2024-2025學年試題數(shù)學專題突破練一

專題突破練一(時間:45分鐘分值:55分)1.(5分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=2,AD=3,∠BAD=90°.若P為線段AB上一動點,則·的最大值為()A.2 B.3 C.6 D.7【解析】選C.以A為原點,AB,AD所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(3,0),C(2,3),D(0,3),設(shè)P(x,0),其中0≤x≤3,則=(x2,3),=(x,3),所以·=x(x2)+3=x22x+3=(x1)2+2,當x=3時,·有最大值6.2.(5分)若單位向量e1,e2的夾角為120°,則當|e1λe2|(λ∈R)取得最小值時,λ的值為()A.2 B.1 C.12 D.【解析】選C.由題意知e1·e2=cos120°=12,因為|e1-λe2|2=λ2+λ+1,所以當λ=【補償訓練】設(shè)0≤θ<2π,已知兩個向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2cosθ),則向量的長度的最大值是()A.2 B.3 C.32 D.23【解析】選C.因為==(2+sinθcosθ,2cosθsinθ),所以||=(=10-因為0≤θ<2π,所以1≤cosθ≤1,所以2≤10-8cosθ當cosθ=1時,||有最大值32.3.(5分)(2024·合肥高一檢測)設(shè)θ為兩個非零向量a,b的夾角,已知對任意實數(shù)t,|a+tb|的最小值為1,則()A.若θ確定,則|a|唯一確定B.若θ確定,則|b|唯一確定C.若|a|確定,則θ唯一確定D.若|b|確定,則θ唯一確定【解析】選A.如圖,記=a,=b,=tb,則=a+tb,則當b⊥(a+tb)時,|a+tb|取得最小值1,若θ確定,則|a|唯一,|b|不確定,若|a|確定,θ可能有兩解(圖中=a或=a),若|b|確定,則a不確定,從而θ也不確定.4.(5分)已知平面向量a,b滿足|a|=2,a與ab的夾角為120°,記m=ta+(1t)b(t∈R),則|m|的取值范圍為()A.[3,+∞) B.[2,+∞)C.[1,+∞) D.12,+∞【解析】選A.設(shè)a=,b=,如圖所示:則ab==,因為a與ab的夾角為120°,所以∠OAB=120°,∠OAC=60°,因為m=ta+(1t)b(t∈R),且t+1t=1,m,a,b的起點相同,所以其終點共線,即在直線AB上,所以當m⊥時,|m|最小,最小值為3,無最大值,所以|m|的取值范圍為[3,+∞).5.(5分)(2023·長春高一檢測)如圖,扇形AOB中,點C是AB上一點,且∠AOB=3π4.若=x+y,則x+2y的最大值為()A.10 B.3 C.2 D.1【解析】選A.由題意,建立如圖所示的坐標系,設(shè)扇形半徑為2a,由∠AOB=3π4可得A(2a,2a),B(2a,0),設(shè)C(2acosθ,2asinθ),θ∈0,3π4,由=x+y,可得(2acosθ,2asinθ)=x(2a,2a)+y(2a,0),所以2a整理得:x=則x+2y=22sinθ+2cosθ=10sin(θ+φ),其中tanφ=12,所以當sin(θ+φx+2y有最大值10.6.(5分)(多選)在邊長為2的正方形ABCD中,P,Q在正方形(含邊)內(nèi),滿足=x+y,則下列結(jié)論正確的是()A.若點P在BD上,則x+y=1B.x+y的取值范圍為[1,2]C.若點P在BD上,則·=4D.若P,Q在線段BD上,且=2,則·的最小值為1【解析】選ACD.當點P在BD上時,因為=x+y,所以x+y=1,故A正確;因為P在邊長為2的正方形ABCD(含邊)內(nèi),且=x+y,所以x∈[0,1],y∈[0,1],則x+y∈[0,2],故B錯誤;當點P在BD上時,=x+y=x+(1x),=+,所以·=[x+(1x)]·(+)=x+(1x)=4,故C正確;若P,Q在線段BD上,且=2,如圖建立平面直角坐標系,設(shè)P(a,2a),則Q(a+2,22a),a∈[0,22],所以·=(a,2a)·(a+2,22a)=a(a+2)+(2a)(22a)=2a2(422)a+422=2a2-222所以當a=2-22時,·有最小值為1,故D正確7.(5分)已知正方形ABCD的邊長為1,若點E是AB邊上的中點,則·的值為__________,若點E是AB邊上的動點,則|·|的最大值為__________.

【解析】如圖分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立平面直角坐標系.則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),=(0,1),=(1,1),若點E是AB邊上的中點,則E12,0,所以=12,1,所以·=0×12+(1)×(1)=1;若點E是AB邊上的動點,設(shè)E(x,0)(0≤x≤1),所以=(x,1),所以|·|=|x1|,由0≤x≤1,可得0≤|·|≤1,所以當x=0時,|·|的最大值為1.答案:11【補償訓練】(2024·商丘高一檢測)如圖,菱形ABCD的邊長為6,=14,=34,則·的取值范圍為__________.

【解析】設(shè)∠BAD=θ,θ∈(0,π),則·=36cosθ,因為=14,=34,所以=+=+14=+14,=+=34+34=3434,所以·=+14·3434=34·34+316316·=34×36cosθ34×36+316×36=814cosθ81因為θ∈(0,π),所以cosθ∈(1,1),所以812<814cosθ所以·的取值范圍為812,0.答案:812,08.(5分)已知菱形ABCD的邊長為a(a>0),則||的取值范圍是__________.

【解析】如圖所示:易知=+,且||=||=a,<,>∈(0,π),所以||2=(+)2=a2+a2+2a2cos<,>,易知cos<,>∈(1,1),所以||2=a2+a2+2a2cos<,>∈(0,4a2),因此||∈(0,2a).答案:(0,2a)9.(5分)(2023·深圳高一檢測)圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤,已知圖二中正六邊形的邊長為2,圓O的圓心為正六邊形的中心,半徑為1,若點M在正六邊形的邊上運動,動點A,B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱,則·的取值范圍是__________.

【解析】連接AB,OM,如圖所示:·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)1=1.根據(jù)圖形可知,當點M位于正六邊形各邊的中點時,|MO|有最小值為3,此時1=2,當點M位于正六邊形的頂點時,|MO|有最大值為2,此時1=3,故2≤·≤3,即·的取值范圍是[2,3].答案:[2,3]10.(10分)(2024·泰安高一檢測)已知a,b,c為平面向量,|a|=2,|b|=3,|c|=1,(ac)·(bc)=5.(1)求a·b的取值范圍;(2)設(shè)a+b與ab的夾角為β,求cosβ的最小值.【解析】(1)因為(ac)·(bc)=5,所以a·bc·(a+b)+c2=5,因為|c|=1,所以a·bc·(a+b)=4,設(shè)c與a+b的夾角為θ,θ∈[0,π],由上式可得a·b|c|·|a+b|·cosθ=4.又|a+b|=(a+b)2所以cosθ=a·令m=a·b,a與b的夾角為α,α∈[0,π],所以m=a·b=|a|·|b