立體幾何-柱體中的動(dòng)點(diǎn)軌跡專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練解析版

立體幾何——柱體中的動(dòng)點(diǎn)軌跡專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練解析版一、目錄二、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（一）、正方體中的動(dòng)點(diǎn)軌跡專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（

）A．橢圓的一部分 B．線(xiàn)段C．圓的一部分 D．拋物線(xiàn)的一部分【答案】D【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)，，，，化簡(jiǎn)得，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為拋物線(xiàn)的一部分.故選：D.2．已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的底面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若是的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面，則（）A．所在的平面與正方體表面的交線(xiàn)為五邊形B．所在的平面與正方體表面的交線(xiàn)為六邊形C．長(zhǎng)度的最大值是2D．長(zhǎng)度的最小值是【答案】B【詳解】如圖，

因?yàn)闈M(mǎn)足平面，則所在的平面與正方體表面的交線(xiàn)，上下平面交線(xiàn)平行于，前后平面交線(xiàn)平行于，左右平面交線(xiàn)平行于，所以所在的平面與正方體表面的交線(xiàn)為如圖所示正六邊形，故A錯(cuò)誤，B正確；以所在的直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

其中，分別是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為因?yàn)闈M(mǎn)足平面，則在所以設(shè)線(xiàn)段上的點(diǎn)，點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故C，D錯(cuò)誤．故選：B．3．在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在正方形及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（

）A．拋物線(xiàn)的一部分B．橢圓的一部分 C．雙曲線(xiàn)的一部分 D．以上都不對(duì)【答案】B【詳解】如圖建系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則，可得，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分.故選：B.4．（多選）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），點(diǎn)平面，且與所成角是，則下列正確的選項(xiàng)有（

）A．B．點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)C．的最小值為4D．直線(xiàn)與平面所成角的最小值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，連接，在正方體中，，由且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，故，故A正確.對(duì)于B項(xiàng)，與所成角是，所以與所成角是，M在以為軸的圓錐的表面上，平面，平面截圓錐的圖形為雙曲線(xiàn)，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，把往上翻折到與平面共面，又因?yàn)?，即往上翻折成，即在四邊形中求，所以可得最小值為，故C不正確；對(duì)于D項(xiàng)，連接，再連接，在正方體，易得平面，所以即為直線(xiàn)與平面所成角，在中，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)最大，最大值為，直線(xiàn)與平面所成角的正切的最小值為，所以直線(xiàn)與平面所成角的最小值為，所以D正確.故選：ABD5．（多選）已知直棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為定值，則點(diǎn)軌跡為圓的一部分C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的體積為D．記點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，當(dāng)時(shí)，則的最小值為【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋渣c(diǎn)M在平面內(nèi)，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所?又因?yàn)橹崩庵?又因?yàn)槠矫?平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在體對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)處，故點(diǎn)M在與底面垂直且到底面距離為1，因?yàn)?所以的外接圓半徑為，設(shè)外接球半徑為，球心到平面的距離為h，則,即，兩式聯(lián)立得，故外接球體積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，則三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)M在線(xiàn)段上，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,,則，故,則,又得，,故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，，，，由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，設(shè)，由于是直線(xiàn)與平面內(nèi)所有直線(xiàn)中所成角的最小值，所以，，由，化簡(jiǎn)可得，且，易知點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)的一條線(xiàn)段；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)的一條線(xiàn)段；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)可得或，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)的兩條線(xiàn)段，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.6．（多選）棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為B．的最小值為C．三棱錐體積的最小值為D．當(dāng)三棱錐體積取最小值時(shí)，其外接球的表面積為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，所以，又易證，所以，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，所以為的軌跡，又，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，故A正確；對(duì)于B，又易得，所以為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于C，，其中為到的距離，所以最小時(shí)，最小，顯然在點(diǎn)處時(shí)，最小，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槭侵苯侨切危酝饨忧虻那蛐脑谶^(guò)中點(diǎn)且與平面垂直的直線(xiàn)上，設(shè)外接球的球心為，由，可得，所以，解得，解得，所以外接球的表面積為，故D正確》故選：ABD.7．（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，在棱上，且滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)（包括邊界）移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)（包括邊界）移動(dòng)，且，則（

）A．的最小值為B．動(dòng)點(diǎn)在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為C．動(dòng)點(diǎn)的軌跡與動(dòng)點(diǎn)的軌跡的交線(xiàn)是橢圓的一部分D．在正四面體的內(nèi)部有一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則此正四面體的棱長(zhǎng)可以是1.4【答案】BD【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，所以，解得，所以，又點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離相等，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，若?dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則，又，則，可得的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓弧，且在四邊形的圓弧是圓的，所以動(dòng)點(diǎn)在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為，故B正確；動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為軸，為頂點(diǎn)的圓錐在正方體內(nèi)的部分，底面半徑為，易得，又平面，平面，所以平面，又是圓錐的母線(xiàn)，所以平面與圓錐的交線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分，故C錯(cuò)誤；設(shè)正四面體的底面正三角形的中心為，由正四面體的性質(zhì)可得平面，由正弦定理可得，所以正四面體的高為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，設(shè)半徑是的球的內(nèi)接正四面體的邊長(zhǎng)為，則可將內(nèi)接正四面體補(bǔ)形成邊長(zhǎng)為的正方體，則，解得，在正四面體的內(nèi)部有一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則此正四面體的棱長(zhǎng)可以是1.4，故D正確．故選：BD.8．（多選）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則（

