彈性力學(xué) 課件 馬宏偉 第7-10章 溫度應(yīng)力的平面問題-能量原理和變分法

彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12溫度應(yīng)力的平面問題ThePlaneProblemofTemperatureStress溫度應(yīng)力問題的提法01位移法求解平面直角坐標(biāo)系下的溫度應(yīng)力問題02平面直角坐標(biāo)系溫度應(yīng)力問題的位移勢函數(shù)03極坐標(biāo)系下的問題應(yīng)力問題04極坐標(biāo)系下軸對稱穩(wěn)定應(yīng)力問題求解05楔形壩體中的溫度應(yīng)力06溫度應(yīng)力問題的提法01Whatistheproblemoftemperaturestress(a)體心立方體(bcc)(b)面心立方體(fcc)(c)六角晶格

如Fe,V,Nb,Cr如Al,Ni,Ag,Cu,Au如Ti,Zn,Mg,Cd熱脹冷縮01對于固體物質(zhì)，基本單元是由質(zhì)點(diǎn)（原子或離子）構(gòu)成的點(diǎn)陣晶格，這些質(zhì)點(diǎn)在晶格點(diǎn)陣中圍繞其平衡位置非簡諧振動。當(dāng)固體受熱時，質(zhì)點(diǎn)振動加劇，由于非簡諧效應(yīng)，質(zhì)點(diǎn)的平衡位置發(fā)生移動，從而導(dǎo)致相鄰質(zhì)點(diǎn)間的平均距離增大，固體體積變大。反過來，當(dāng)溫度降低時，由于質(zhì)點(diǎn)振動減弱，質(zhì)點(diǎn)之間的平均距離減小，固體體積減小。這就是物體的熱脹冷縮。線膨脹系數(shù)03溫度應(yīng)力02基本概念產(chǎn)生的條件：溫度改變+受到約束作用，物體不能自由變形。自由物體不產(chǎn)生溫度應(yīng)力。含義：當(dāng)彈性體的溫度改變時，由于受到約束作用，造成不能自由膨脹與收縮，由此而產(chǎn)生的應(yīng)力。——稱為溫度應(yīng)力或變溫應(yīng)力考慮一自由物體溫度升高T后，對于任意微段，可用線膨脹系數(shù)來描述材料在溫度下的變形能力，定義為

，表示單位長度溫度升高1oC時的伸長量，量綱為

。本章不特殊說明時，T表述變溫。變溫下應(yīng)變變化04基本概念對于各向同性材料，各方向上的線膨脹系數(shù)相同，因此，溫度變化引起的應(yīng)變分量為溫度應(yīng)力問題的物理方程可由考慮純力作用下的變形疊加溫度作用下的變形，為（這里，T表示變溫）平衡方程和幾何方程不受溫度變化的影響05基本概念——平衡方程——幾何方程熱傳導(dǎo)問題051822年傅里葉（JeanBaptisteJosephFourier,1768-1830）發(fā)表了《熱的解析理論》（TheAnalyticalTheoryofHeat），建立了熱傳導(dǎo)定律，熱傳導(dǎo)方程寫為求解上述方程需要初始條件和邊界條件，它們合稱為邊值條件。初始條件：初始時刻溫度變化分布某些特殊情況下，溫度均勻變化，也寫為——這里，T表示溫度場，求出t時刻溫度場，與初始溫度場作差，得變溫場。從下一節(jié)開始T在不做特殊說明下，都表示變溫。邊界條件：初始時刻溫度變化分布第一類邊界條件，某邊界面上第二類邊界條件，某邊界面上特殊情況

第三類邊界條件，某邊界面上第四類邊界條件，某邊界面上位移法求解平面直角坐標(biāo)系下的溫度應(yīng)力問題02Displacementmethodforsolvingthermoelasticityprobleminaplanecartesiancoordinate1.平面問題的位移法01平面應(yīng)力問題當(dāng)圖示等厚薄板，在同時受到外力和變溫T作用，設(shè)溫度和外力均不隨板厚z方向變化，此時仍有：其代入物理方程，有：（6-16）

（c）xyyztba02平面應(yīng)變問題圖示無限長柱體，在同時受到外力和變溫T

作用，設(shè)溫度和外力均不隨板厚z

方向變化，即：T=T（x，y）。

其代入物理方程，有（7-5）（7-4）比較平面應(yīng)力情形式（7-4）1.平面問題的位移法2.按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程(平面應(yīng)力)已有條件：物理方程（應(yīng)力－應(yīng)變）仍需補(bǔ)充：幾何方程（應(yīng)變－位移），平衡方程（應(yīng)力分量－體力分量），邊界條件

總體思路：將所有的未知數(shù)都用位移分量來表示。2.按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程(平面應(yīng)力)（7-7）將其代入平衡方程（設(shè)fx=fy=0）用位移表示的平衡方程幾何方程代入物理方程3.按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程(平面應(yīng)力)用位移表示的邊界條件

（7-7′）幾何方程代入物理方程

（7-7）3.按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程(平面應(yīng)力)討論：（1）將式（7-7）與式（4-14）比較

（4-14）3.按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程(平面應(yīng)力)討論：（2）將式（7-7′）與式（4-15）比較

（7-7′）

（4-15）3.按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程(平面應(yīng)力)討論：（3）由以上比較，得到結(jié)論：在一定的位移邊界條件下，彈性體中由于變溫引起的位移，等于溫度不變而受有下列假想載荷作用時的位移（a）體力分量：（f）（b）面力分量：（e）或法向面力：（g）（4）溫度應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)?zāi)M：可由上述替換，通過加載荷的方法，代替加熱。把一個熱學(xué)與力學(xué)的耦合問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€單純的力學(xué)問題。（5）對于既有溫度應(yīng)力，又有其它載荷引起的應(yīng)力時，需將兩者疊加即可。平面直角坐標(biāo)系溫度應(yīng)力問題的位移勢函數(shù)03displacementpotentialfunctionofthermoelasticityprobeleminPlanecartesiancoordinate1.按位移求解的基本方程

——位移表示的平衡方程——位移表示的應(yīng)力邊界條件2.求解過程（1）求方程（7-7）的一組特解。（1）求出微分方程（7-7）的任一組特解，這組解只要求滿足微分方程（7-7），而不必滿足邊界條件。（2）不計變溫T，求出微分方程（7-7）的任一組補(bǔ)充解，然后將兩組解疊加，使其滿足全部邊界條件。

（6-18）代入位移勢函數(shù)

簡化得到基本步驟2.求解過程

簡化得到注意到，

、

均為常數(shù)，若取函數(shù)

滿足下列微分方程：則平衡方程能滿足。（7-9）再由（7-5），用位移特解表示的應(yīng)力分量為：表明能作為一組特解。式（7-9）亦可表示為：（7-10）2.求解過程（2）不計變溫T，求方程（7-7）的一組補(bǔ)充解。

對應(yīng)于補(bǔ)充解應(yīng)力分量（由應(yīng)力分量式（7-6）得到）為：2.求解過程它必須滿足位移邊界條件；它必須滿足應(yīng)力邊界條件?？偟奈灰品至浚嚎偟膽?yīng)力分量：說明：①當(dāng)溫度變化函數(shù)T已知時，方程（7-9）：通常比較容易求解。但必須先求出溫度變化場T。

