江蘇專用2025版高考數(shù)學大一輪復習第二章函數(shù)2.10函數(shù)模型及其應(yīng)用教案含解析

PAGEPAGE1§2.10函數(shù)模型及其應(yīng)用考情考向分析考查依據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解決問題的實力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，題型以解答題為主，中高檔難度．1．幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的改變隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值改變而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax

概念方法微思索請用框圖概括表示解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟．提示解函數(shù)應(yīng)用題的步驟題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利．(×)(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(3)不存在x0，使<xeq\o\al(n,0)<logax0.(×)(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比方．(×)題組二教材改編2．[P104習題T1]某縣目前人口100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人，若人口年增長率是1.2%，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是________．答案y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)解析本題屬于簡潔的指數(shù)模型的應(yīng)用問題，依題意有y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．3．[P99例3]生產(chǎn)肯定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價為20萬元，為獲得更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．答案18解析利潤L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當x＝18時，L(x)有最大值．4．[P77例8]某大型民企為激勵創(chuàng)新，安排逐年加大研發(fā)資金投入．若該民企2024年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元的年份是______________年．(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)答案2024解析設(shè)從2024年起，過了n(n∈N*)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元，則130×(1＋12%)n≥200，則n≥eq\f(lg\f(20,13),lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，由題意取n＝4，則n＋2024＝2024.題組三易錯自糾5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，其次年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為____________．答案eq\r(p＋1q＋1)－1解析設(shè)年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.6．已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到________只．答案200解析由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．當x＝8時，y＝100log39＝200.題型一已知函數(shù)模型的實際問題例1(1)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿意函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次試驗的數(shù)據(jù)．依據(jù)上述函數(shù)模型和試驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為________分鐘．答案3.75解析依據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))消去c化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝0.1，,9a＋b＝－0.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16)，所以當t＝eq\f(15,4)＝3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘．(2)某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)________元．答案23000解析設(shè)毛利潤為L(p)元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．當p∈(0,30)時，L′(p)>0，當p∈(30，＋∞)時，L′(p)<0，故L(p)在p＝30時取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)＝23000.思維升華求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)依據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實際問題．跟蹤訓練1(1)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為______元．答案4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤L(Q)的最大值是________萬元．答案2500解析L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500.則當Q＝300時，L(Q)的最大值為2500萬元．題型二構(gòu)建函數(shù)模型的實際問題命題點1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型例2某航空公司規(guī)定，乘飛機所攜帶行李的質(zhì)量x(kg)與其運費y(元)之間的關(guān)系由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費攜帶行李的質(zhì)量最大為______kg.答案19解析由圖象可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.命題點2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例3一片森林原來面積為a，安排每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為愛護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．引申探究若本例的條件不變，試計算：今后最多還能砍伐多少年？解設(shè)從今年起先，以后砍了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．命題點3構(gòu)造y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)型函數(shù)例4(1)某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y(萬元)與營運年數(shù)x的關(guān)系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營運年平均利潤最大，每輛客車營運年數(shù)為________．答案5解析依據(jù)圖象求得y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利潤eq\f(y,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，∵x＋eq\f(25,x)≥10，當且僅當x＝5時等號成立．∴要使平均利潤最大，客車營運年數(shù)為5.(2)某地區(qū)要建立一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅實性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x＝________米．答案2eq\r(3)解析由題意可得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)(2≤x<6)，∴y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≥2eq\r(\f(18,x)×\f(3x,2))＝6eq\r(3).當且僅當eq\f(18,x)＝eq\f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq\r(3)時等號成立．命題點4構(gòu)造分段函數(shù)模型例5已知某公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少萬只時，該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤．解(1)當0<x≤40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，當x>40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360.所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x>40.))(2)①當0<x≤40時，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；②當x>40時，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)×16x)＝1600，當且僅當eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時，取等號，所以W取最大值5760.綜合①②，當年產(chǎn)量x＝32萬只時，W取最大值6104萬美元．思維升華構(gòu)建數(shù)學模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，建立適當?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽視實際問題對變量的限制．跟蹤訓練2(1)某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量削減eq\f(1,3)，至少應(yīng)過濾__________次才能達到市場要求．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)答案8解析設(shè)至少過濾n次才能達到市場要求，則2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))n≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.(2)高校畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預算，該門面須要裝修費為20000元，每天須要房租、水電等費用100元，受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R(元)與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則當總利潤最大時，該門面經(jīng)營的天數(shù)是________．