切線、公切線問題分類專項(xiàng)訓(xùn)練解析版

切線、公切線問題分類專項(xiàng)訓(xùn)練解析版一、目錄二、分類專項(xiàng)訓(xùn)練（1）求在某點(diǎn)處的切線1．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，求在處的切線，則為切點(diǎn)，斜率，所以，即.故選：A.2．曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得，化簡可得.即曲線在處的切線方程為.故選：D.3．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可得，則，故切點(diǎn)為，切線在該點(diǎn)處的斜率為，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A.4．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切線方程為，即.故選：A.5．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【詳解】函數(shù)，則為偶函數(shù)，則，所以，，于是，，所以在點(diǎn)處的切線為：，即.故答案為：.6．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【詳解】已知函數(shù)，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即得.故答案為：（2）求過某點(diǎn)的切線1．過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)不可能是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，而切線也過點(diǎn)，由斜率公式得，因?yàn)?，所以，由?dǎo)數(shù)的幾何意義得，故成立，化簡得，得到，即，顯然是方程的根，則方程可化為，解得或，而原方程最多有三個(gè)根，則不可能是原方程的根，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)不可能是.故選：B2．過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，由，得，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，把代入切線方程，得，化簡得，同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，都滿足直線，直線的方程為.故選：A3．已知曲線經(jīng)過點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線C的切線方程是【答案】【詳解】因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，則曲線方程為，，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，則切線方程為，又切線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，則切線方程為，即.故答案為：.4．已知(1)當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)作函數(shù)的切線l，求切線l的方程；(2)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，即，解得；所以，因此；即切線方程為；（2）易知，令，則，①當(dāng)時(shí)，，則在R上遞減；②當(dāng)時(shí)，令，可得；同理的解是，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)令，即；同理的解是，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．5．已知函數(shù)，其中.(1)若的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求a的值；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），因?yàn)?，，所以的圖象在處的切線方程為，將代入得，解得；（2），當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線過點(diǎn)的切線方程;(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，而，當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，，切線方程為；當(dāng)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，則，整理得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即，因此，，切點(diǎn)為，切線方程為，所以曲線過點(diǎn)的切線方程為，或.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，且，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，因此；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，由，得，若，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；若，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，因此，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線斜率，解得，即，所以切線方程為，即為所求切線方程.（2）由題意得，方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，則函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意：當(dāng)時(shí)，令，得，則，隨著的變化情況如下表，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)上表可得，解得，綜上可得，的取值范圍.（3）已知切線求參數(shù)1．已知函數(shù)的圖象在處的切線過原點(diǎn)，則所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)榈膱D象在處的切線過原點(diǎn)，則，即，即.設(shè)，因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞增，且函數(shù)值為正，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以.故選：.2．若曲線只有一條過原點(diǎn)的切線，則的值為．【答案】或【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,∴切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵曲線只有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線切，∴,解得或,∴或,故答案為：或3．已知函數(shù)(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求a與b的值；(2)若在處有極值，求a與b的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由函數(shù)解析式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，由函數(shù)解析式求得切點(diǎn)，根據(jù)切線方程，建立方程組，可得答案；（2）由函數(shù)解析式求導(dǎo)，根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式，建立方程組，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)榍芯€方程為，所以，解得，所以.（2）函數(shù)在處有極值且或恒成立，此時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn)，此時(shí)1是極值點(diǎn)，滿足題意，所以.4．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)已知，函數(shù)，若，求證：.【答案】(1)1(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，顯然不是的切線，不合題意；當(dāng)時(shí)，由題意，即，解得.（2），則，因?yàn)?，則得；得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以，設(shè)，則得；得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，所以.5．已知函數(shù).(1)若，證明：；(2)若存在過點(diǎn)的直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，令，.則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以.（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，又該切線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，整理得，即，即，即，顯然當(dāng)時(shí)，不合題意；則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（4）切線的條數(shù)問題1．已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有1條，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，所以切線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則，化簡得，又因?yàn)榍芯€有且僅有1條，即，解得或2，故選：A2．若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則，整理得，由題意知關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解.設(shè)，，由得或，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，.又易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，開口向上，所以當(dāng)趨向于負(fù)無窮或正無窮時(shí)，都趨向于正無窮.而當(dāng)趨向于負(fù)無窮時(shí)，趨向于正無窮，故也就趨向于正無窮；當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮且增長速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過，故且趨向于零，又，，函數(shù)的大致圖象如圖所示.