）A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面B．存在點(diǎn)，使得平面平面C．若，則所有滿(mǎn)足條件的動(dòng)線(xiàn)段形成的曲面的面積為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐外接球的體積為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，如圖1，取的中點(diǎn)，連接，易得，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以平面平面，故正確；對(duì)于B，如圖2，在正方體中，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，?dāng)為中點(diǎn)時(shí)，易得，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又，平面，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C，如圖3，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的劣弧，如圖4所示，設(shè)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡分別交于點(diǎn)，則，所以，則，所以所有滿(mǎn)足條件的動(dòng)線(xiàn)段形成的曲面的面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，易證平面，且過(guò)正外接圓的圖心，在正方體中，易得平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)，則為直角外接圓的圓心，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為三棱錐外接球的球心.易得平面，又平面，所以，因?yàn)椋栽谥?，，故三棱錐外接球的體積為，故D正確.故選：ABD.9．（多選）在棱為的正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在正方體表面上，為與的交點(diǎn)，則（

）A．四面體的體積為定值 B．存在點(diǎn)，使C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．四面體外接球的表面積為【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，易知，又面，面，所以面，又在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，所以到面的距離為定值，又的面積為定值，所以四面體的體積為定值，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，又正方體的邊長(zhǎng)為，則，設(shè)，則，又，所以不存在，使，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在過(guò)中點(diǎn)且與垂直的平面上，又點(diǎn)在正方體表面上，所以點(diǎn)的軌跡為正方形，如圖所示，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以外接圓圓心為，則四面體外接球的球心在線(xiàn)段中點(diǎn)處，且，所以四面體外接球的表面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10．（多選）在正方體中分別是的中點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面B．異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為C．過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為D．若點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，而，所以，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，則且，故或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)所成的角，而，故，故，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)交于，連接角于，因?yàn)?，故，同理，故，故，而，，故截面圖形的周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，故的軌跡為球與正方體表面的截線(xiàn)（如圖所示），每段弧的圓心角為，所在圓的半徑為，故三段弧長(zhǎng)和為，故D正確.故選：ABD.11．（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿(mǎn)足，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則平面B．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．若，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為D．若，則與平面所成角的余弦的最小值為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，若，則點(diǎn)P在線(xiàn)段上，易知平面平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，若，即，則點(diǎn)P的軌跡是以為半徑的四分之一圓弧，又，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)和的中點(diǎn)分別為M，N，若，則點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段，當(dāng)P是的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，因?yàn)槭堑妊切?，，，所以長(zhǎng)度的最小值為.，故C正確；對(duì)于D，若，則點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段，設(shè)與平面所成的角為，在等邊三角形中，邊長(zhǎng)為，當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，為，而點(diǎn)P到平面的距離恒為2，所以，從而，故D正確.故選：ACD.（二）其他棱柱中的動(dòng)點(diǎn)軌跡1．（多選）正三棱柱的各棱長(zhǎng)相等，且均為在內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．三棱錐的體積的取值范圍為C．為中點(diǎn)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．為中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，連接，由為等邊三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，過(guò)作于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，在矩形中，，所以，如圖所示，此時(shí)的延長(zhǎng)線(xiàn)與線(xiàn)段無(wú)公共點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B,三棱錐的體積.的面積的取值范圍是（當(dāng)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，大于，當(dāng)在BC邊的高的端點(diǎn)時(shí)取到最大值）.點(diǎn)到平面的距離就是正三棱柱的高.根據(jù)三棱錐體積公式（為底面積，為高），可得，所以的取值范圍是，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，由點(diǎn)為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，可得，，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)椋移矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫善矫?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，其長(zhǎng)度為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)（x，y滿(mǎn)足的邊界條件）.，.因?yàn)椋?，?平面的法向量，設(shè)，，.由，令，可得，，即.點(diǎn)到平面的距離，將代入可得.結(jié)合在內(nèi)及其邊界上，可得當(dāng)時(shí)，取得最大值，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.2．（多選）正三棱柱的各棱長(zhǎng)相等，且均為，在內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．三棱錐的體積的取值范圍為C．為中點(diǎn)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．為中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】BCD【詳解】對(duì)于A中，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，連接，由為等邊三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫嫫矫?，過(guò)作于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，在矩形中，，所以，如圖所示，此時(shí)的延長(zhǎng)線(xiàn)與線(xiàn)段無(wú)公共點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得，又因?yàn)椋嗜忮F的體積的取值范圍為，故B正確；

對(duì)于C中，由點(diǎn)為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、、，可得，，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)?，且、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，由平面，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，其長(zhǎng)度為，所以C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t，又因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的