湖北省襄陽市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題

襄陽四中級高一年級2月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ˋ.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0，然后解三角不等式可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：D.2.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（）A.2B.16C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程組，求得m的值，即得函數(shù)解析式，代入求值可得答案.【詳解】由題意得，解得，所以，故,故選：D3.已知且，若，則（）第1頁/共19頁A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】先根據(jù)指數(shù)式對數(shù)式互化求出，再根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化，再根據(jù)求解即可.【詳解】由，得，即，所以，所以.故選:C.4.的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】有三角函數(shù)的定義得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可.【詳解】將角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以，所以，故選：B.5.要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)y＝cosx的圖象（）第2頁/共19頁A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)縮短為原來倍，縱坐標(biāo)不變．B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變．C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變．D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變．【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換,得到由y＝cosx變換為的方式.【詳解】解:要得到函數(shù)的圖象,只需要將函數(shù)y＝cosx的圖象向左平移個(gè)單位,得到y(tǒng)＝cos(x),再把橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變即可.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換,屬基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第3頁/共19頁【分析】根據(jù)圖象結(jié)合五點(diǎn)法可得，即可得函數(shù)解析式.【詳解】設(shè)的最小正周期為，由圖可知，，即，且，所以，此時(shí)，將代入得，即，且，則，可得，解得，所以.故選：D.7.若定義域均為的函數(shù)，滿足：，且，使得，則稱與互為“親近函數(shù)”已知與互為“親近函數(shù)”，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性知是的唯一零點(diǎn)，根據(jù)“親近函數(shù)”的定義可知在內(nèi)存在零點(diǎn)，利用換元法，分離參數(shù)后結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】在上為增函數(shù)，且，故是的唯一零點(diǎn)，要使和互為“親近函數(shù)”，則存在，使得，即在內(nèi)存在零點(diǎn)，所以方程有解，令，則，第4頁/共19頁故，易知不是此方程的解當(dāng)時(shí)，有，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于弄清“親近函數(shù)”的定義，求得的唯一零點(diǎn)，從而可得在內(nèi)存在零點(diǎn)，結(jié)合換元法求解即可.8.已知函數(shù)恰有兩個(gè)對稱中心在區(qū)間上，且，則的所有可能取值之和是（）A.6B.C.D.16【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對稱中心個(gè)數(shù)分類求出的值.【詳解】函數(shù)，其最小正周期，由函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)對稱中心，得，即，解得，又，則當(dāng)是函數(shù)圖象對稱軸時(shí)，，解得，此時(shí)或，或；當(dāng)與為周期長的區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，解得，符合題意，所以的所有可能取值之和是.故選：D求出是關(guān)鍵.二、多選題9.下列說法正確的是（）第5頁/共19頁A.若函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]B.若函數(shù)過定點(diǎn)，則函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)C.冪函數(shù)在是增函數(shù)D.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域判斷A；根據(jù)函數(shù)圖像平移判斷BD；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A，若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)圖像，由于過定點(diǎn)，故函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，B正確；對于C，冪函數(shù)在是減函數(shù)，由于，定義域?yàn)?，，在C正確；對于D，，其圖像由向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，D正確.故選：BCD10.已知角滿足，則（）A.0B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件可得，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再化簡計(jì)算第6頁/共19頁即可得答案【詳解】由，得，所以，則，化簡整理得，所以，或，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：ACD已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.的周期為B.C.的所有零點(diǎn)之和為D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意由的奇偶性和對稱性分析的周期判斷A；結(jié)合已知結(jié)合對稱性得，，，，進(jìn)而利用周期性求和判斷B；的零點(diǎn)可看作與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出與的圖象，根據(jù)中心對稱即可判斷C；結(jié)第7頁/共19頁合與的函數(shù)值的符號(hào)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)和周期性判斷D.【詳解】由為偶函數(shù)，得，即，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由為奇函數(shù)，得，即，則，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，因此函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，A錯(cuò)誤；由當(dāng)時(shí)，，得，而，，，因此，B正確；的零點(diǎn)可看作與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出與的圖象，觀察圖形知，直線與的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且它們關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以所有零點(diǎn)之和為，C正確；當(dāng)時(shí)，，，與均為奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，，又與的周期都為，所以，D正確．故選：BCD第8頁/共19頁【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1關(guān)于直線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，反之也成立；（2的周期為.