（7-9）（3）疊加特解和補(bǔ)充解，以滿足問題的全部邊界條件。

2.求解過程而通常用第三章中，應(yīng)力函數(shù)解法來求解。把補(bǔ)充解的應(yīng)力直接設(shè)為：（4-20）應(yīng)力函數(shù)選取方法可參考第三章的應(yīng)力函數(shù)選取內(nèi)容。（3）疊加特解和補(bǔ)充解，以滿足問題的全部邊界條件。

說明：2.求解過程（3）疊加特解和補(bǔ)充解，以滿足問題的全部邊界條件。說明：③對于平面應(yīng)變問題，三個材料常數(shù)須作相應(yīng)的替換。但對應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量仍可式（7-10）求得，即位移勢函數(shù)

所滿足的方程（7-9）變?yōu)椋?/p>

（7-10）2.求解過程對于有變溫作用的彈性力學(xué)問題求解思路：特解＋補(bǔ)充解②補(bǔ)充解應(yīng)力函數(shù)法：③疊加將上述結(jié)果疊加，以滿足邊界條件。①特解引入位移勢函數(shù)：例題：圖示矩形薄板，發(fā)生如下變溫：其中：T0

為常數(shù)。試求其應(yīng)力分布。解：①求特解比較,得求位移勢函數(shù)

判斷右邊只是y的函數(shù)，所示設(shè)得，所以，求特解應(yīng)力分量：相應(yīng)的應(yīng)力分布：（7-10）（c）代入2.求解過程②求補(bǔ)充解補(bǔ)充解為對應(yīng)其次方程得通解，此解作為特解的補(bǔ)充，其疊加后應(yīng)滿足無面力邊界條件。因此，需要在邊界上加與上述特解相反的面力，如圖。

該問題中，當(dāng)a、b大小相差不大時，其精確解難于求得，通常由數(shù)值方法求解。

應(yīng)力分量為2.求解過程（3）疊加以滿足邊界條件顯然，后三個邊界條件是滿足的，而第一個邊界不能滿足。借助于圣維南原理，應(yīng)有：

邊界條件：

（d）

2.求解過程（3）疊加以滿足邊界條件溫度應(yīng)力問題求解步驟小結(jié)

代回應(yīng)力表達(dá)式，有：應(yīng)力分布如圖①由溫度場的條件，確定溫變函數(shù)T。

④疊加特解與補(bǔ)充解兩部分應(yīng)力（或位移），使其滿足問題的邊界條件。③不計溫變T，求解平衡方程（6-18）的補(bǔ)充解（位移）或?qū)?yīng)的力。可應(yīng)用第三章的應(yīng)力函數(shù)法。應(yīng)力邊界條件，由特解在邊界上的面力加以負(fù)號來確定。極坐標(biāo)系下的問題應(yīng)力問題04Solvingthermoelasticityproblemusingpolarcoordinates1.極坐標(biāo)下溫度應(yīng)力平面問題的基本方程01物理方程設(shè)物體具有變溫：總應(yīng)變=溫度變化引起的應(yīng)變+溫度應(yīng)力引起的應(yīng)變（平面應(yīng)力情形）（用應(yīng)力表示應(yīng)變的物理方程）（用應(yīng)變表示應(yīng)力的物理方程）1.極坐標(biāo)下溫度應(yīng)力平面問題的基本方程02平衡方程，幾何方程不變——平衡方程——幾何方程位移法求解：設(shè)存在位移勢函數(shù)

，

做如下推導(dǎo)

代入

導(dǎo)出

代入物理方程，得

1.極坐標(biāo)下溫度應(yīng)力平面問題的基本方程代入平衡方程，得

代入

其中，

(7-14)根據(jù)式(7-14)，可得由上式確定的應(yīng)力分量可作為溫度應(yīng)力的一組特解：此時，只滿足了溫度應(yīng)力問題的基本方程，邊界條件還沒有滿足。再疊加補(bǔ)充解滿足邊界條件。極坐標(biāo)系下軸對稱溫度應(yīng)力問題求解05Solvingaxisymmetricthermoelasticityprobleminpolarcoordinatesystem1.軸對稱溫度應(yīng)力問題的求解

相應(yīng)的位移特解：

對于軸對稱問題，有

式中B為積分常數(shù)。2.軸對稱溫度應(yīng)力問題的求解對應(yīng)特解的應(yīng)力分量為：說明：（1）對于平面應(yīng)變問題，有：（2）若上述結(jié)果不能滿足全部的邊界條件，則需求對應(yīng)于位移平衡方程的補(bǔ)充解，然后將兩者的應(yīng)力疊加以滿足全部的邊界條件。b.z方向的應(yīng)力：a.材料常數(shù)須作如下替換：

替換為

替換為E替換為（6-32）一般由應(yīng)力函數(shù)法求解這里：積分上限為

，但下限可以任意選取。取不同的下限，結(jié)果智慧相差一個常數(shù)，這個常數(shù)又可以通過A來調(diào)整。邊界條件為：（a）（b）取r=a，得相應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量：對應(yīng)于補(bǔ)充解的應(yīng)力分量為：因?yàn)槭禽S對稱問題，邊界上面力為常量，故選滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為（c）由上式中第一式可見，邊界條件（a）不能滿足，需求補(bǔ)充解。問題的提出分析第一步：特解第二步：補(bǔ)充解圖示圓環(huán)，內(nèi)半徑為a

，外半徑為b，發(fā)生軸對稱的變溫，即第三步：疊加將特解與補(bǔ)充解的應(yīng)力分量兩者疊加得總應(yīng)力，有滿足邊界條件，并注意到：

（d）第一步：特解第二步：補(bǔ)充解第三步：疊加再將其代回應(yīng)力分量式（d）,有對于長圓筒，則為平面應(yīng)變問題。第一步：特解第二步：補(bǔ)充解（f）

E替換為

替換為

第三步：疊加

由式（h）給出的是維持平面應(yīng)變的應(yīng)力。這種情況僅在無限長圓筒或在兩端受完全約束的有限長圓筒中才可能發(fā)生。（h）

第一步：特解第二步：補(bǔ)充解常量

可求得常數(shù)D

為:楔形壩體中的溫度應(yīng)力06Temperaturestressinwedge-shapeddambody問題的提出對于混凝土壩體，其溫度場受混凝土硬化放熱以及水溫、氣溫變化的影響。分布復(fù)雜且隨時間變化。一般情況下，該問題的求解比較困難。但對于簡單的變溫分布，可用函數(shù)求解。試求解如圖壩體，假定變溫在中心軸上為T=T0，在兩邊為T=0，

y

x解：第一步，位移勢函數(shù)確定特解

y

x解：第一步，位移勢函數(shù)確定特解

得位移勢函數(shù)為：對應(yīng)于特解的應(yīng)力：利用p134(6-29)

y

x分析特解導(dǎo)致邊界上的應(yīng)力為：第二步，位移補(bǔ)充解（依據(jù)上述邊界條件確定應(yīng)力勢函數(shù)）由特解在邊界給出的均勻面力，為滿足實(shí)際問題的邊界條件（無面力），應(yīng)取應(yīng)力函數(shù)（考慮到對稱性）：

應(yīng)力分量為：解：第一步，位移勢函數(shù)確定特解

y

x

邊界條件：求解，得：所以：

第三步：疊加應(yīng)力分量，并考慮邊界條件所以：

其變溫及溫度應(yīng)力分布如圖所示：壩體內(nèi)的最大拉應(yīng)力為：第三步：疊加應(yīng)力分量，并考慮邊界條件另外一種溫度場

y

x解：第一步，位移勢函數(shù)確定特解

h其位移勢函數(shù)

