導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)第六章63632平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助平面直角坐標(biāo)系,理解平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.2.掌握兩個向量加減運算的坐標(biāo)表示.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)運算一、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.正交分解:把一個向量分解為兩個互相垂直的向量.2.基底:設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.3.向量的坐標(biāo):向量a=xi+yj,有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).4.特殊向量:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).二、平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示1.兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則有項目符號表示加法a+b=(x1+x2,y1+y2)減法ab=(x1x2,y1y2)2.一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).例如,已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2x1,y2y1).【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)如果a=xi+yj,那么向量a的坐標(biāo)為(x,y),即a=(x,y).(×)提示:i,j不一定是與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量.(2)向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)一致.(×)提示:向量的起點為原點時,向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)一致;否則不一致.(3)平面上一個向量對應(yīng)平面上唯一的坐標(biāo).(√)(4)設(shè)i=(1,0),j=(0,1),向量a=2i3j,則向量a的坐標(biāo)為(2,3).(√)類型一平面向量的坐標(biāo)表示(直觀想象)【典例1】(1)(教材提升·例3)如圖所示,e1,e2為單位正交基底,則向量a,A.(3,4),(2,2) B.(2,3),(2,3)C.(2,3),(2,2) D.(3,4),(2,3)【解析】選C.根據(jù)平面直角坐標(biāo)系,可知a=2e1+3e2,b=2e12e2,所以a=(2,3),b=(2,2).(2)在直角坐標(biāo)系xOy中,向量a,b,c的方向如圖所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分別計算出它們的坐標(biāo).【解析】設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),則a1=|a|cos45°=2×22=2,a2=|a|sin45°=2×22=b1=|b|cos120°=3×(12)=3b2=|b|sin120°=3×32=3c1=|c|cos(30°)=4×32=23c2=|c|sin(30°)=4×(12)=因此a=(2,2),b=(32,332),c=(23【總結(jié)升華】求向量坐標(biāo)的方法(1)定義法:根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義得a=xi+yj=(x,y),其中i,j分別為與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量.(2)平移法:把向量的起點移至坐標(biāo)原點,終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(3)求差法:先求出這個向量的起點、終點坐標(biāo),再用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).提醒:向量a=(x,y)中間用等號連接,而點的坐標(biāo)A(x,y)中間沒有等號.【即學(xué)即練】1.已知O為坐標(biāo)原點,點A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,則向量的坐標(biāo)為________.

【解析】由∠xOA=120°可得∠yOA=30°,由于||=2,所以A(1,3),故=(1,3).答案:(1,3)2.如果將=(32,12),繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到,則的坐標(biāo)是()A.(12,32) B.(32,12) C.(1,3) D.(【解析】選D.向量與x軸正向夾角的正切值tanα=33,則α=30°.繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到,OB與x軸正向夾角為120°+30°=150°,可見OB與OA相對y軸對稱.因此B點的坐標(biāo)為(32,12).類型二平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示(數(shù)學(xué)運算)【典例2】(1)設(shè)i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=i+j,則a+b與ab的坐標(biāo)分別為__________,__________.

【解析】因為i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=i+j,所以a=3i+4j=(3,4),b=i+j=(1,1),所以a+b=(2,5),ab=(4,3).答案:(2,5)(4,3)(2)已知2024個向量的和為零向量,且其中一個向量的坐標(biāo)為(8,15),則其余2023個向量的和的坐標(biāo)為__________.

【解析】設(shè)其余2023個向量的和的坐標(biāo)為(x,y),則(x,y)+(8,15)=(0,0),解得(x,y)=(8,15),所以其余2023個向量的和的坐標(biāo)為(8,15).答案:(8,15)【總結(jié)升華】平面向量坐標(biāo)運算的技巧(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個向量和、差的運算法則進(jìn)行運算.(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算.【即學(xué)即練】1.已知=(2,1),=(4,1),求的坐標(biāo).【解析】==(4,1)(2,1)=(6,2).2.在?ABCD中,AC為一條對角線.若=(2,4),=(1,3),求的坐標(biāo).【解析】因為=(1,3),=(2,4),所以===(1,1),所以==(3,5).類型三平面向量坐標(biāo)運算的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)角度1求參數(shù)的值(范圍)【典例3】已知點A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R),C(4,5).若=+,試求λ為何值時,(1)點P在第一、三象限角平分線上;(2)點P在第一象限內(nèi).【解析】(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則=(x,y)(λ,3)=(xλ,y3),又因為=(5,2λ)(λ,3)=(5λ,2λ3),=(4,5)(λ,3)=(4λ,2),所以=+=(5λ,2λ3)+(4λ,2)=(92λ,2λ1),所以x-λ若P在第一、三象限角平分線上,則9λ=2λ+2,解得λ=73(2)由(1)知,x若P在第一象限內(nèi),則9所以1<λ<9.【總結(jié)升華】向量坐標(biāo)運算中求參數(shù)值(范圍)的步驟(1)表示出向量或者點的坐標(biāo);(2)利用點或者坐標(biāo)的性質(zhì)構(gòu)造方程或者不等式.【即學(xué)即練】(2023·蘇州高一檢測)已知向量=(m,5),=(4,n),=(7,6),則m+n的值為()A.6 B.8 C.10 D.12【解析】選B.因為=(m,5),=(4,n),則=(7,6)==(4m,n5),所以4-m=7n-5=6,即m=3,n角度2求點的坐標(biāo)【典例4】(易錯·對對碰)(1)已知?ABCD的三個頂點A,B,C的坐標(biāo)分別為A(3,7),B(4,6),C(1,2),求頂點D的坐標(biāo).(2)已知一個平行四邊形的三個頂點坐標(biāo)為A(3,7),B(4,6),C(1,2),求此平行四邊形頂點D的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),因為=,所以(4,6)(3,7)=(1,2)(x,y),所以1-x所以頂點D的坐標(biāo)為(0,1).(2)設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)平行四邊形為ABCD時,=,所以(4,6)(3,7)=(1,2)(x,y),所以1-x所以D(0,1).當(dāng)平行四邊形為ABDC時,同理可得D(2,3).當(dāng)平行四邊形為ADBC時,同理可得D(6,15).綜上可得點D可能為(0,1)或(2,3)或(6,15).【總結(jié)升華】向量坐標(biāo)運算中求點的坐標(biāo)的方法(1)設(shè)點的坐標(biāo),結(jié)合幾何圖形的特征,利用向量相等構(gòu)造方程求解;(2)利用向量運算,將所求向量用已知向量表示,通過坐標(biāo)運算求出向量的坐標(biāo),進(jìn)而求出點的坐標(biāo).【即學(xué)即練】已知邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.求點B,點D,,及點C的坐標(biāo).【解析】由題意,點A在原點,AB與x軸正半軸成30°角,可得∠BAx=30°,∠DAx=90°+30°=120°.設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2).則x1=||cos30°=1×32=32y1=||sin30°=1×12=12,所以B(32,1同理可得x2=||cos120°=1×(12)=12,y2=||sin120°=1×32=3所以D(12,32所以=(32,12),=(12,32由于==(32,12),所以C(3-12,【補償訓(xùn)練】已知點A(2