《備考指南一輪 數(shù)學(xué) 》課件-第3章 第8講

函數(shù)第三章第8講函數(shù)與方程考點(diǎn)要求考情概覽1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)(重點(diǎn)、難點(diǎn))．2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)個(gè)數(shù)的判斷及由零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在．預(yù)測本年度高考將以零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷或根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍為主要命題方向，以客觀題或解答題中一問的形式呈現(xiàn)．學(xué)科素養(yǎng)：主要培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使________的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有________．f(x)＝0

x軸零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有__________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__________內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0

(a，b)

f(c)＝0

2．二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系(x1,0)，(x2,0)

(x1,0)

2

1

0

3．二分法對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且__________的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間__________，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近______，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法．f(a)·f(b)<0

一分為二零點(diǎn)【特別提醒】1．零點(diǎn)存在性定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．2．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)即方程f(x)＝0的實(shí)根，易誤為函數(shù)點(diǎn)．【常用結(jié)論】有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的3個(gè)結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．【答案】B2．(教材改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (

)A．0

B．1

C．2

D．3【答案】B【答案】B4．(教材改編)函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 (

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)【答案】C【解析】由題意得f(1)＝－4＜0，f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋2＞0，所以f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3)．【答案】3【解析】由題意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f[f(4)]＝f(log23)＝2log23＝3.6．若函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?：(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)． (

)(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0. (

)(3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值．

(

)(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn)．

(

)(5)若函數(shù)f(x)在[a，b]內(nèi)單調(diào)，圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√重難突破能力提升2 (1)(2019年河南測試)函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

(

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)(2)(2019年貴陽模擬)函數(shù)f(x)＝lgx－sinx在(0，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

(

)A．1

B．2

C．3

D．4函數(shù)零點(diǎn)的確定與求解【答案】(1)C

(2)C【解析】(1)方法一(利用零點(diǎn)存在性定理)：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是增函數(shù)，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)上．方法二(數(shù)形結(jié)合)：函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點(diǎn)所在區(qū)間轉(zhuǎn)化為g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在范圍．作出h(x)和g(x)的圖象如圖1所示，可知f(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)．(2)f(x)＝lgx－sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y＝lgx的圖象和函數(shù)y＝sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．畫出兩函數(shù)的圖象如圖2所示，由圖可知函數(shù)y＝lgx的圖象和函數(shù)y＝sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.【解題技巧】函數(shù)零點(diǎn)的確定與求解策略(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法．(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①解方程法；②零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】D示通法根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的3種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用【答案】D【答案】12【解題技巧】看個(gè)性方向1是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及零點(diǎn)存在情況求參數(shù)范圍，解決此類問題通常先對解析式變形，然后在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．方向2是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍，解決此類問題應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理，建立參數(shù)所滿足的不等式組，解不等式組，即得參數(shù)的取值范圍．方向3是求函數(shù)零點(diǎn)的和，求函數(shù)的多個(gè)零點(diǎn)(或方程的根以及直線y＝m與函數(shù)圖象的多個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo))的和時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)的性質(zhì)，尤其是對稱性特征(這里的對稱性主要包括函數(shù)本身關(guān)于點(diǎn)的對稱，直線的對稱等)找共性根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的一般步驟轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的情況．列式：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式．結(jié)論：求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍【答案】(1)C

(2)D二次函數(shù)的零點(diǎn)問題【解題技巧】解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題(1)利用一元二次方程的求根公式．(2)利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系．(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組．【變式精練】3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5＋a，a∈R.(1)若方程f(x)＝0有一正根和一個(gè)負(fù)根，求a的取值范圍；(2)當(dāng)x＞－1時(shí)，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．素養(yǎng)微專直擊高考3函數(shù)的零點(diǎn)是高考命題的熱點(diǎn)，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，?？疾榕c復(fù)合函數(shù)相關(guān)的零點(diǎn)問題，多與函數(shù)的性質(zhì)交匯．對于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．素養(yǎng)提升類——直觀想象：解嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題典例精析【思路導(dǎo)引】令g(x)＝t，求出g(x)的值域即可得t的取值范圍．由g(x)為二次函數(shù)，則關(guān)于t的方程f(t)－a＝0只需在定義域內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，即可保證f(g(x))－a＝0有4個(gè)實(shí)根，在同一坐標(biāo)系中作出y＝f(t)與y＝a的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．【解析】因?yàn)間(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，所以g(