2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第28講、三角函數(shù)概念及誘導(dǎo)公式（學(xué)生版）

第28講三角函數(shù)概念及誘導(dǎo)公式

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)

位置所成的圖形；

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．

（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是

Sk360，kZ．

（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的

終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬

于任何一個(gè)象限．

（4）象限角的集合表示方法：

2、弧度制

（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，

讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．

180

（2）角度制和弧度制的互化：180rad，1rad，1rad．

180

11

（3）扇形的弧長(zhǎng)公式：lr，扇形的面積公式：Slrr2．

22

3、任意角的三角函數(shù)

（1）定義：任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，則siny，cosx，

y

tan(x0)．

x

（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)PP(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，

yxy

設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則sin，cos，tan(x0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sinR＋＋－－

cosR＋－－＋

tan{|k，kZ}＋－＋－

2

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

4、三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）

作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T．

三角函數(shù)線

有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線

知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2cos21．

sin

（2）商數(shù)關(guān)系：tan(k)；

cos2

知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式一二三四五六

角2k(kZ)

22

正弦sinsinsinsincoscos

余弦coscoscoscossinsin

正切tantantantan

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫

作n；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷n所處的象限，并判斷題設(shè)三角

22

函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)n為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，“偶

不變”函數(shù)名保持不變即可．

【解題方法總結(jié)】

sin

1、利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan可以實(shí)

cos

現(xiàn)角的弦切互化．

2、“sincos，sincos，sincos”方程思想知一求二．

(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2(sincos)22

必考題型全歸納

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

4π4π

例1．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為sin,cos，則的

55

最小正值為（）

π3π4π17π

A．B．C．D．

510510

9π

例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

4

9π

A．2kπ45kZB．k360kZ

4

5π

C．k360315kZD．kπkZ

4

例3．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列各角中與437角的終邊相同的是（）

A．67B．77C．107D．137

變式1．（2024·北京·高三北大附中校考階段練習(xí)）已知角的終邊為射線yx(x0)，

則下列正確的是（）

52

A．B．cosC．tan1D．sin1

4224

【解題方法總結(jié)】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是

坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．

題型二：等分角的象限問題

例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是銳角，那么2是（）．

A．第一象限角B．第二象限角

C．小于180°的正角D．第一或第二象限角

例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限

2k

例6．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在

36

()

A．第一象限或第二象限或第三象限

B．第一象限或第二象限或第四象限

C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

變式2．（1990·上海·高考真題）設(shè)角屬于第二象限，且coscos，則角屬于（）

222

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

5π

變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可

33

能在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若角是第一象限角，則是（）

2

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角

【解題方法總結(jié)】

先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限

n

分布圖示．

題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算

2

例7．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為π，扇

3

形的面積為3π，則該扇形的周長(zhǎng)為__________.

例8．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┮阎刃螆A心角60,所對(duì)的

弧長(zhǎng)l6π，則該扇形面積為__________.

例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在東方設(shè)計(jì)中存在著一個(gè)名為“白銀比例”的理念，這

個(gè)比例為2:1，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達(dá)出

一種獨(dú)特的東方審美觀.如圖，假設(shè)扇子是從一個(gè)圓面剪下的，扇形的面積為S1，圓面剩余

S

2

部分的面積為S2，當(dāng)2時(shí)，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時(shí)，扇子圓心角

S1

的弧度數(shù)為____________.

變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積

給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形

田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為20米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____

平方米.

變式6．（2024·福建廈門·高三福建省廈門第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是4

為定值，則當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)是__.

變式7．（2024·江西鷹潭·高三鷹潭一中?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑

為r，弧長(zhǎng)為l，若扇形周長(zhǎng)為20，當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí)，則圓心角______弧度．

【解題方法總結(jié)】

應(yīng)用弧度制解決問題的方法

（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．

（2）求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．

（3）在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．

題型四：三角函數(shù)定義題

例10．（2024·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知P3,4是角終邊上的一點(diǎn)，則sin

（）

3434

A．B．C．D．

5547

2

例11．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如果點(diǎn)P在角π的終邊上，且|OP|2，則點(diǎn)P的

3

坐標(biāo)是（）

A．(1,3)B．(1,3)C．(3,1)D．(3,1)

例12．（2024·北京豐臺(tái)·北京豐臺(tái)二中?？既＃┮阎c(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3，將OA繞坐

π

標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OB，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（）

2

A．3B．1C．3D．1

變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)a<0，角的終邊與圓x2y21的交點(diǎn)為P(3a，4a)，

那么sin2cos（）

2112

A．B．C．D．

5555

變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P，Q

從點(diǎn)A(1,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每

6

11

秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

6

【解題方法總結(jié)】

（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角

α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．

（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值

在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情

況．

題型五：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

13π

例13．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若，則（）

7

A．sin0且cos0B．sin0且cos0

C．sin0且cos0D．sin0且cos0

例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Asin23,cos23是角終邊上一點(diǎn)，若

0360，則（）

A．113B．157C．293D．337

例15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)(cos(sin),sin(cos))所

在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

變式10．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)（cos()，sin()）

所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

變式11．（2024·河南許昌·高三?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)Psin2023，tan2023

位于第（）象限

A．一B．二C．三D．四

變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Pcos,tan是第二象限的點(diǎn)，則的終邊

位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【解題方法總結(jié)】

正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．

余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．

正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．

題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

例16．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，

5

且滿足sincos，則tan（）

5

1

A．2B．1C．3D．

2

6

例17．（2024·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知sincos，0π，則sincos（）

3

232333

A．B．C．D．

3333

1

例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知sincos，且0,π，sincos（）

5

77749

A．B．C．D．

55525

π

變式13．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知sinsin2，則tan（）

2

A．2B．1C．1D．2

變式14．（2024·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知sin?cos是關(guān)于x的方

程3x22xa0的兩根，則a__________.

2

變式15．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎猻incos，則

3

sin2________．

7

變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知sincos0π，則tan______．

13

π1

變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若0,,tan，則sincos________．

22

1

變式18．（2024·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知tan2，則的值是__________．

sin2cos2

變式19．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎猼anx3，則

3sin2x2sinxcosx__________.

sinxcosx

變式20．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若2，求sinxcosx的值為__________.

sinxcosx

【解題方法總結(jié)】

（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義

求未知三角函數(shù)值．

（2）若無象限條件，一般“弦化切”．

題型七：誘導(dǎo)求值與變形

π3ππ

例19．（2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知sin，且,，則

6344

π

sin_______．

3

π3

例20．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考三模）已知,π，sinπ，則tan______.

23

1

例21．（2024·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若sin，

2

則cos的值為（）

1133

A．B．C．D．

2222

1

變式21．（2024·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若sinA，則

3

sin6A的值為（）

112222

A．B．C．D．

3333

π45π

變式22．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知sin，則cos的值為（）

356

3344

A．-B．C．D．

5555

π57π

變式23．（2024·陜西西安·長(zhǎng)安一中?？级＃┮阎猚os，則sin（）

51310

551212

A．B．C．-D．

13131313

【解題方法總結(jié)】

（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)

2

公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．

（2）通過2,,等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．

2

（3）2,,等可利用誘導(dǎo)公式把,的三角函數(shù)化

2

題型八：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

3π

例22．（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知tan2，則sinsin（）

2

3112

A．B．C．D．

5225

tanxπ3π

例23．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若1，求sinxcosx的值.