2024-2025學年高中數學第二章平面向量第3節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示第2課時平面向量的正交分解及坐標表示課下能力提升十八含解析新人教A版必修4

PAGEPAGE1課下實力提升(十八)[學業(yè)水平達標練]題組1向量的坐標表示1．給出下列幾種說法：①相等向量的坐標相同；②平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標；③一個坐標對應唯一的一個向量；④平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應．其中正確說法的個數是()A．1B．2C．3D．4解析：選C由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應多數個相等的向量，故③錯誤．2．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，則eq\f(1,2)等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)解析：選A＝－＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－4,6)＝(－2,3)．3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，∴＝(2,3)，BC＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)題組2平面對量的坐標運算4．已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，則頂點D的坐標為()A．(－7,6)B．(7,6)C．(6,7)D．(7，－6)解析：選D設D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．5．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線．若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)解析：選B∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)，故選B.6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．解析：由題意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))所以m－n＝－3.答案：－37．已知點A(－1,2)，B(2,8)及＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，求點C，D和的坐標．解：設C(x1，y1)，D(x2，y2)．由題意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．∵＝eq\f(1,3)，＝－eq\f(1,3)，∴(x1＋1，y1－2)＝eq\f(1,3)(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－eq\f(1,3)(－3，－6)＝(1,2)．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))∴C，D的坐標分別為(0,4)和(－2,0)，因此＝(－2，－4)．題組3向量共線的坐標表示8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數，(a＋λb)∥c，則λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2解析：選B由題意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).9．已知A，B，C三點共線，＝－eq\f(3,8)，點A，B的縱坐標分別為2,5，則點C的縱坐標為________．解析：設點C的縱坐標為y.∵A，B，C三點共線，＝－eq\f(3,8)，A，B的縱坐標分別為2,5，∴2－5＝－eq\f(3,8)(y－2)．∴y＝10.答案：1010．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，求證：∥.證明：設E(x1，y1)，F(x2，y2)，依題意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．因為＝eq\f(1,3)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，所以(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，故Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))；因為＝eq\f(1,3)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，所以(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，故Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又因為4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，所以∥.11．平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列問題：(1)求3a＋b－2c；(2)求滿意a＝mb＋nc的實數m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－eq\f(16,13).[實力提升綜合練]1．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，則m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：選C∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋λm2＝0，,1＋2λ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,m＝0或2，))故選C.2．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d為()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：選D∵四條有向線段首尾相接構成四邊形，則對應向量之和為零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向解析：選D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，明顯c與d不平行，解除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c與d反向．4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．2解析：選A由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為________．解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵∥，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若點A，B，C能構成三角形，則實數m應滿意的條件為________．解析：若點A，B，C能構成三角形，則這三點不共線，即與不共線．∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠eq\f(1,2)，∴m≠eq\f(1,2).答案：m≠eq\f(1,2)7．已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，試問：(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在其次象限？(2)四邊形OABP可能為平行四邊形嗎？若可能，求出相應的t值；若不行能，請說明理由．解：由題可知＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若P在x軸上，則有2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在y軸上，則有1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若P在其次象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))解得－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)＝＋＝(－1－3t，－2－3t)＋(4,5)＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP是平行四邊形，則有＝，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))方程組明顯無解．∴四邊形OABP不行能是平行四邊形．8．已知向量u＝(x，y)和v＝(y,2y－x)的對應關系可用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標；(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐標；(3)對于隨意向量a，b及常數λ，μ，證明：f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．解：(1)由題意知，當a＝(1,1)時，f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．當b＝(1,0)時，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)設c＝(x，y)，則f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4，,2y－x＝5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))