三、填空題12.函數(shù)的對稱中心為________.【答案】【解析】【分析】利用正切函數(shù)的對稱中心求解.【詳解】令，解得，所以的對稱中心為，故答案為：13.若函數(shù)，則的解集為____________【答案】【解析】【分析】做出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，把，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由題意，做出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，第9頁/共19頁又由，可得，解得，即的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，其中解答中當(dāng)題設(shè)條件中出現(xiàn)“”考查了推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想.14.已知實(shí)數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】將原恒成立問題轉(zhuǎn)化為求，利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求得最值，然后對分類討論去絕對值求其最值即可.【詳解】當(dāng)對對任意，不等式恒成立時(shí)，又，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，第10頁/共19頁故所以，即，要取最大值，則必有，兩邊平方整理得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上所述：的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求出，另外遇到絕對值可以分類討論去絕對值處理.四、解答題15.已知角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)．第11頁/共19頁（1）求；（2）求的值；（3）若角是三角形內(nèi)角，且，求的值．【答案】（1）；（2）（3）或1【解析】1）根據(jù)角終邊過點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義求解；（2）由（1）得到，根據(jù)，利用商數(shù)關(guān)系求解；（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用兩角差正弦公式求解.【小問1詳解】解：因?yàn)榻墙K邊過點(diǎn)，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，所以；【小問2詳解】由（1）知：，所以，第12頁/共19頁；【小問3詳解】因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，且，所以，由（1）知：，所以，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.16.已知函數(shù).（1）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】1）易得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由得到，根據(jù)，得到，則由求解.第13頁/共19頁【小問1詳解】，，令，，則，，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，；【小問2詳解】對任意，都有可得，所以，又，所以，要滿足對任意，都有，則有，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）在x[﹣1，1]上的值域；（2）若函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）2）.【解析】【分析】（12）轉(zhuǎn)第14頁/共19頁化為，再通過換元轉(zhuǎn)化為有正根，分，和三種情況討論，求的取值范圍.1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，設(shè)t＝2x，則，∴，；（2），即令，所以（*）有正根，設(shè)（*）的兩根為t，t2當(dāng)a＜0時(shí)，即可，即1+8a≥0，解得；當(dāng)a＝0時(shí)，t＝1符合；當(dāng)a＞0時(shí)，，顯然符合題意，故實(shí)數(shù)a的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的二次函數(shù)，一般都需通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)分析問題，需注意換元時(shí)，中間變量的取值范圍.18.筒車發(fā)明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一種古老的提水設(shè)備，距今已有1000多年的歷史，它以水流作動(dòng)力，取水灌田.如圖，為了打造傳統(tǒng)農(nóng)耕文化，某景區(qū)的景觀筒車直徑12米，有24個(gè)盛水筒均勻分布，分別寓意一年12個(gè)月和24節(jié)氣，筒車轉(zhuǎn)一周需48秒，其最高點(diǎn)到水面的距離為10米，每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置到水面的距離為7米.（1）盛水筒經(jīng)過秒后到水面距離為米，求筒車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2正上方距離水面8米處正中間設(shè)置一個(gè)寬4米的水平盛水槽，筒車受水流沖擊轉(zhuǎn)到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒轉(zhuǎn)一圈的過程中，有多長時(shí)間能把水倒入第15頁/共19頁盛水槽.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），（2）秒【解析】1）首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)表示；（2）由題意轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為三角不等式問題，即可求解.【小問1詳解】以簡車中心為原點(diǎn)，與水面平行的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題知，，又筒車半徑為6，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則，由題知，，解得，，故，；【小問2詳解】如圖，作弦平行且等于盛水槽，則在中，，，，則，則距離水面的高度，盛水筒轉(zhuǎn)到盛水槽的正上方（即第16頁/共19頁即當(dāng)時(shí)符合題意，則，即，解得，因?yàn)椋允⑺厕D(zhuǎn)一圈的過程中，能把水倒入盛水槽的時(shí)間為秒.19.已知函數(shù)內(nèi)的任意實(shí)數(shù)及給定的非零常數(shù)，恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級遞減類周期函數(shù)”，類周期為；若恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級類周期函數(shù)”，類周期為．（1）判斷函數(shù)是不是上的類周期為1的“2級遞減類周期函數(shù)”，并說明理由．（2是在上的“級類周期函數(shù)”在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，．求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，并求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）是否存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的類周期為的“級類周期函數(shù)”？給出結(jié)論并證明你的結(jié)論．【答案】（1）函數(shù)是上的類周期為1的2級遞減類周期函數(shù)，理由見解析（2），（3）存在，證明見解析【解析】1）利用P級遞減周期函數(shù)定義，計(jì)算驗(yàn)證作答.（2）根據(jù)給定條件，利用P級周期函數(shù)定義，依次計(jì)算時(shí)解析式，根據(jù)規(guī)律寫出結(jié)論作答.（3）假定存在符合題意的k值，利用P級周期函數(shù)定義列出方程，探討方程解的情況即可作答.【小問1詳解】依題意，函數(shù)的定義域是，第17頁/共19頁，即任意成立，所以函數(shù)是上的類周期為1的2級遞減類周期函數(shù)．【小問2詳解】因?yàn)槭窃谏系募夘愔芷诤瘮?shù)，類周期，所以，即，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則．并且有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，則有解得，所以當(dāng)時(shí)，，且．【