2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二年級上冊第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)

檢測試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線6》一3/-1=°的傾斜角為（）

A.30。B.135。C.60。D.150。

2.如圖，已知正方體耳G2的棱長為1,以。為原點，以便為

單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面48G的一個法向量是（

B.（TU）

C（1，-14）D.（1，-1）

3.己知向量"=（°Q2）,*XT」」），向量5在向量。上的投影向量為（

A.（°，°，3）B.（°，°，6）

C.（T3,9）D（3,-3,-9）

4.圓（x+2y+&+3）2=2的圓心和半徑分別是（）

A.（-2,3）,]B.（2，-3）,3C.（々一“*D.*

5.將直線/-7+1=°繞點（°」）逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到直線￡則4的方程是（）

Ax+y-2=0Bx+y-\=0Q2x—y+2=0口2x—y+1=0

6.空間中有三點尸一2）,M（2,-3,l）,N（3,-2,2）,則點p到直線出的距離為

（）

A.2&B.26C.3D.2石

7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定

點A、B的距離之比為定值〃彳*1）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他

的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系X。中，

1^1_1

/（-2,0）,8（4,0）,點尸滿足|尸為2,設(shè)點尸所構(gòu)成的曲線為C,下列結(jié)論不正確的是

（）

A.。的方程為（x+4）2+/=16

B.在C上存在點。，使得。到點（1』）的距離為3

C.在°上存在點使得

D.。上的點到直線3尤-4/-13=°的最小距離為1

8.已知尸，°是直線/j7+l=°上兩動點，且倒卜生點4T6）,8（0,6）,則

5門+1尸0+1。引的最小值為（）

A.10+V2B.10-V2c.10V2D.12

二、多選題（本大題共3小題）

9.己知加eR,若過定點A的動直線-x一町+"-2=0和過定點B的動直線4：

%X+>+2〃L4=0交于點尸（尸與人，B不重合），則以下說法正確的是（）

A.A點的坐標(biāo)為（2,1）B.PALPB

C.四+網(wǎng)=25口.2E+閥的最大值為5

10.已知圓Ua+2>+y2=4,直線/：（m+l）x+2y-l+m=0（加eR）,則（）

A.直線/恒過定點（T/）

B.當(dāng)機=0時，圓C上恰有三個點到直線/的距離等于1

C.直線/與圓C有兩個交點

D.圓C與圓/+/-2x+8y+8=0恰有三條公切線

11.如圖，在平行六面體/BCD-43cA中，已知"8=/。=/4=1,

ZA}AD=ZAtAB=ABAD=600￡為棱CG上一點，且GE=2￡C,則（）

V6

ABDX=V2B.直線8'與/C所成角的余弦值為6

c.平面瓦D.直線8R與平面"CG4所成角為7

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知空間向量°=(2,3，s),*=(°，2，1),c=(2,7,〃)，若a,b,1共面，則加”的最

小值為.

13.費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小

于120。時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三

邊的張角相等，均為120°,根據(jù)以上性質(zhì)，已知A-2,0),5(2,0),C(0,4)；P為YABC內(nèi)

一點，記“BMP川+|M|+|PC|,則/(尸)的最小值為.

14.已知正三棱柱45C-H8C，的底面邊長為2?,高為2,點尸是其表面上的動點，

該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是MN,則兩?麗的取值范圍是.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知圓,+3-4)2=16,過8(0,2)作直線/圓。交于點亂、心

(1)求證：加?麗是定值；

(2)若點”(°T).求儲N的值.

16.如圖，在空間幾何體4BCDEFG中,四邊形N8CD是邊長為2的正方形，BE,平

面/BCD,CG=1,4E=2,BF=3,CGyAE||BF.

(1)求證：AE，尸,G四點共面.

7后

(2)在線段尸G上是否存在一點M,使得平面E4c與平面肱4c所成角的余弦值為WF?

FM

若存在，求出而的值；若不存在，請說明理由.

17.已知MO/)為圓C：x2+/_4x-14y+45=0上任意一點，

y—4

(1)求x+3的最大值和最小值；

(2)求x2+/-5x-15y的最大值和最小值.