可設(shè)為：代入位移勢函數(shù)，并寫出應(yīng)力分量為：

y

x

由此確定得邊界條件為：

解：第一步，位移勢函數(shù)確定特解

y

x

由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量式（4-5）可求得對應(yīng)補(bǔ)充解的應(yīng)力：補(bǔ)充解的應(yīng)力函數(shù)可設(shè)為：由相容方程：可確定應(yīng)力函數(shù)為考慮到對稱性，應(yīng)有：B=D=0，于是有：

第二步，利用應(yīng)力勢函數(shù)求補(bǔ)充解

y

x

應(yīng)用邊界條件：

第三步，疊加并滿足邊界

y

x

變溫及溫度應(yīng)力的分布如圖。

最大拉應(yīng)力發(fā)生在邊界上：第三步，疊加并滿足邊界說明（1）以上是針對平面應(yīng)力問題進(jìn)行分析的，因而僅近似適用于具有伸縮縫的壩段。對于沒有伸縮縫的長壩屬平面應(yīng)變問題，須將以上結(jié)果中的材料常數(shù)作相應(yīng)的替換：

替換為

替換為E替換為說明在已知溫變場T

情況下，②由特解給出的邊界面力及問題的性質(zhì)，用應(yīng)力函數(shù)法求出補(bǔ)充解對應(yīng)的應(yīng)力。③將特解應(yīng)力與補(bǔ)充解對應(yīng)的應(yīng)力疊加，求得問題的總應(yīng)力，最后總應(yīng)力滿足問題的邊界條件，即可得問題的解。①由方程（6-28）：求位移勢函數(shù)

，和對應(yīng)于特解的應(yīng)力、由此引起的邊界面力。（2）求解步驟：謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院制作:馬宏偉，張偉偉彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12空間問題及其解答Spaceproblemsandtheirsolutions直角坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)問題01柱坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)問題02球坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)問題03空間問題的位移勢函數(shù)的引用04勒夫位移函數(shù)05伽遼金位移函數(shù)06半空間體表面受法向分布載荷問題07兩球體之間的接觸壓力08空間問題的應(yīng)力求解法09直角坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)問題01Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem——6個應(yīng)力分量；空間問題基本方程空間問題的基本未知量：——6個應(yīng)力分量；——6個形變分量；——3個位移分量；（1）平衡微分方程——6個應(yīng)力分量；空間問題基本方程（2）幾何方程（3）物理方程——6個應(yīng)力分量；位移法求解空間問題1.寫出物理方程，用應(yīng)變分量代替應(yīng)力分量其中

為第一應(yīng)變不變量，或稱其為體積應(yīng)變。2.將空間問題幾何方程代入上式，得——6個應(yīng)力分量；位移法求解空間問題3.此時

再將上式代入平衡方程,得上式中，只含有三個位移分量，共三個方程，理論上在邊界條件的限定下，就可以得到問題的唯一解?！?個應(yīng)力分量；例題1設(shè)有一無限大厚彈性板放置在一剛性平面上，如圖所示，板厚度為

，彈性體密度為

，上表面受大小為

的均布載荷，試求該彈性體的彈性力學(xué)解。分析體力，由于本題中體力由重力產(chǎn)生，得解:由于彈性體在無限大范圍內(nèi)受均布載荷作用，因此任一豎直平面都可以是該問題的對稱面，因此按位移寫出的平衡方程，得——6個應(yīng)力分量；例題1將體力、位移代入按位移寫出的平衡方程中，有積分，得其中，A和B為任意常數(shù)。將位移分量代入應(yīng)力分量的表達(dá)式——6個應(yīng)力分量；例題1邊界條件求解上表面邊界條件將A、B的解代回位移分量和應(yīng)力分量的表達(dá)式，得位移分量為上表面：下表面：將其代入下表面邊界條件,得——6個應(yīng)力分量；例題1應(yīng)力分量為最大位移發(fā)生在彈性體的上表面此外，垂直截面上的應(yīng)力

和

與水平平面上的應(yīng)力

之比是一個完全由泊松比

決定的常數(shù)這在土力學(xué)中被稱為側(cè)壓力系數(shù)。柱坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)問題02Elasticmechanicsproblemsincylindricalcoordinatesystem柱坐標(biāo)系01柱坐標(biāo)是在極坐標(biāo)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，相當(dāng)于將極坐標(biāo)面向

方向拓展，在極坐標(biāo)里確定一點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

，在柱坐標(biāo)里則為

如圖所示。常見空間軸對稱結(jié)構(gòu)02長征五號運(yùn)載火箭圓柱形壓力容器橢球形壓力容器xyzOρ

z空間軸對稱彈性力學(xué)問題，除了要求彈性體幾何上軸對稱，還必須要求其所受的載荷和約束也是軸對稱的。如圖所示，混凝土澆筑管道，在管道外表面3600受相同的位移約束，滿足軸對稱，當(dāng)管道內(nèi)受均勻內(nèi)壓時，其載荷也關(guān)于對稱軸對稱，此時，求解管道的應(yīng)力、應(yīng)變，就可簡化為軸對稱問題?；炷翝仓艿罎仓艿澜孛媸疽鈭D空間軸對稱彈性力學(xué)問題

對于空間軸對稱問題，因?yàn)閺椥泽w的幾何結(jié)構(gòu)、載荷、約束均為軸對稱，其變形也必然為軸對稱。軸對稱問題的位移分析

如圖所示，設(shè)

P

和

是關(guān)于

y軸對稱的點(diǎn)，則設(shè)P點(diǎn)有圖示方向環(huán)向位移時，

點(diǎn)的環(huán)向位移方向應(yīng)為圖中虛線所示。

但空間軸對稱還是繞軸對稱，即繞

z軸旋轉(zhuǎn)任意角度后，滿足空間軸對稱的量將完全重合，將

P點(diǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)至

，顯然根據(jù)繞軸對稱，

點(diǎn)的環(huán)向位移應(yīng)為圖中實(shí)線所示。

這一矛盾說明環(huán)向位移只能為0，即

。此外，由于軸對稱，

和

w

也與

無關(guān)，它們只是

的函數(shù)。軸對稱問題下的幾何方程（1）只有徑向（

方向）位移時xyzOPABC參考圖中所示的構(gòu)型

P-ABC，設(shè)

PB變形前長

，變形后長

（設(shè)徑向位移量為

）,因此設(shè)P點(diǎn)位移

，則A點(diǎn)位移

因此

軸對稱問題下的幾何方程xyzOPABC設(shè)P點(diǎn)位移

，則C

點(diǎn)位移

因此PC長度為

從P點(diǎn)到A點(diǎn),由于只有徑向位移，PA不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。從P點(diǎn)到B點(diǎn)，只是

坐標(biāo)增加

因此PB也不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。因此由于P點(diǎn)和B點(diǎn)在方向位移相等，變形前后，PB都垂直于面PAC，而PC只在面PAC中變形,因此設(shè)P點(diǎn)位移

