V-2),使g(%i)=0；

當(dāng)2-，^<%<2+VI時(shí)，g(%)在區(qū)間(2-VI,2+上單調(diào)遞減，

g(2-/2)>0,5(2+/2)<g(2)=-1<0,

所以存在唯一%26(2-J22+J2),使g(%2)=0;

當(dāng)％>2+時(shí)，(――+2%)<0,e2~x>0,所以g(%)=(―%2+2x)e2~x—1<0

所以g(%)在區(qū)間(2+瓶,+8)無零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)久G(-8,%1),g(%)=f(x)<0,

當(dāng)％G(%i,%2)，g(%)=/'(%)>0，

當(dāng)％e(工2,+8),g(%)=f{x)<o,

所以當(dāng)％=%i時(shí)，/(%)取到極小值；當(dāng)％=%2時(shí)，/(%)取到極大值；

故/(%)有2個(gè)極值點(diǎn).

21.解：(1)31是，1024不是,理由如下:

由題意可知％1%,+x2a24---卜xkak=t,

I-19

當(dāng)cii=2,fc=10時(shí)，有工i+2X2+—H2x10=t,X[E{-1,0,1},

顯然若/=-1,%6=l,Xi=0(t￡{2,3,4,5,7,8,9,10})時(shí)，t=31,

而tW2°x1+2]x1+22x1+…+29x1=21°-1=1023<1024,

故31是k-可表數(shù)，1024不是k-可表數(shù)；

(2)由題意可知若々=o今t=0,即OCT,

設(shè)s￡T,BP3x；￡{—1,0,1}使得與的+x2a2+—Fxkak=s,

所以(一龍1。1)+(一犯。2)++(一見映)=-S，且一刈6{—1,0,1}成AL,故一S6T,

所以若{1,2,…，n}cT,則{±1,±2,…，±n,0}UT,

即{±1,±2,-±n,0}中的元素個(gè)數(shù)不能超過T中的元素，

對(duì)于確定的Q,T中最多有3k個(gè)元素，

qk_-1

所以2幾+1<3fc=>n<—^―；

171

(3)由題意可設(shè)VneN*,mmeN*,使亡2T<w弓二，

27n2