18.我國漢代初年成書的《淮南子畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則是四

鄰矣.”這是我國古代人民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智

慧.而英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利?卡文迪許從鏡面反射現(xiàn)象中得到靈感，設(shè)計了卡文迪

許扭秤實驗測量計算出了地球的質(zhì)量，他從而被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人.已

知圓C的半徑為3,圓心C在直線/：6》一〉+3-6=°位于第一象限的部分上，一條光

線沿直線/入射被*軸反射后恰好與圓C相切.

(1)直接寫出/的反射光線所在直線的方程；

(2)求圓C的方程；

(3)點E是圓°與工軸的公共點，一條光線從第一象限入射后與圓C相切于點A,并與

x軸交于點B,其在點B處被直線反射后沿著x軸負方向傳播，此時的面積恰

3

好為10,求直線加的方程.

19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面/2c

PD=DC=2AD=2,E是尸。的中點.

/嘰/\\X

I。般:........…

?4L-------------

(1)求證：P/〃平面ED8；

(2)求平面功用與平面尸/。夾角的余弦值；

V6

(3)在棱依上是否存在一點尸，使直線即與平面瓦組所成角的正弦值為3,若存在,

求出求線段昉的長；若不存在，說明理由.

答案

1.【正確答案】A

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為"，

—tana——,0°<a<180°

因為該直線的斜率為3,所以3,所以a=30。,

故選：A

2.【正確答案】A

【詳解】由題意，4（L°」），8（1,1,0）,G（0,1,1）,

??-4G=（-i,i,o）sq=（-i,o,i）

設(shè)〃=（x,y,z）是平面4g的一個法向量，

4cl.五=—x+>=o

則有18G?萬=r+z=0,令％=1,得廣1,z=l,

.二〃=（1,1,1）

故選：A.

3.【正確答案】A

【詳解】由題意可知辦?。═L3）,（。+6"=6M=2,

卜〃o6

丁'R=Q《°Z=(o,o,3)

所以向量。+書在向量?上的投影向量為

故選：A

4.【正確答案】C

【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程0+2）一+（"3）2=2,得圓心為（-2,-3）,半徑為尼

故選：C.

5.【正確答案】B

【詳解】：直線4的方程為4：x-y+i=o,其斜率為1,

設(shè)直線4的斜率為左，

/.左=—1.

由題意可知，（0,1）6,（0,1）ed

”的方程為：yT=-（x-0）,即x+y-i=o

故選：B

6.【正確答案】A

【分析】根據(jù)空間中點線距離的向量求法即可求解

-V3

【詳解】因為九W所以加的一個單位方向向量為

用％麗=（1,-1,3）,,\PM\=^/12+（-1）2+32=VTT而4=$（1-1+3）=6

內(nèi)囚J改II，J

所以點p到直線MN的距離為/-即=而三=2垃.

故選：A

7.【正確答案】C

【詳解】對A：設(shè)點P（x，y）,

PA\?+2）?」

...函二5,則卮行72,整理得（x+4y+V=16,

故C的方程為（X+4）2+/=16,故人正確；

對B：（x+4）2+/=16的圓心C（4,0）,半徑為4=4,

...點（1,1）到圓心GIO的距離4=J（I+4T+（I-。）2=后,

則圓上一點到點（14）的距離的取值范圍為［4一04+止［回一4,圖+4］,

而-4,后+4）,故在c上存在點〃，使得。到點（U）的距離為9,故B正確;

對C：設(shè)點MQy）,

2

8,216

...=21幽，則^x2+y2=2^(x+2)2+y2x+§+y

整理得9

X+1+）=石C2\-7,0r2=~

???點河的軌跡方程為卜3）9,是以<3J為圓心，半徑3的圓,

48

又匹匕<§=4一々

則兩圓內(nèi)含，沒有公共點,

??.在C上不存在點〃，使得=九網(wǎng)，c不正確;

|3X(-4)-4X0-13|

=5

?.?圓心G（T°）到直線3x-4y-13=0的距離為

對D：

??.C上的點到直線3XT"13=O的最小距離為4-4=1,故D正確;

故選：C.