，則C

點(diǎn)位移

PC

將發(fā)生偏轉(zhuǎn)，因此

軸對稱問題下的幾何方程（2）只有軸向（z

方向）位移時考慮切應(yīng)變，有考慮線應(yīng)變，有（3）疊加

當(dāng)同時存在徑向位移和軸向位移時，疊加上述兩種情況下的應(yīng)變分量，得到空間軸對稱問題總的幾何方程，為xyzOPABC軸對稱問題下的物理方程空間軸對稱問題，只需要考慮4個應(yīng)變分量。因此，廣義胡克定律變?yōu)閷⑶叭较嗉?，得稱為體積應(yīng)變。稱為體積應(yīng)力。將廣義胡克定律寫成以位移分量表示的形式為此時，體積應(yīng)變也用位移分量表示為軸對稱問題下的平衡方程xyzOPABC

dρρdzzdrdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ空間軸對稱問題，取如圖所示的微元體，該微元體由兩個柱面、以及兩個通過對稱軸的平面組成，高度為

，兩個柱面之間的距離為

，兩個過對稱軸的平面所成角度為

。軸對稱問題下的平衡方程ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ列出極徑方向（方向）的平衡方程略去高階無窮小量軸對稱問題下的平衡方程列出軸向（z

方向）的平衡方程，有略去高階無窮小量——為恒等式?？偨Y(jié)以上討論，得空間軸對稱問題的平衡微分方程為：ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ軸對稱問題下的平衡方程將物理方程代入平衡方程，可得到用位移表示的平衡方程，有空間軸對稱問題的平衡微分方程為：——為極坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子。ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ軸對稱問題下的邊界條件柱坐標(biāo)系的邊界條件為：l為表面外法線與

方向夾角的余弦，m為表面外法線與

方向夾角的余弦，n為表面外法線與z方向夾角的余弦。下面以圓柱體和圓錐體為例，寫軸對稱問題的邊界條件。軸對稱問題下的邊界條件xyzO在頂面上，

時，

在底面上，

時，

在圓柱面上，

時，

對于圓柱體，其邊界條件為對于圓錐體，其邊界條件為xyzO在圓錐體錐面上，

時，在底面上，

時，以上即為空間軸對稱問題的應(yīng)力邊界條件。球坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)方程03ElasticMechanicsProblemsinSphericalCoordinateSystem在工程中，有許多球?qū)ΨQ問題，例如球形儲氣罐，球形爆炸容器等。工程中的球?qū)ΨQ問題0201球坐標(biāo)含義：在球坐標(biāo)內(nèi)，一點(diǎn)的坐標(biāo)表示為

其中，

表達(dá)一點(diǎn)在空間的方位，如圖所示，

稱為天頂角，表示該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線（徑向連線）與

z

軸正向的夾角；

表示徑向連線在xoy

平面內(nèi)的投影與

x軸正向的夾角，稱為方位角；r

相當(dāng)于極坐標(biāo)中的，仍然表示該點(diǎn)在離開坐標(biāo)原點(diǎn)的距離（徑向距離）。幾何方程xyzOPBCA設(shè)在球體上任取一點(diǎn)P，并以該點(diǎn)為基準(zhǔn)，分別沿

方向做增量

PAB平面投影PAC

平面投影PBC

平面投影設(shè)P點(diǎn)位移為

，r方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

方向的應(yīng)變?yōu)閹缀畏匠蘌AB

平面投影PAC

平面投影PBC

平面投影PA和PB不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，因此

方向的應(yīng)變?yōu)榭梢娪洖镻A與PC、PB和PC均不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，因此整理上面式子，得此即為球?qū)ΨQ問題的幾何方程。物理方程寫成

，整理得將幾何方程代入平衡方程drrrdφdφrdφ(r+dr)dφ

考慮到，當(dāng)dφ

很小時，sindφ/2≈dφ/2，同時，將兩邊同除以r2drdφ

2，略去高階無窮小，有將應(yīng)力分量代入例題2空心圓球：內(nèi)徑為a，外徑為b；載荷：內(nèi)表面受均布壓力qa

作用

；外表面受均布壓力qb

作用

；體力不計。——球?qū)ΨQ問題求：應(yīng)力分量和位移分量。當(dāng)體力不計，fr

=0時，球?qū)ΨQ問題位移形式的平衡方程為解:——Euler齊次變系數(shù)常微分方程求解如下：ab例題2消去對應(yīng)特征方程：應(yīng)力分量：邊界條件例題2將

A、B

代回位移分量表達(dá)式，得球體的徑向位移為將

A、B

代回應(yīng)力分量表達(dá)式，得球體的徑向位移為當(dāng)只有內(nèi)壓q

，且令b→∞，式中解還可推廣為無限大彈性體含有半徑為

a的球形空腔，受內(nèi)壓時的解，有空間問題的位移勢函數(shù)的引用04Applicationofdisplacementpotentialfunctionforspatialproblems確定位移勢函數(shù)的基本方程01

假定：

（無體力）。

此時，位移平衡微分方程為：

引入函數(shù)：

使得：

式中：G

為剪切彈性模量，

滿足上述條件的函數(shù)，稱為位移勢函數(shù)。此時，有：確定位移勢函數(shù)的基本方程01將式代入位移平衡方程，有這就是位移勢函數(shù)需要滿足的泛定方程。其中的C是任意常數(shù)。確定位移勢函數(shù)的基本方程01（1）取常數(shù)C=0，則有：即：

應(yīng)為一調(diào)和函數(shù)。（2）即無體積變化。（3）應(yīng)力分量計算：（當(dāng)

=0時）當(dāng)這樣，對于一個空間問題，如果找到適當(dāng)?shù)恼{(diào)和函數(shù)

(x,y,z)，使得位移分量和應(yīng)力分量能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。軸對稱問題的位移勢函數(shù)01其中假定：此時，位移平衡微分方程為：選取位移勢函數(shù)：

使位移分量表示成：將其代入平衡方程，可得到位移勢函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程，推導(dǎo)過程如下：軸對稱問題的位移勢函數(shù)01代入綜合兩式可知柱坐標(biāo)拉普拉斯算子：軸對稱問題的位移勢函數(shù)01從形式上看，柱坐標(biāo)系下應(yīng)力函數(shù)與直角坐標(biāo)系下相同，注意的是直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子：柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子：取常數(shù)C=0，則有：即：

應(yīng)為一調(diào)和函數(shù)。應(yīng)力分量表達(dá)式為勒夫位移函數(shù)05Solutionofplaneproblems-Displacementmethod為了求解空間軸對稱問題，勒夫（Love，1863-1940）引用一個位移函數(shù)

，把位移分量表示為確定Love位移函數(shù)的方程：表明：

應(yīng)為重調(diào)和函數(shù)。應(yīng)力分量的表達(dá)式為：邊界條件要求：設(shè)有半空間體，體力不計，在其表面受有法向集中力F，如圖所示。例題3解:同時，在O點(diǎn)附近應(yīng)滿足平衡條件：（1）引入勒夫位移函數(shù)

取

（2）代入位移分量式和應(yīng)力分量式，有例題3（3）邊界條件討論：

——滿足——不滿足使得

與（4）選取軸對稱問題的位移勢函數(shù)令將上式代入位移分量式和應(yīng)力分量式中，得例題3（5）將兩者結(jié)果疊加，使其滿足邊界條件求出待定常數(shù)。疊加后的位移分量和應(yīng)力分量為由邊界條件

