江蘇省蘇州市常熟市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）

江蘇省蘇州市常熟市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．a(chǎn)，b是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)=b C．a(chǎn)2≠b2．若復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量a，b滿足|a|=2，|b|=1，a?(A．π6 B．π3 C．2π34．如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，則DE=A．?16ABC．12AC?5．一正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為（）A．6π B．12π C．86π6．已知0<α<π2，0<β<π2，且sin(α?β)=?A．6365 B．5665 C．33657．某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測量活動(dòng)，如圖是要測山高M(jìn)N，現(xiàn)選擇點(diǎn)A和另一座山的山頂（點(diǎn)）C作為測量觀測點(diǎn)，從A測得點(diǎn)M的仰角∠MAN=45°，點(diǎn)C的仰角∠CAB=30°，測得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高BC=100米，則山高M(jìn)N等于（）A．1003 B．1002 C．200 8．在邊長為2的等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，M為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則MC?A．32 B．118 C．2 二、多選題9．圓柱的側(cè)面展開圖是長6cm，寬4cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（）A．24πcm3 B．24πcm310．已知復(fù)數(shù)z1，z2，z1A．若z12+z22=0，則zC．若z1?z2是實(shí)數(shù)，則z211．下列計(jì)算正確的是（）A．sinB．tanC．coD．co12．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸?y軸正方向同向的單位向量.若向量OP=a=xe1+yeA．a(chǎn)?b=?3C．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)+b三、填空題13．已知向量a=(?1，2)，b=(2，?1)14．已知△ABC的面積為33，AB=2，∠A=π315．學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD?A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=8cm，16．在代數(shù)發(fā)展史上，解一元多項(xiàng)式方程一直是人們研究的一個(gè)中心問題.數(shù)學(xué)有如下代數(shù)基本定理：任何一元n(n∈N*)次復(fù)系數(shù)方程f(x)=0至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根.進(jìn)而可得到：一元n項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.早在古巴比倫時(shí)期，人們就會解一元二次方程.16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家得到了一元三次方程?一元四次方程的解法，實(shí)系數(shù)一元二次方程a2x2+a1x+a0=0在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根x1，x2滿足x1+四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+z=8?4i，i為虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)z，z?1+6i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積.18．已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)不同向量，其中a=(1（1）若|c|=25，且a（2）若|b|=2，且|ka+b|=219．某港口海水的深度y(m)是時(shí)間t（時(shí)）（0≤t≤24）的函數(shù)，記為y=f(t).已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下：t（時(shí)）024681012141618202224y(m)9.512.51412.59.58.09.512.514.012.59.58.09.5經(jīng)長期觀察，y=f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)y=Asin（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f(t)=Asin（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5m或5m以上時(shí)認(rèn)為是安全的（船舶停靠時(shí)，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底離水面的距離）為7.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請問：它至多能在港內(nèi)停留多長時(shí)間（忽略進(jìn)出港所需時(shí)間）？20．在①csinB=b，②sinC=2sin在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=2，b=3，____.（1）求角C；（2）若M是AB邊上的一點(diǎn)，且AM=2MB，求CM的長.21．如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地AOB（圓心角為π3）和COD（圓心角為π2），BD為圓的直徑.現(xiàn)分別要設(shè)計(jì)出兩塊社區(qū)活動(dòng)區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域OEFG，一塊為平行四邊形區(qū)域MNPQ，已知圓的直徑PF=2百米，且點(diǎn)P在劣弧AB上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)Q在OA上?點(diǎn)G在OC上?點(diǎn)M和N在OB上?點(diǎn)E在OD上，記（1）經(jīng)設(shè)計(jì)，當(dāng)OE?12MN達(dá)到最大值時(shí)，取得最佳觀賞效果，求θ（2）設(shè)矩形OEFG和平行四邊形MNPQ面積和為S，求S的最大值及此時(shí)cos2θ22．若已知向量a=(cosx，sinx)（1）若α∈(π3，5π6（2）若函數(shù)g(x)=12[f(x?

