高等代數(shù)課件：n階行列式與對(duì)換的定義

1概念的引入2第三節(jié)n階行列式與對(duì)換的定義n階行列式的定義3對(duì)換的定義一、概念的引入三階行列式二階行列式規(guī)律（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的兩（三）個(gè)元素的乘積。（1）二階行列式共有

項(xiàng)，即

項(xiàng)；而三階行列式共有

項(xiàng)，即

項(xiàng)．推廣：階行列式共有項(xiàng)。推廣：階行列式每項(xiàng)都是位于不同行不同列的個(gè)

元素的乘積．一、概念的引入（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列

的三個(gè)元素的下標(biāo)排列．例如列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列一、概念的引入二、n階行列式的定義定義二、n階行列式的定義說(shuō)明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、

階行列式是

項(xiàng)的代數(shù)和;3、

階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列

個(gè)元素的乘積;4、

的符號(hào)為5、

一階行列式

不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;如：二、n階行列式的定義例1試判斷

和

是否都是6階行列式

中的項(xiàng)。分析題中所給兩個(gè)數(shù)都是

中不同行不同列的6個(gè)元素的乘積，解第一個(gè)數(shù)

的6個(gè)因子的第一個(gè)下標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列，第二個(gè)下標(biāo)排列431265的逆序數(shù)為6，所以

是

中的項(xiàng)。

因此要判斷它們是不是

中的項(xiàng)，關(guān)鍵是看它們的符號(hào)。二、n階行列式的定義第二個(gè)數(shù)

的6個(gè)因子的第一個(gè)下標(biāo)不是標(biāo)準(zhǔn)排列，所以我們可先重新排序?yàn)?/p>

，再看第二個(gè)下標(biāo)排列452316的逆序數(shù)為8，所以

不是

中的項(xiàng)。例2試用定義求四階行列式二、n階行列式的定義解先求所有乘積項(xiàng)二、n階行列式的定義再求其代數(shù)和，得二、n階行列式的定義例3計(jì)算對(duì)角行列式解不能使用對(duì)角線法則，因?yàn)橛尚辛惺降亩x，4階行列式應(yīng)該是24項(xiàng)之和，而我們由對(duì)角線法則，只有8項(xiàng)，顯然不對(duì)注意：對(duì)角線法則只適用于二、三階行列式。二、n階行列式的定義展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是從而這個(gè)項(xiàng)不為零，所以

只能等于

,同理可得由n階行列式的定義即行列式中不為零的項(xiàng)為二、n階行列式的定義例4

計(jì)算上三角行列式分析展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是所以不為零的項(xiàng)只有解二、n階行列式的定義例如二、n階行列式的定義類(lèi)似可得下三角行列式二、n階行列式的定義分析展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是所以不為零的項(xiàng)只有解二、n階行列式的定義例5

計(jì)算次上三角行列式二、n階行列式的定義類(lèi)似可得次下三角行列式二、n階行列式的定義作為上（下）三角行列式和次上（下）三角行列式的特例，有對(duì)角行列式次對(duì)角行列式二、n階行列式的定義定義4在一個(gè)排列中，將某兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，即可得一新排列，這一過(guò)程稱(chēng)為對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．例如三、對(duì)換的定義定理1.1

排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，其奇偶性改變。證明設(shè)排列為除

外，其它元素的逆序數(shù)不改變.對(duì)換

與（相鄰對(duì)換情形）當(dāng)

時(shí)，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后

的逆序數(shù)增加1,經(jīng)對(duì)換后

的逆序數(shù)不變

，

的逆序數(shù)減少1.因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng)

時(shí)，現(xiàn)來(lái)對(duì)換

與對(duì)換

與變?yōu)榇蜗噜弻?duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).證明

由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.定理1.2證由行列式定義來(lái)證。階行列式的定義也可以寫(xiě)成其中

為

個(gè)自然數(shù)

的某一排列。(1)所有的全排列，共有

項(xiàng)。(2)每一項(xiàng)都是取自不同行不同列所有元素之積，

并取適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)。(3)取等號(hào)右邊任意一項(xiàng)，交換元素的順序，變?yōu)樵x里的一項(xiàng)，比較其符號(hào)，由定理1.1的推論有變換奇數(shù)次變換偶數(shù)次所以，每一項(xiàng)符號(hào)不變。因此，有即，新定義右端的一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)原定義右端一項(xiàng)的。又設(shè)

，