有

例題3將

代入平衡條件，得聯(lián)立兩式（6）將A1,A2代入，結(jié)果為此為著名的布西內(nèi)斯克（Boussinsq,J.）解伽遼金位移函數(shù)06Galerkindisplacementfunction伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)——適用于一般的空間問題，為Love位移函數(shù)的推廣。引入三個位移函數(shù)：把位移分量表示為其中將式代入用位移表示的平衡微分方程（無體力）：將式代入用位移表示的平衡微分方程（無體力）：將其代回平衡微分方程第一式，得同理可得此為位移函數(shù)所應(yīng)滿足的條件。說明：三個位移函數(shù)都應(yīng)當(dāng)是重調(diào)和函數(shù)。將位移函數(shù)代入物理方程，求得應(yīng)力分量：

對于一般空間問題，只須找到三個恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)

使位移分量、應(yīng)力分量滿足所有的邊界條件，即得到問題的正確解。應(yīng)力邊界條件要求：設(shè)有半空間體，體力不計，在其表面受有切向集中力

F

，如圖所示。以力

F

的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，作用線為

x軸，z

軸指向半空間體的內(nèi)部。例題4解:F

此外還有由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而來的平衡條件：例題4F

取長度坐標(biāo)為零次冪的調(diào)和函數(shù)為位移勢函數(shù)：（1）選取伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)和位移勢函數(shù)：取長度坐標(biāo)為一次冪的重調(diào)和函數(shù)為伽遼金位移函數(shù)：（2）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量與位移分量并疊加：（3）由邊界條件確定常數(shù)A1、A2、A3例題4F

（4）代回應(yīng)力與位移分量式，得最終結(jié)果。位移分量：例題4F

應(yīng)力分量：伽遼金位移函數(shù)也可選為：半空間體表面受法向分布載荷問題

07Theproblemofnormaldistributedloadonthesurfaceofahalf-spacebody例題5M

點(diǎn)的沉陷為以均布法向荷載

q

作用在半徑為a的圓面積上的情形為例，如圖所示，求出半空間體邊界上距圓心為

r

的一點(diǎn)

M的沉陷。解:因而

M點(diǎn)的總沉陷為注意弦

mn

的長度為

，并在對

進(jìn)行積分時考慮對稱性，有

例題5由于

，有將其代入式中,有式中：

為

的最大值，即圓的切線與OM間的夾角。例題5當(dāng)M點(diǎn)位于圓的邊界時，

，

有若M點(diǎn)是在荷載面積之內(nèi)，如圖所示，M

點(diǎn)的沉陷仍為注意弦

mn

的長度為

，而

由

，所以有例題5當(dāng)M點(diǎn)位于圓心時，r=0，有利用比較式,可見最大沉陷是荷載圓的邊界沉陷的

倍。例題5當(dāng)集中力作用時，有：求應(yīng)力分量，和位移計算類似，由疊加法計算求得。將式中的F

用

代替，并對

r積分，有求水平面內(nèi)的應(yīng)力分量

：在對稱位置，取四個微面積：1、2、3、4，每一微面積均為：rd

dr,例題5由公式可知將式中的F

用

代替，有再考慮微面積：3、4的兩個載荷

，有例題5將兩式相加，有再考慮微面積：3、4的兩個載荷

，有將式子對變量r

積分，

對

積分，,即例題5剪應(yīng)力發(fā)生在與z軸成45°的斜面上，其值為：將上式對變量z求導(dǎo)，并讓其為零，可求得：即該點(diǎn)取得整個彈性體中最大剪應(yīng)力，其值為：若取

=0.3，

z=0.637a處，兩球體之間的接觸壓力08Contactpressurebetweentwospheres研究兩彈性體在接觸點(diǎn)由于接觸壓力引起的應(yīng)力與變形?！佑|問題，也稱赫茲（Hertz.H，1885）問題）。特點(diǎn)：（1）接觸處的接觸壓應(yīng)力為未知量；（2）邊界條件是未知的，由接觸壓力引起的變形決定的；——狀態(tài)非線性問題。假定：（1）假定接觸面表面為理想光滑面，摩擦力可不計；（2）接觸處的變形為小變形，局部性的，接觸面的邊界尺寸遠(yuǎn)小于彈性體的幾何尺寸。研究思路：利用半空間體邊界上作用法向力的結(jié)果，近似分析接觸問題?！抻诜治鰞汕蝮w間的接觸問題。接觸問題及其特點(diǎn)設(shè)兩球體的半徑分別為：R1、R2，當(dāng)無壓力作用時，兩球體僅為一點(diǎn)O接觸。

考慮距接觸點(diǎn)公法線為r的兩點(diǎn)：M1、M2，它們距公切面的距離分別為z1、z2，則幾何關(guān)系有由此可求得：若點(diǎn)M1、M2

離接觸點(diǎn)O很近，則z1<<2R1

、z2<<2R2,于是，近似有：M1、M2

兩點(diǎn)間的距離：

當(dāng)兩球體以一力F相壓時，在接觸點(diǎn)附近將發(fā)生局部變形，出現(xiàn)一邊界為圓形的接觸面。

在小變形情況下，接觸面半徑遠(yuǎn)小于R1、R2，故可利用半空間體的成果進(jìn)行分析。

命

z1

軸上及

z2

軸上的兩點(diǎn)A、B，設(shè)它們在兩球相壓時趨近的距離為

，當(dāng)

M1

恰好與

M2

接觸時，有

此時，

M1

和

M2

之間并沒有接觸力，若

M1

和

M2

之間存在接觸力時，

M1

和

M2仍需各自產(chǎn)生

w1

及

w2

的位移，此時

將式

代入，有其中

式中：將式

代入，有

利用前章節(jié)半空間體受分布壓力時的位移計算公式，M1點(diǎn)的變形位移為：式中E1、1分別為下球體的材料常數(shù)；q為接觸面上的壓力。對上球體類似可以寫出相似的表達(dá)式。于是得到：赫茲（Hertz.H）假定：

假定接觸面邊界上的壓力按接觸面邊界的半球面分布。證明如下：由圖中可知，壓力大小的比例因子為：q0/a。沿弦mn的壓力變化規(guī)律如虛線所示的半圓。因此沿弦mn的積分：其中：A為該半圓的面積，即,將其代入式(h)中，有(h)左邊積分后，得比較兩邊常數(shù)項和r2的系數(shù)，有由此表明：按Hertz給出的關(guān)于q分布的假定，能使式得到滿足。以下確定q0、a：

由此得，最大接觸壓力值為：

最大分布壓力值等于平均壓力F/a2的1.5倍。利用式：

以及

代入式

，得

設(shè)兩球體間的總壓力為F，則以a為半徑的半球體的體積等于F。即

(8-33)最大接觸壓力值為：若?。?,可得（1）由此可確定：接觸處的最大壓應(yīng)力：q0,發(fā)生在接觸面中心。最大拉應(yīng)力：

發(fā)生在接觸面邊界上。討論：最大剪應(yīng)力：

距接觸點(diǎn)0.47a。（2）上述分析也適用于下列情形：（3）q0與接觸載荷

F間成非線性關(guān)系，這是接觸問題的一個重要特點(diǎn)。對于球體放置在平面上的情況，如圖8.20（a）所示，只須在以上的公式中命

；對于球體放置在球座內(nèi)的情況，如圖8.20（b）所示，只須在以上的公式中

取為負(fù)值（

自然也成為負(fù)值）?？臻g問題的應(yīng)力求解法09Effortsshouldbemadetofindsolutionstospatialproblems概述基本方程：基本未知量：——6個未知量：（1）平衡方程：（2）幾何方程：概述（3）物理方程：按應(yīng)力求解空間問題的思路：