答案300解析由題意，總利潤y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－100x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))當0≤x≤400時，y＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，所以當x＝300時，ymax＝25000；當x>400時，y＝60000－100x<20000.綜上，當門面經(jīng)營的天數(shù)為300時，總利潤最大為25000元．用數(shù)學模型求解實際問題數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學探討對象的思維過程，主要包括從數(shù)量，圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念，并且用數(shù)學符號和術(shù)語予以表征．例(1)調(diào)查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要緣由，交通法規(guī)規(guī)定，駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量將上升到3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時50%的速度削減，則至少經(jīng)過________小時他才可以駕駛機動車．(精確到小時)答案4解析設(shè)n小時后他才可以駕駛機動車，由題意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少經(jīng)過4小時他才可以駕駛機動車．(2)已知某房地產(chǎn)公司安排出租70套相同的公寓房．當每套房月租金定為3000元時，這70套公寓房能全部租出去；當月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會多一套房子不能出租．設(shè)已出租的每套房子每月須要公司花費100元的日常修理等費用(設(shè)沒有出租的房子不須要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應(yīng)定為________元．答案3300解析設(shè)利潤為y元，租金定為3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2，當且僅當58＋x＝70－x，即x＝6時，等號成立，故每月租金定為3000＋300＝3300(元)時，公司獲得最大利潤．素養(yǎng)提升例題中通過用字母表示變量，將酒后駕車時間抽象為不等式問題，將租房最大利潤抽象為函數(shù)的最值問題．1．用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為________．答案3解析設(shè)隔墻的長度為x(0<x<6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當x＝3時，y最大．2．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的狀況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2024年5月1日12350002024年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠起先累計行駛的路程．在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為______升．答案8解析5月1日到5月15日，汽車行駛了35600－35000＝600(千米)，實際耗油48升，所以該車每100千米平均耗油量為eq\f(48,6)＝8(升)．3．將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就要削減20個，為了賺得最大利潤，每個售價應(yīng)定為________元．答案95解析設(shè)每個售價定為x元，則利潤y＝(x－80)[400－(x－90)·20]＝－20·[(x－95)2－225]，∴當x＝95時，y最大．4．國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是________萬元．答案320解析設(shè)該公司的年收入為x萬元(x>280)，則有eq\f(280×p%＋x－280p＋2%,x)＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故該公司的年收入為320萬元．5．某單位為激勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10m3的，按每立方米m元收費；用水超過10m3的，超過部分加倍收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為________m3.答案13解析設(shè)該職工用水xm3時，繳納的水費為y元，由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0<x≤10，,10m＋x－10·2m，x>10，))則10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.6．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與貯存溫度x(單位：℃)滿意函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是________小時．答案24解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))∴e22k＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4)，∴e11k＝eq\f(1,2)，∴x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3·192＝eq\f(1,8)×192＝24(小時)．7.某人依據(jù)閱歷繪制了2024年春節(jié)前后，從12月21日至1月7日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)改變的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿______千克．答案eq\f(190,9)解析前10天滿意一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b(k≠0)，將點(1,10)和點(10,30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當x＝6時，y＝eq\f(190,9).8.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m.答案20解析設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為ym，則由相像三角形性質(zhì)可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0<x<40)，所以當x＝20時，Smax＝400.9．“好酒也怕巷子深”，很多聞名品牌是通過廣告宣揚進入消費者視線的．已知某品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿意關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費應(yīng)為________．(用常數(shù)a表示)答案eq\f(1,4)a2解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2，∴當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．10．某市用37輛汽車往災區(qū)運輸一批救災物資，假設(shè)以vkm/h的速度直達災區(qū)，已知某市到災區(qū)馬路途長400km，為了平安起見，兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2km，那么這批物資全部到達災區(qū)的最少時間是______h．(車身長度不計)答案12解析設(shè)全部物資到達災區(qū)所需時間為th，由題意可知，t相當于最終一輛車行駛了eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400))km所用的時間，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400,v)≥12，當且僅當eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)時取“＝”．故這些汽車以eq\f(200,3)km/h的速度勻速行駛時，所需時間最少，最少時間為12h.11．漁場中鮮魚的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量不能達到最大，必需留出適當?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量y噸和實際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)(空閑率：空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求其定義域；(2)求魚群年增長量的最大值；(3)當魚群的年增長量達到最大時，求k的取值范圍．解(1)y＝kx·eq\f(m－x,m)＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0≤x<m)．(2)y＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4)，當x＝eq\f(m,2)時，y取到最大值eq\f(km,4)，即魚群年增長量的最大值為eq\f(km,4).(3)依題意0≤x＋y<m，則有0≤eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2≤k<2，但k>0，所以0<k<2.12．某書商為提高某套叢書的銷售量，打算舉辦一場展銷會．據(jù)市場調(diào)查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．現(xiàn)出版社為協(xié)作該書商的活動，確定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤＝售價－供貨價格，問：(1)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？解(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，此時每套供貨價格為30＋eq\f(10,5)＝32(元)，書商所獲得的總利潤為5×(100－32)＝340(萬元)．(2)每套叢書售價定為x元時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15－0.1x>0，,x>0，))解得0<x<150.依題意，單套叢書利潤P＝x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30＋\f(10,15－0.1x)))＝x－eq\f(100,150－x)－30，所以P＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(150－x＋\f(100,150－x)))＋120.因為0<x<150，所以150－x>0，則(150－x)＋eq\f(100,150－x)≥2eq\r(150－x·\f(100,150－x))＝2×10＝20，當且僅當150－x＝eq\f(100,150－x)，即x＝140時等號成立，此時，Pmax＝－20＋120＝100.所以每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元．13．一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元．當速度為10海里/時時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，當這艘輪船的速度為________海里/時時，總費用最?。鸢?0解析設(shè)每小時的總費用為y元，則y＝kv2＋96，又當v＝10時，k×102＝6，解得k＝0.06，所以每小時的總費用y＝0.06v2＋96，勻速行駛10海里所用的時間為eq\f(10,v)小時，故總費用為W＝eq\f(10,v)y＝eq\f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(0.6v×\f(960,v))＝48，當且僅當0.6v＝eq\f(96