8.【正確答案】A

【詳解】不妨設(shè)點P（x，x+D在點。的左邊，因直線->+1=°的傾斜角為45。,

且附上及,則點。的坐標(biāo)為（x+Lx+2）,

貝「+|P0|+108|=及+7(X+4)2+(X-5)2+7(X+1)2+(X-4)2

記d=］（x+4）~+（x-5）-+1（x+1）~+（x-4）~

則可將d理解為點M（%x）到“（f5）,C（T,4）的距離之和，

即點￡）64,5），0（-1，4）到直線了=》的距離之和，依題即需求距離之和的最小值

如圖，作出點C（T4）關(guān)于直線了="的對稱點C',則C'（4，T）,

連接℃,交直線了=工于點",則|。'|+|。刈即"的最小值，

|C7V|+1DN|=QN|+|CW|=|DC\=^（4+4）2+（-1-5）2=10

_tL,

故|"|+|尸°|+|紗|的最小值為10+收

故選：A.

9.【正確答案】ABC

【詳解】因為4：x-叼+5一2=°可以轉(zhuǎn)化為加（17）+x-2=0,

故直線恒過定點/（2」），故A選項正確;

又因為￡mx+y+2m-4=0f即廣4=-加（x+2）恒過定點8（-2,4）,

(:x—即+加一2=0和4：加x+V-4+2加=0滿足1xm+(-^)xl=0

由

所以“與可得尸4上尸2,故B選項正確；

所以照2+lP5|2=I時=（2+2）2+（1一4）2=25,故c選項正確;

因為我，用，設(shè)/尸4s=ae為銳角，

則1PH=5cos6\PB\=5sin。

所以2|P24|+|P5|=5（2cos^+sin^）=5V5sin（3+cp^

所以當(dāng)sing夕）=1時，2］刊+附取最大值5%故選項口錯誤.

故選：ABC.

10.【正確答案】ACD

【分析】A,將直線變形，即可得到直線過的定點；B,結(jié)合點到直線的距離公式，可

得到結(jié)果；C,由定點在圓內(nèi)，即可判斷；D,利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系即可

判斷.

【詳解】對于A,直線人（加+1卜+2y-1+加=0（加eR）,所以加x+l）+x+2y-l=0,

Jx+1=0Jx=-1

令1x+2yT=0,解得b=l,所以直線恒過定點（TJ）,故A正確；

對于B,當(dāng)加=0時，直線/為：x+2了-1=0,

|-2+0-l|_3V5375

u—I---------2--------<1

則圓心C（-2,0）到直線/的距離為VI2+225,5,

所以圓上只有2個點到直線的距離為1,故B錯誤；

對于C,因為直線過定點（TD,所以（T+2）2+/<4,

所以定點在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個交點，故C正確；

22

對于D,由圓的方程/+/-2苫+8夕+8=0可得，（X-1）+（J/+4）=9；

所以圓心為（L-4）,半徑為3,

,,同同、口3J（l+2）2+（-4-0f=5=2+3

此時兩圓圓心距為,

所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則兩圓恰有三條公切線，故D正確.

故選ACD.

11.【正確答案】ABD

［詳解］不妨設(shè)/~§7~0=凡-/7。7>=仇I/4=c~,則?\a\=\b^\c\=\,a-b=b-c=a-c=—2.

對于A,因西=麗+西=+±

故BD^=（b-a+^=5|2+回+|c|2+2（-a-b+b-c-a-c^

=3+2x|——|=2i—

I2>,故即=’2,故A正確；

對于B,因西=:+刃+工，貝4元I=JQ+療=6,

AC,BD、=(〃+/?),(—〃+b+c)

=l++l+=

=-\a^+a-b+a-c-a-b+\b^+b.c-22

設(shè)直線8〃與NC所成角為。，則\^C\-\BDX\J3xj26故B正確;

A]E=A,C,+C,E=a+b——c9DD.=c,

對于C,因3

-------一-2-—一一一一2-51121

A.E-DD.=(a+bc)-c=a-c+Z)-c--1c|2=-+0

332233

即4E與不垂直，故4E不與平面8DA4垂直，故c錯誤；

對于D,因8O=g_a,/C=a+5,/4=c,

因BD-AC=(b—a)-(a+b)=0BD-AAX=(b-a)-c=O

則有BD工AC,BD上AA],因ACc\AAx=A,AC,AAX=平面ACCXAX故g。/平面ACCXAX

即平面/°G4的法向量可取為n=b-a,又82=-4+g+c,

設(shè)直線8〃與平面"CG4所成角為。，

因〃=(刃一4).(一a+5+c)=1|z?|=1|BDX|=V2

sin(p=|cos<?,57^)|=—^e(0,-]夕=工

則J.2,因2,故4,故D正確.