在15個方程中，消去位移未知量：u、v、w，形變未知量：

x、

y、

z、

yz、

zx、

xy，得只含有應(yīng)力未知量：

x、

y、

z、

yz、

zx、

xy

的方程，求解其方程得應(yīng)力解，然后再求出其余未知量?？臻g問題的變形協(xié)調(diào)方程相似的，還可得到另外兩個相似的方程，因此，可得將幾何方程中的

對

二階導(dǎo)數(shù)與

對

的二階導(dǎo)數(shù)相加，得——同平面內(nèi)變形協(xié)調(diào)方程。（用應(yīng)變表示的相容方程）空間問題的變形協(xié)調(diào)方程將幾何方程中的切應(yīng)力表達(dá)式分別對x、y、z求導(dǎo)：并由此得同理，可得另外兩個協(xié)調(diào)方程——不同平面內(nèi)的變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）空間問題的應(yīng)力相容方程

將物理方程代入上式應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，并整理可以得到：通過以上類似的微分運(yùn)算，還可導(dǎo)出無數(shù)個變形協(xié)調(diào)方程，它們都是形變分量需滿足的方程。但是，可以證明，如果6個應(yīng)變分量滿足了上式就可以保證位移分量的存在，即可用幾何方程完全確定所有的位移分量。（注：對多連體問題，還需滿足位移單值條件。）空間問題的應(yīng)力相容方程利用平衡方程，進(jìn)一步化簡，得米歇爾(JohnHenryMichell,1863-1940)相容方程：在常體力情況下，相容方程變?yōu)椋骸悹柼乩埽‥.Beltrami）方程謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院制作:馬宏偉，張偉偉彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12等截面直桿的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力和位移01扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬法02橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)03矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)04薄壁桿的扭轉(zhuǎn)05扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力和位移01Polynomialsolution問題的提出：（1）等截面直桿，截面形狀可以任意；（2）兩端受有大小相等轉(zhuǎn)向相反的扭矩M；求：桿件內(nèi)的應(yīng)力與位移？

1.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)求解方法：按應(yīng)力求解；半逆解法（3）兩端無約束，為自由扭轉(zhuǎn)，不計體力

；材料力學(xué)結(jié)果：（1）（∵自由扭轉(zhuǎn)）（2）側(cè)表面：扭轉(zhuǎn)問題的未知量：——

由材料力學(xué)中某些結(jié)果出發(fā)，求解。扭轉(zhuǎn)問題的基本方程平衡方程：考慮扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力、體力特點(diǎn)：（a）——扭轉(zhuǎn)問題的平衡方程代入平衡方程，得：考慮相容方程：扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的相容方程代入邊界條件：（1）側(cè)面：（2）端面：（1）側(cè)表面：0000000000

（1）側(cè)表面：0000000000表明：在桿件的側(cè)面上（橫截面的邊界上），應(yīng)力函數(shù)

Φ

應(yīng)取常數(shù)。對單連體（實(shí)心桿）可取：對于多連體（空心桿）問題，Φ在每一邊界上均為常數(shù)，但各個常數(shù)一般不相等，因此，只能將其中的一個邊界上取Φs=0，而其余邊界上則取不同的常數(shù)，如：Ci——由位移單值條件確定。（2）上端面：00000000由圣維南原理轉(zhuǎn)化為：（a）（b）（c）求解(a)式，有：同理，對式（b），應(yīng)有：對式（c）：yCD分部積分，得：yCD同理，第二部分有：將其代入式（e）：所以：結(jié)論：等直桿的扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為解下列方程：泛定方程：定解條件：應(yīng)力分量：——應(yīng)力函數(shù)法由物理方程，得：代入幾何方程，有（f）

2.扭轉(zhuǎn)的位移與變形積分前三式，有：代入幾何方程后三式，有：只是x,y的函數(shù)f1和

f2都是z的一次函數(shù)

f2是

x

的一次函數(shù)f1是

y

的一次函數(shù)又由：得：從中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、

x、

y、

z

和以前相同，代表剛體位移。若不計剛體位移，只保留與變形有關(guān)的位移，則有將其用極坐標(biāo)表示：由將位移分量代入上式，有：由此可見：對每個橫截面（z=常數(shù)）它在xy面上的投影形狀不變，而只是轉(zhuǎn)動一個角度

=Kz。K

——單位長度桿件的扭轉(zhuǎn)角

。將其代入：有：將兩式相減，得：將其對照式：可見：實(shí)際問題中，K可通過實(shí)驗(yàn)測得。小結(jié)：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力的求解Φ（x，y）——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)的確定——側(cè)面邊界條件——桿端邊界條件——相容方程1.扭轉(zhuǎn)問題按應(yīng)力求解的基本方程——應(yīng)力函數(shù)法應(yīng)力的確定K

——單位長度桿件的扭轉(zhuǎn)角3.扭轉(zhuǎn)問題桿件位移與變形——桿件的抗扭剛度或：——扭轉(zhuǎn)桿件的變形——扭轉(zhuǎn)桿件的位移扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬法02Calculationofdisplacementcomponents1.薄膜比擬概念比擬的概念：如果兩個物理現(xiàn)象，具有以下相似點(diǎn)：（1）泛定方程；（2）定解條件；

則可舍去其物理量本身的物理意義，互相求解確定。扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬：——由普朗特爾（Prandtl.,L.）提出

薄膜在均勻壓力下的垂度z

，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)Φ，在數(shù)學(xué)上相似（泛定方程相似、定解條件相似）。因此，可用求薄膜垂度z

變化規(guī)律的方法來解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題?！まD(zhuǎn)問題的薄膜比擬方法。——為扭轉(zhuǎn)問題提供了一種實(shí)驗(yàn)方法

設(shè)一均勻薄膜，張在水平邊界上，水平邊界與某受扭桿件截面的邊界具有相同的形狀和大小，薄膜在微小的均勻壓力下，各點(diǎn)發(fā)生微小的垂度z。有關(guān)薄膜假定：

不能受彎矩、扭矩、剪力作用，只能受張力FT

（單位寬度的拉力）作用。

取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如圖，ab邊上拉力：ab邊上拉力在

z軸上投影：cd邊上拉力：cd邊上拉力在

z軸上投影：ad邊上拉力：ab邊上拉力在

z軸上投影：bc邊上拉力：bc邊上拉力在

z軸上投影：2.薄膜比擬方法在

z

方向上外力：兩邊同除以dxdy，整理得：或：邊界條件：

式

和

變?yōu)椋海╝）由平衡條件：表9.1薄膜垂度函數(shù)與扭桿應(yīng)力函數(shù)對照表

扭桿應(yīng)力函數(shù)薄膜垂度函數(shù)滿足的微分方程

（相容方程）也可變形為：邊界條件

（側(cè)面邊界條件）

（薄膜邊界條件）（端面邊界條件）構(gòu)造z的雙重積分V表示薄膜與底面形成幾何體的體積

當(dāng)薄膜與扭桿橫截面具有相同的邊界時，變量：與決定于同樣的微分方程與邊界條件，因而，兩者應(yīng)有相同的解答。并有：（9-12）3.扭矩M、截面上的剪應(yīng)力與薄膜體積、斜率的關(guān)系薄膜與邊界平面間的體積為：由式（c）:（c）得到:代入上式，有:由式：得到：（d）