因?yàn)榈膱D象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以，即.故選：D.3．若過點(diǎn)可以作的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.由切線過點(diǎn)，得.令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn).，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且當(dāng)時(shí)，恒有.又，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由形可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.4．（多選）已知函數(shù).若曲線存在兩條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】BCD【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，由題意得，過點(diǎn)的兩條切線與曲線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別在區(qū)間和內(nèi)，當(dāng)切點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，∴切線方程為，∵切線過點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故.當(dāng)切點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，∴切線方程為，∵切線過點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故，綜上得，.∵，∴符合題意的選項(xiàng)為B、C、D.故選：BCD.5．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題得：，故切線的斜率為，切線方程為：，因切線經(jīng)過點(diǎn)，則，故有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.6．從點(diǎn)可向曲線引三條不同切線，則的取值范圍為．【答案】【詳解】切點(diǎn)設(shè)為，其中有三個(gè)不同的解即有三個(gè)不同的解設(shè)，該函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),，令，則或，令，則或，令，則，所以：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在和處取得極值，要想函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則，即所以：故答案為：7．曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為．【答案】，【詳解】先求當(dāng)時(shí)，曲線過原點(diǎn)的切線方程，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，得切線斜率為，又切線的斜率為，所以，解得，代入，得，所以切線斜率為，切線方程為．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以時(shí)切線與的切線關(guān)于軸對稱，可求得當(dāng)時(shí)的切線方程為．綜上可知，兩條切線方程為．故答案為：．8．已知函數(shù)，點(diǎn)在第四象限內(nèi)，過作圖象的切線，有且只有兩條，則的取值范圍為.【答案】【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，由題意可知，，，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，則，即方程有兩個(gè)解.令，或，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)解，所以，或，當(dāng)時(shí)，則有，即，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，可得，由可得，所以，，則，綜上，，即的取值范圍是.故答案為：.9．若曲線與曲線有三條公切線，則的取值范圍是.【答案】【詳解】設(shè)公切線為是與的切點(diǎn)，由，得，設(shè)是與的切點(diǎn)，由，得，所以的方程為，因?yàn)椋淼?，同理，因?yàn)?，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，即直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?，令，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以有極小值為，有極大值為，因?yàn)?，，，所以，?dāng)趨近于時(shí)，趨近于0；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為：（5）公切線問題1．若直線同時(shí)是曲線和曲線的切線，則斜率的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【詳解】設(shè)直線與曲線、曲線相切的切點(diǎn)分別為，求導(dǎo)得，，則，且，由，兩邊取對數(shù)整理得：，代入，可得，令，求導(dǎo)得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以斜率的最小值為.故選：C2．（多選）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】解：設(shè)由兩曲線與分別求導(dǎo)得，所以，故在處切線為：，整理得：，在處切線為，整理得：，所以，解得，構(gòu)造函數(shù)，，令，解得：，故在遞增，在遞減，故，∵正實(shí)數(shù)，∴的取值范圍是，故選：ABC3．若直線是曲線與曲線的公切線，則．【答案】【詳解】直線與曲線聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€是曲線的切線，所以，解得，設(shè)與曲線相切于，由得曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即，因?yàn)橹本€是曲線與曲線的公切線，所以，解得，即.故答案為：.4．設(shè)函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線也相切，則的值為．【答案】【詳解】由題意得，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立得，由，得，即，令，則，其中，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，則，且，則.故答案為：.5．若圓與曲線的公切線經(jīng)過，求．【答案】【詳解】由題知，公切線斜率存在，設(shè)公切線方程為，則到公切線的距離等于半徑，即，解得，所以公切線方程為，對于，設(shè)切點(diǎn)為，所以，則可得，解得.故答案為：6．若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)與在公共點(diǎn)處的切線方程；(2)求的最小值：【答案】(1)(2)1【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，因，則得，故切點(diǎn)為且，所以與在公共點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，因，則由②得，即，將其代入①中得，，即，令，則，則當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故，又因，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故的最小值為.（6）切線垂直、平行問題1．曲線在，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則的值為（）A． B．0 C．1 D．【答案】A【詳解】由，不妨設(shè)，兩切線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)，顯然，因此不成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)，顯然，因此不成立，不符合題意；當(dāng)，則有，此時(shí)，變形得．故選：A2．若函數(shù)（e為自然對數(shù)的底）的一條切線與x軸平行，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)，所以，因?yàn)榍芯€與x軸平行，所以，解得，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B3．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，∴，∵曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，即，故.故選：D.4．（多選）已知函數(shù)，過點(diǎn)作平行于軸的直線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn).則（

）A．當(dāng)時(shí)，切線的方程為 B．當(dāng)時(shí)，的面積為C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．面積的最小值為【答案】BCD【詳解】由已知得，，過點(diǎn)的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，則，故正確；當(dāng)時(shí)，，則，以為切點(diǎn)的切線方程為，即，故錯(cuò)誤；此時(shí)，的面積，故正確；因?yàn)?，，，所以，，所以，令，所以，令，即，解得，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，故正確.故選：.5．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直.(1)求a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)1；(2)答案見解析.【詳解】（1）由題意知，所以，又函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