故選：ABD.

12.【正確答案】-1

【分析】由空間向量共面定理列方程組得到n=m+2,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出最值

即可；

【詳解】因為"E共面，

所以B=4Q+〃C,

即(0,2,1)=4(2,3,加)+〃(2,7,〃)=(2/1+2〃,3幾+7〃,加/1+〃〃)

2幾+2〃=0

34+7〃=2n-m=2

成+"〃=1,解得

所以〃=加+2,

所以最小值為T,

故答案為.T

13.【正確答案】4+26/26+4

【詳解】設(shè)°電°)為坐標(biāo)原點,由A-2,0),5(2,0),C(0,4),

可得|陽=忸牛2技BC=4,且VABC為銳角三角形，

所以費馬點M在線段℃上，如圖所示，設(shè)“(0，萬)，

則為頂角是120。的等腰三角形，可得??3,

又由〃尸)=|尸川+|PB|+|PC|,

則f(P)>\MA\+\MB\+=—4人+4—分=4+

所以〃尸)的最小值為4+26.

故答案為.4+26

14.【正確答案】網(wǎng)町

【詳解】因為正三棱柱的底邊長為2應(yīng),如圖，設(shè)V/2C內(nèi)切圓的半徑為r,

—(2V3)2=-x2V3x3r

所以42,得到廠=1,又正三棱柱的高為2,

所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為尺=1,與上下底面有兩個切點且切點為上下底面的中心,

又“N是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面有兩個切點為M,N

而.麗=即+而)?+而)=|呵+防^?+而>而.函=|國I

則

又點尸是正三棱柱表面上的動點,

當(dāng)尸與M(或N)重合時，的值最小，此時\P°\=l,

由對稱性知，當(dāng)尸為正三棱柱的頂點時，pq的值最大，

…八A,N=-A.H=-XJ(2V3)2-(>/3)2=2

連接4N,并延長交BC于”，則33

\PO\=IAOI=A/12+22=yj'50<\PO\—1<4

此時?Lax?1?,得到JI—.

故[0,4]

15.【正確答案】（1）為定值T2,證明見解析

⑵-1

【詳解】（1）若直線/的斜率不存在，則屈（0,0）,陽0,8）,

貝°兩=(0,-2),麗=(0,6),所以兩.麗=-12；

若直線/的斜率存在，設(shè)/：N=^+2,M（XQI）,N（X2，%）,

\y=kx+2

[x2+(jv—4)2=16消去y得(1+左2)x2_4Ax_i2=0

_4k_-12

』+2=I7F'X*2=寸，又麗=(x“M_2),麗=(x2,y2-2),

2

所以BM-BN=再％2+(%—2)(%-2)=xxx2+kxx-kx2=(\+k)xxx2=-12

綜上，兩?麗為定值72.

7X.+X2=------r

(2)易知直線/的斜率存在，由(1)知1+h

2_

x}+x2_4k*1+左k

所以X\X2]+后2-123得=—3(%]+%2)

必+4kXy+6%+4kx2+6

由Z(0,—4),得再再％2%2,

Axj+6

kAM_/_kxxx2+6X2_-3(%j+X2)+6X2_3x2-3x{_】

2)+

kAN生+6kxxx2+—3(石+工6項3x1—3x2

所以馬.

【詳解】（1）證明：因為B廠，平面4SCO,/8,8Cu平面4BCD,

所以BFVAB,BFVBC

因為四邊形/8CZ）是正方形，所以ABLBC,所以248c,8尸兩兩垂直，

則以點B為坐標(biāo)原點，以848c,8/所在直線分別為x軸，V軸，z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

根據(jù)題意，得。（2,2,0）,￡（2,0,2）,尸（0,0,3）,G（0,2,1）.