或扭矩M與薄膜體積的關(guān)系截面剪應(yīng)力與薄膜斜率的關(guān)系

由可得：其中：表示薄膜垂度z

沿y方向的斜率。同理，有得結(jié)論：當(dāng)薄膜受均布壓力q作用時，使得：

由于x、y軸方向是可以取在扭桿橫截面上任意兩互相垂直的方向，因而可得到如下推論：

(1)該扭桿的應(yīng)力函數(shù)

，等于該薄膜的垂度z。(2)該扭桿所受的扭矩M，等于該薄膜發(fā)生垂度后形成體積的2倍，即2V。(3)該扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的切應(yīng)力(沿x方向)，等于薄膜上對應(yīng)點(diǎn)處的沿y方向上斜率

，而沿方向的切應(yīng)力

，等于薄膜上對應(yīng)點(diǎn)處沿x方向的斜率的相反數(shù)

。則得：（1）（2）（3）橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)03SimplysupportedbeamssubjectedtouniformlydistributedloadsxyOab1.問題的描述橢圓截面直桿：長半軸為a，短半軸為b，受扭矩M

作用。求：桿中的應(yīng)力與位移。2.問題的求解求應(yīng)力函數(shù)Φ根據(jù)：及橢圓截面方程：可假設(shè)：（a）（b）式中：m為待定常數(shù)。將其代入方程：得到：（c）利用方程：（c）利用方程：（d）式中：代入式（d）,有：可求得：（e）xyOab（e）（c）將其代入式（e）,得：（f）至此，Φ

滿足所有的條件：求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（2）合剪應(yīng)力：xyOab求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（2）合剪應(yīng)力：（3）最大、最小剪應(yīng)力：對上式求極值，當(dāng)

當(dāng)a=b時，與材料力學(xué)中圓截面結(jié)果相同。xyOab求桿的形變與位移xyOabABCD由得到：——桿件單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角位移分量由可求得：（f）xyOabABCD比較兩式，得：對其分別積分，得：式中：w0為常數(shù)，代表剛體位移。若不計剛體位移，則有：表明：（1）扭桿的橫截面并不保持平面，而翹曲成曲面。（2）曲面的等高線在xy面上的投影為雙曲線，其漸近線為x、y軸。（3）僅當(dāng)a=b時（圓截面桿），才有w=0，橫截面保持平面。矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)04WedgebodyissubjectedtogravityandliquidpressureyxOAa/2a/21.問題：圖示矩形截面桿：a、b、M

（1）

（2）兩種情形：a>>b；求：桿的應(yīng)力與位移。2.問題的求解（1）a>>b情形：——狹長矩形一般情形；求應(yīng)力函數(shù)Φ∵a>>b，由薄膜比擬可以推斷，應(yīng)力函數(shù)Φ

絕大部分截面幾乎不隨x變化，即不受短邊約束的影響，對應(yīng)的薄膜幾乎為一柱面。∴可以近似地?。憾鹤?yōu)椋簩ι鲜椒e分，有：利用邊界條件：可求得：（a）利用式：積分求得：（b）（c）求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（2）最大剪應(yīng)力：yxOAa/2a/2桿件的變形單位長度扭轉(zhuǎn)角：由式：此時應(yīng)力函數(shù)Φ

可表示為：（d）（2）任意情形（a/b=任意值

）：求應(yīng)力函數(shù)Φ基本方程與邊界條件：此時應(yīng)力函數(shù)Φ

為一般函數(shù)：求解思路：對狹長矩形結(jié)果，進(jìn)行修正。將Φ分解成兩部分，即：其中：Φ

1為狹長矩形的應(yīng)力函數(shù)，即：（e）（f）（g）yxOAa/2a/2（g）調(diào)整函數(shù)F，使其滿足邊界條件：將式（g）代入方程：得到：因?yàn)椋骸嘤校海╤）表明：F

應(yīng)為一調(diào)和函數(shù)。原問題轉(zhuǎn)化為：（i）

由問題的對稱性，F(xiàn)應(yīng)為x、y的偶函數(shù)。滿足上述條件的函數(shù)只能是：（j）yxOAa/2a/2現(xiàn)在放松條件a>>b,應(yīng)力函數(shù)增加一個F,如將式（j）代入式（i）第二式，得：原問題轉(zhuǎn)化為：（i）滿足上述條件的函數(shù)只能是：（j）將上式右邊為級數(shù)，并比較兩邊系數(shù)，有yxOAa/2a/2代入函數(shù)F，有最后確定應(yīng)力函數(shù)

為：（k）yxOAa/2a/2求最大剪應(yīng)力：

由薄膜比擬可以斷定，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形橫截面長邊的中點(diǎn)（如點(diǎn)A：x=0,y=

b/2）,其大小為：（l）單位長度扭轉(zhuǎn)角K：應(yīng)用式：yxOAa/2a/2（m）代入式（l）,得最大剪應(yīng)力公式：（n）將上述兩公式表示成：式中：、1僅與a/b

有關(guān)，可列表查得。yxOAa/2a/2系數(shù)、1表：a/b

1a/b

11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2315.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258∞0.3330.333正方形截面桿（a=b）翹曲后截面變形的等高線如圖：實(shí)線表示向上翹曲（凸）；虛線表示向下翹曲（凹）。薄壁桿的扭轉(zhuǎn)05Seriessolution1.開口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)分類：（1）開口薄壁桿件；（2）閉口薄壁桿件。——僅討論其自由扭轉(zhuǎn)。假定：（1）由于桿件壁厚b很薄，可近似視其為狹長矩形的組合；（2）曲的狹長矩形與同長度、寬度的直狹長矩形差別不大。扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與變形：

設(shè)ai、bi

分別為扭桿橫截面的第i個狹長矩形的長度和寬度，Mi為該矩形面積上承受的扭矩（為整個橫截面上扭矩的一部分），

i代表該矩形長邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，K代表該扭桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角，則狹長矩形的結(jié)果，有扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與變形：

設(shè)ai、bi

分別為扭桿橫截面的第i個狹長矩形的長度和寬度，Mi為為該矩形面積上承受的扭矩（為整個橫截面上扭矩的一部分），

i

代表該矩形長邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，K

代表該扭桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角，則狹長矩形的結(jié)果，有（a）（b）由式（b）得：（c）該矩形長邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力及桿件的扭轉(zhuǎn)角：整個橫截面上的扭矩為：（d）比較式（c）與式（d），有：將上式代回式（a）（b），有：

由于每個狹長矩形的扭轉(zhuǎn)角相同，所以整個橫截面的抗扭剛度為：

說明：（1）式

給出的狹長矩形中點(diǎn)處的應(yīng)力值精度較高；但兩個狹長矩形的連接處誤差較大，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于中點(diǎn)處的應(yīng)力?！獞?yīng)力集中。（2）連接處應(yīng)力隨連接圓角的半徑

而變化，圖中給出胡斯（J.H.Huth）用差分法計算得到的結(jié)果。2.閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力：——由薄膜比擬方法分析。方法說明：