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】A．a(chǎn)，B．a(chǎn)?C．a(chǎn)2=aD．由C知|a故答案為：D.

【分析】由相等向量的概念：大小相等，方向相同的兩向量為相等向量，即可判斷A；由向量的數(shù)量積的定義，即可判斷B；由向量的平方即為模的平方，以及單位向量的概念，即可判斷C，D.2．【答案】B【解析】【解答】由題意，復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2i，可得z=2i可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(?1，1)位于第二象限.故答案為：B.

【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閨a|=2，|b所以a?(a?設(shè)向量a與b的夾角為θ，則cosθ=因?yàn)棣取蔥0，π]，所以故答案為：C

【分析】先求出a，b的數(shù)量積，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得答案.4．【答案】B【解析】【解答】由已知可得DB=23所以DE=故答案為：B．

【分析】由已知可得DB=235．【答案】D【解析】【解答】設(shè)正四棱柱的外接球半徑為R因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L為2，高為4，所以(2R)2=2所以該正四棱柱的外接球的表面積為4πR故答案為：D

【分析】由于正四棱柱的體對角線就是其外接球的直徑，求出體對角線，從而可求得球的半徑，進(jìn)而可求出外接球表面積.6．【答案】C【解析】【解答】由0<α<π2，0<β<π2可得：?sin故答案為：C

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得cos(a-β)和cosβ的值，再利用兩角和的正弦公式求出sina=sin[(a-β)+β]的值.7．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，所以可得AC＝BCsin∠BAC＝在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：ACsin∠AMC＝AMsin∠ACM，即2002在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM?sin∠MAN＝1006×22＝1003故答案為：A．

【分析】由題意及三角形的正、余弦定理，可求出各個(gè)三角形的邊長，進(jìn)而求出山高M(jìn)N的值.8．【答案】D【解析】【解答】如圖：以{AB，設(shè)AM∵M(jìn)C∴MC?MD=(AC故答案為：D．

【分析】以{AB，AC}為基底向量，利用向量的線性運(yùn)算可得MC→9．【答案】A,C【解析】【解答】因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是長6cm，寬4cm的矩形，所以當(dāng)圓柱的高為4cm，則底面周長為6cm，設(shè)底面半徑為r，則2πr=6，得r=3所以此時(shí)圓柱的體積為πr當(dāng)圓柱的高為6cm，則底面周長為4cm，設(shè)底面半徑為r，則2πr=4，得r=2所以此時(shí)圓柱的體積為πr綜上，圓柱的體積可能為24πcm故答案為：AC

【分析】分圓柱的底面周長為6cm和圓柱的底面周長為4cm，分別求出底面半徑和高，由體積公式求解即可得答案.10．【答案】B,D【解析】【解答】對于A，若z1=i，z2對于B，因?yàn)閨z1|≥0，|z2|≥0，對于C，若z1=2i，z2對于D，設(shè)z1=x+yi=(所以|z因?yàn)閨z所以|z故答案為：BD

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】sin72°tan22coscos故答案為：ACD

【分析】利用兩角差的正弦公式可判斷A；利用正切的二倍角公式可判斷B；利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和余弦的二倍角公式可判斷C；利用正弦的二倍角公式結(jié)合同角三角基本關(guān)系式可判斷D.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】a?b=(2cos?4+10×12+674?24×故答案為：BCD

【分析】利用新定義的坐標(biāo)概念結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的公式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.13．【答案】4【解析】【解答】因?yàn)閍=(?1，2)所以λa因?yàn)閍⊥(λ所以a?(λa+故答案為：4

【分析】利用向量垂直的性質(zhì)列出方程，求解可得答案.14．【答案】2【解析】【解答】因?yàn)椤鰽BC的面積為33，AB=2，∠A=由三角形面積公式S=1∴b=6，又a2∴a=27，即BC=2故答案為：27