所以瓦=（0,-2,2）,而=（-2,-2,3）,麗=（-2,0,1）

因為DE+DG=（—2,—2,3）=DF

所以共面，

又DEQFQG有公共點D,

所以D,E,F,G四點共面.

（2）解：存在，求解如下：

Z（2,0,0）,C（0,2,0）,則就=（一2,2,0）,方=（一2,0,3）,

設(shè)巾=（/，為，Z1）為平面FAC的法向量，

m-AC=0>2尤1+2%=0

則MAF=0,即]-2X|+3Z]=0,令Z]=2,

得平面b4c的一個法向量為加=（3,3,2）.

7位

假設(shè)線段尸G上存在點使得平面E4c與平面肱4c所成角的余弦值為WF,

令兩=AFG=（0,22,-22）（0<^<1）

則寂=方+前=（-2,22,3-24）

n-AC=0

<

設(shè):=（叼，為*2）為平面跖4c的法向量，則1萬?.=（）,

—2%+2%=0

-2X+2為2+(3-22)Z=0

即22

令％=1,得平面跖4c的一個法向量為3-22人

設(shè)平面E4c與平面M4c所成角為6,

8__J

?|前?同3-227?

cos6=\-n—r=---------1=----

而FT丁33

則VI3-2#

2=1

化簡整理，得（64+11）3T）=°,因為0W%1,所以-2,

7履

所以在線段尸G上存在一點M,使得平面工4c與平面M4c所成角的余弦值為WF,

FM_1

此時FG2.

15+4百15-4百

17.【正確答案】（1）最大值為*,最小值為17

（2）最大值為-50,最小值為-58

【詳解】（1）由題可知，（》-2）一+0-7）一=8

尸4_左

設(shè)x+3，得直線息7+3上+4=0,

該直線與圓卜一2）2+3-7）2=8有交點即可，所以

圓心,（2,7）到直線的距離要小于等于半徑即可，

.一1+34+4|q15-473,15+473

有6+上-解得1717

15-473y-415+473

-------<----<--------

即17x+317

y-415+4615-46

所以於的最大值為*,最小值為17

顯然-32>表示點M?y）到點

122）的距離的平方,

22

即

已知也叼)在圓(A2)2+G-7)2=8上,所以^NC\-r\<\MN\<\NC\+r

顯然。(2,7),廠=2及

V2

w=~2

所以

572

所以2??2

22

925

25T

所以

15|一^^[-58,-5。]

x1+y2-5x-15y=x-|I+fy

所以

所以廠+V-5x-15y的最大值為-50,最小值為-58

is.【正確答案】(i)Gx+y+3-G=o；

(2)(X-1，+(>_3)-=9；

(3)X-3J-2=0

【分析】(1)利用對稱性質(zhì)求出反射光線所在直線的方程.

(2)設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用切線性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式求出圓心坐標(biāo)即得.

(3)由(2)求出點￡坐標(biāo)，設(shè)出點8坐標(biāo)，利用直角三角形邊角關(guān)系、切線長定理及

三角形面積公式求出點8坐標(biāo)，再借助光的反射性質(zhì)求出直線心的方程.

【詳解】(1)設(shè)/的反射光線所在直線。尸上任意點為(X/),則該點關(guān)于x軸對稱點

(x,-J)在直線/上，

所以/的反射光線所在直線。尸的方程為瓜+V+3-后=0.

(2)設(shè)點0億6/+3-6)，而圓C與直線。產(chǎn)相切，且圓C半徑為3,

IV3f+V3/+3-V3+3-V3I、

--------/==3_

則V(^)2+12----------------,即4(fT)+3|=3,

整理得G(/T)=0或6(1)=-6,又點C在第一象限，即"0,因此"1,點CQ，3),

所以圓C的方程為(x-i)-+(y_3)=9.

(3)由(2)知，點C到x軸距離為3,即x軸與圓C相切于點￡(1，°),

由一條光線從第一象限入射后與圓C相切于點A,并與*軸交于點B,得點3在點