在薄壁桿橫截面的外邊界上張一薄膜，使得薄膜在外邊界上的垂度為零；

為使薄壁桿橫截面的內(nèi)邊界上的垂度為常量，假想在薄膜上粘一無重不變形的平板，平板的大小、形狀與橫截面的內(nèi)邊界相同；

由于桿壁的厚度

很小，可以預(yù)料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可視為常量，如圖所示。

于是，桿壁厚度為

處的剪應(yīng)力大小（等于薄膜的斜率）為：（e）

由桿橫截面上的扭矩M與薄膜、桿橫截面所圍的體積間關(guān)系，有：（f）

式中：A為橫截面內(nèi)外界所圍面積的平均值。

由此得：

將其代入式（e），有：顯然，其最大值發(fā)生在壁厚最小處，即：扭轉(zhuǎn)變形——單位長度扭轉(zhuǎn)角K考慮平板CD的平衡：

在桿壁中線取一微小長度ds，該微段薄膜對平板的拉力為：Tds，它在z軸方向的投影：平板所受的壓力（z軸方向）為：由z軸方向力的平衡，即由式（f）可得：而:由此可得：因而，可求得：對于均勻厚度的閉口薄壁桿，

為常量，上式即變?yōu)椋菏街校簊為桿壁中線的全長。

說明：

（1）在截面的凹角處，局部的最大應(yīng)力

max可能發(fā)生遠(yuǎn)大于式

給出的應(yīng)力值。

（2）局部最大應(yīng)力隨凹角處的圓弧半徑

的增大而減小。桿的抗扭剛度：謝謝觀看Thanksforwatching東莞理工學(xué)院制作:馬宏偉，張偉偉彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12能量原理和變分法Theenergyprincipleandthemethodofvariation彈性體的應(yīng)變能和應(yīng)變余能01虛功原理與最小勢能原理01位移變分法01平面問題的位移變分法01最小余能原理01應(yīng)力變分法01平面問題的應(yīng)力變分法01彈性體的形變勢能01Elasticspotentialenergyofthedeformablebody基本概念01材料在單向拉伸作用下的能量上式稱為應(yīng)變能密度。若以應(yīng)力為自變量，可求應(yīng)變余能密度，如若材料為線彈性材料時，有：若彈性體只在兩個互相垂直方向有剪切應(yīng)力，且切應(yīng)變時，則應(yīng)變能為

每單位體積內(nèi)具有的形變勢能為:02基本概念材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能根據(jù)能量守恒，疊加各情況后，得應(yīng)變能密度一般情況下，彈性體受力并不均勻，應(yīng)變能密度也不均勻，為坐標(biāo)得函數(shù)，所以，彈性體所儲備的應(yīng)變能為利用物理方程轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變分量來表示，得基本概念02材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能02基本概念02材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能02

利用幾何方程，把應(yīng)變能用位移表示：基本概念02材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變余能02應(yīng)變余能密度

在應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時同樣是考慮應(yīng)變余能密度為位置坐標(biāo)的函數(shù)，則整個彈性體的應(yīng)變余能為考慮物理方程，將所有的應(yīng)變均用應(yīng)力表示，得應(yīng)變余能密度的表達(dá)式整個彈性體的應(yīng)變余能表達(dá)式基本概念02微分關(guān)系依據(jù)應(yīng)變能與應(yīng)力、應(yīng)變的積分關(guān)系，可得：對于余能，類似可得：虛功原理與最小勢能原理02Virtualworkprincipleandminimumpotentialenergyprinciple02虛功原理01位移：外力：體力面力將上式進(jìn)行歸項后，得設(shè)有一彈性體在一定的外力作用下處于平衡狀態(tài)，并發(fā)生虛位移：外力在虛位移上做功為虛功，設(shè)無能量損失，全部轉(zhuǎn)換為應(yīng)變能，有——此即為位移變分方程

或者

拉格朗日變分方程對于彈性體而言，虛位移

、

、

不是常數(shù)，而是位置的函數(shù)，因此位移變分方程是以位移函數(shù)為自變量的泛函。02變分方程的意義02如圖所示的簡支梁，梁在一定的載荷下?lián)锨€方程如圖中實(shí)線所示（簡便起見，只考慮其y方向位移），位移設(shè)為

。假定位移產(chǎn)生改變，變?yōu)?/p>

，位移變分為位移變分方程簡化為

相當(dāng)于當(dāng)自變量函數(shù)(撓曲線)改變時應(yīng)變能的變化量，這很像函數(shù)的微分關(guān)系。微分和變分的對比“微分”的概念移植到泛函中來，仍以圖示的簡支梁為例，將泛函中自變量函數(shù)（撓曲線函數(shù)）的“增量”記為，稱其為位移變分；應(yīng)變能函數(shù)的增量為，稱其為應(yīng)變能的變分。02虛位移原理03微分、積分、變分運(yùn)算可交換次序

將應(yīng)變能視為應(yīng)變的變分（相當(dāng)于求多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)）：代入

(10-8)———虛位移原理，也稱為虛功原理或虛功方程。方程左邊為應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛位移原理表示：在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功就等于應(yīng)力在與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功。由于外力的大小和方向可以當(dāng)作保持不變，體力和面力分量可作為常數(shù)寫到變分算子內(nèi)，有——彈性體的總勢能02虛位移原理03在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使總勢能的變分成為零。最小勢能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢能成為極值。如果考慮二階變分，則得到對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個極值是極小值。又由于彈性力學(xué)的解具有唯一性，總勢能的極小值就是最小值。因此，上述原理稱為最小勢能原理。02位移變分方程03微分、積分、變分運(yùn)算可交換次序?qū)?yīng)變能視為應(yīng)變的變分（相當(dāng)于求多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)）：

(10-10)

按照幾何方程，寫出應(yīng)變分量的變分為式(10-10)的右邊共有9項，現(xiàn)在來對每一項進(jìn)行分部積分，以第一項為例，有式(10-10)右邊的9項都做分部積分后，共得18項

(10-11)02位移變分方程03將式(10-11)代入(10-7),并使用高斯積分定理，有(10-11)(10-7)代入高斯積分定理:若P、Q、R為三個函數(shù)，它們的體積積分與面積分滿足關(guān)系：當(dāng)面力已知位移變分法03Displacementvariationmethod設(shè)某彈性力學(xué)問題的位移分量具有如下表達(dá)形式：位移分量的變分可以寫為代入位移變分方程:應(yīng)變能的變分為把

視為“公因式”合并歸項后，有因系數(shù)不全為0由于

之間相互獨(dú)立，因此上述求導(dǎo)運(yùn)算后，各式只含有對應(yīng)系數(shù)的一次項，可以求得全部系數(shù)。這一方法被稱為里茨法。位移變分方程:設(shè)下述位移滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件其變分形式為代入伽遼金變分方程因系數(shù)不全為0考慮物理方程、幾何方程，得到用位移分量表示各式也只含有對應(yīng)系數(shù)的一次項，可以求得全部系數(shù)。這一方法被稱為伽遼金法。平面問題的位移變分法04Displacementvariationmethodforplaneprobelems02平面問題的位移變分方程01位移表示的應(yīng)變能方程（10-4）平面應(yīng)變問題，w=0設(shè)出位移表達(dá)式代入里茨法伽遼金法02例題102設(shè)有寬度為a而高度b為的薄板，左邊及下邊受連桿支承，右邊及上邊分別受有均布壓力

及

，不計體力，試求薄板的位移?解：設(shè)位移分量為滿足邊界條件

，

。應(yīng)力邊界條件未知采用