【分析】由已知利用三角形的面積公式可求出b，再利用余弦定理可求出a，即得邊BC長.15．【答案】209【解析】【解答】由題意得，SEFGH四棱錐O?EFG的高4cm，∴VO?EFGH又長方體ABCD?A1B所以該模型體積為V=V其質(zhì)量為0.故答案為：209

【分析】由V=V16．【答案】-2；1±【解析】【解答】x3?x+6=0即(x+2)(x2?2x+3)=0，解得實(shí)數(shù)根x1=?2，又故答案為：?2；1±

【分析】因式分解求解實(shí)數(shù)根和虛數(shù)根即可得答案.17．【答案】（1）解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)，由題意得a2+b所以z=3?4i.（2）解：由（1）可得z?1+6i=2+2i，所點(diǎn)A(3，?4)，B(2，2)，cos因?yàn)椤螦OB∈(0，π)，所以所以S【解析】【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)，把z代入已知等式，利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a與b的值，可求出復(fù)數(shù)z；

(2)由（1）可得z?1+6i=2+2i，OA→，OB→的坐標(biāo)，利用向量夾角公式可求出cos∠AOB18．【答案】（1）解：因?yàn)閍=(1，2)，且a所以|c解得λ=±2，所以c=(2，4)（2）解：由|ka+b所以k2因?yàn)閨a|=5，|因?yàn)閗>0，所以a?當(dāng)且僅當(dāng)k2=1所以(a設(shè)a與b夾角為θ，則此時(shí)cosθ=【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)c=λa=(λ，2λ)，然后根據(jù)|c→|=25，可求出λ的值，進(jìn)而可得出c的坐標(biāo)；

（2）由|ka+19．【答案】（1）解：由題設(shè)的數(shù)據(jù)可得A+b=14?A+b=8，故A=3，b=11周期T=12，故ω=π6，故因?yàn)閠=4時(shí)y=14，所以3sin(2π因?yàn)閨φ|<π2，所以y=3sin（2）解：令y≥7.5+5=12.5，則所以π6+2kπ≤π6t?因?yàn)閠∈[0，24]，所以故2≤t≤6或故船舶至多能在港內(nèi)停留16小時(shí).【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷出周期以及最值，即可代入求解出函數(shù)y=f(t)=Asin(ωt+φ)+b的表達(dá)式；20．【答案】（1）解：若選①，由正弦定理，可得sinC因?yàn)锽∈(0，π2)，所以因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以C無解，不符合題意.若選②，由正弦定理，可得c=2a.因?yàn)閍=2，b=3，所以c=4.所以cosC=因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以C無解，不符合題意.若選③，由正弦定理，可得sinA=又sinA=sin因?yàn)锽∈(0，π2)，所以因?yàn)镃∈(0，π2（2）解：（法一）因?yàn)锳M=2MB，所以CM=所以CM=1所以CM=37（法二）在△ABC中，c2所以c=7所以cosA=b2+c2?所以CM所以CM=37【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定邊角互化，即可從三個(gè)條件中選擇符合的，求出角C；

（2）根據(jù)向量的線性表示，進(jìn)而求得CM的長.21．【答案】（1）解：在矩形OEFG中，∠EOF=∠BOP=θ，OF=1，所以O(shè)E=cos因?yàn)镸N∥PQ，∠AOB=π3，所以在△OQP中，OP=1，∠QOP=πOPsin∠OQP=得PQ=2所以O(shè)E?因?yàn)棣取?0，π3)，所以θ+π3∈（2）解：設(shè)平行四邊形MNPQ邊MN上的高為h，所以有h=sin所以平行四邊形MNPQ的面積為23在矩形OEFG中，EF=sinθ，所以矩形OEFG的面積為所以S==2==39其中sinφ=339，cosφ=639，當(dāng)2θ+φ=π2，θ=π4?此時(shí)cos2θ=【解析】【分析】（1）由題意得OE=cosθ，PQ=233sin(π3?θ)，代入OE?12MN，得關(guān)于θ的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成OE?22．【答案】（1）解：由題意，f(x)==cos所