圓錐曲線-橢圓（教師版）

圓錐曲線橢圓知識點一：橢圓的定義知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在．焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）題型一、橢圓的定義【典例11】已知F1、F2是定點，|F1F2|＝6．若動點M滿足|MF1|+|MF2|＝6，則動點M的軌跡是（）A．直線 B．線段 C．圓 D．橢圓【解答】對選項進行分析：在平面內(nèi)，若動點M到F1、F2兩點的距離之和等于6，而6正好等于兩定點F1、F2的距離，則動點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的線段．故選：B．【典例12】如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線【解答】解：本題其實就是一個平面斜截一個圓柱側(cè)面的問題，因為三角形面積為定值，以AB為底，則底邊長一定，從而可得P到直線AB的距離為定值，分析可得，點P在以AB為軸線的圓柱面與平面α的交線上，且α與圓柱的軸線斜交，由平面與圓柱面的截面的性質(zhì)判斷，可得P的軌跡為橢圓；故選：B．【典例13】已知橢圓C上任意一點都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標準方程為.【答案】【解析】由題可知橢圓C的焦點在x軸上，其坐標分別為，，故，，所以橢圓C的標準方程為.故答案為：.【典例14】已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．251．D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】因為，所以，當且僅當時，取到最大值.【變式11】方程表示的曲線是，其標準方程是.【答案】橢圓【解析】方程，表示點Px,y到兩點的距離之和等于，而，所以方程表示的曲線是橢圓，且長軸長，焦距，所以，所以半短軸長，所以其標準方程為.題型二、橢圓標準方程【典例21】已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為．【答案】【解析】由題知：，①又橢圓經(jīng)過點，所以，②又，③聯(lián)立解得：，故橢圓的標準方程為：.【典例22】已知橢圓的焦點在坐標軸上，且經(jīng)過和兩點，則橢圓的標準方程為.【答案】【解析】設(shè)所求橢圓方程為：(，，)將和的坐標代入方程得：，解得，所求橢圓的標準方程為：.【典例23】過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是．【答案】【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為，，將點代入，，整理可得：，解得或（舍，所以橢圓的方程為：【變式21】過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為．【答案】【分析】由橢圓方程可得焦點坐標，假設(shè)所求橢圓方程，代入點即可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程.【解析】將橢圓的方程化為標準方程可得：，焦點坐標為，可設(shè)所求橢圓方程為：，代入點坐標可得：，即，解得：或（舍），所求橢圓方程為：.【變式22】已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標準方程為．【分析】根據(jù)給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點M，N的坐標，再代入橢圓方程求解作答.【詳解】由對稱性不妨令點M在第一象限，令直線交y軸于點A，過N作軸于B，令，

因為軸，則，而O為的中點，又A為中點，而，于是，由知，，顯然，因此，于是，又，則，解得，而，則，所以橢圓C的標準方程為.題型三、橢圓方程的充要條件表示橢圓的充要條件為：表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.【典例31】方程表示橢圓的充要條件是（

）A． B．C． D．或【答案】D【解析】若表示橢圓，則有，解得或.【典例32】已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓B．當曲線表示雙曲線時，的取值范圍是C．當時，曲線表示一條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲線【答案】A【解析】對于A，當時，，，，表示焦點在軸上的橢圓，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，A正確；對于B，若曲線表示雙曲線，則，解得：或，即實數(shù)的取值范圍為，B錯誤；對于C，當時，曲線，即，即曲線表示兩條直線，C錯誤；對于D，若曲線為等軸雙曲線，則，解集為，不存在，使得曲線為等軸雙曲線，D錯誤.【變式31】對于方程表示的曲線，下列說法正確的是（

）A．曲線只能表示圓、橢圓或雙曲線 B．若為負角，則曲線為雙曲線C．若為正角，則曲線為橢圓 D．若為橢圓，則其焦點在軸上【答案】B【解析】對A，當，即時，曲線的方程為，此時曲線為兩條平行的直線，故A錯誤；對B，若為負角，即，則，此時曲線為雙曲線，故B正確；對C，若為正角，即，當時，，則曲線的方程為1，是圓，故C錯誤；對D，若為橢圓，則，又可變形為，則為焦點在軸上的橢圓，故D錯誤．知識點2:橢圓的性質(zhì)知識點2:橢圓的性質(zhì)范圍且且頂點、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率焦點三角形面積焦點三角形面積①，（為短軸的端點）②③題型一、焦點三角形【典例11】該橢圓的左右焦點為，點是上一點，滿足，則的面積為．【答案】9【解析】解法一：由，得，則，設(shè)，則由題意得，由，得，所以，得，所以的面積為解法二：由，得，因為所以由焦點三角形的面積公式得．【典例12】已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由橢圓，得，，.設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.【典例13】（多選題）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P是C上一點，則（

）A． B．的最大值為8C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】CD【解析】由橢圓定義得，，，A錯誤；，當時取等號，B錯誤；，設(shè)，則，，，，由，得，C正確；，，D正確.【變式11】（多選題）已知橢圓的左?右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（

）A．存在點，使B．C．的最小值為D．周長的最大值為8【答案】BCD【解析】對于A,設(shè)橢圓的上頂點為，則直角三角形中，，則，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，，且，即，又,則，又，故，則B正確；對于C，，，，則當時，取最小值為，故C正確；對于D，設(shè)橢圓的右焦點為,的周長為：,當且僅當三點共線時，等號成立，故D正確，故選：BCD.【變式12】已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關(guān)于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓的長半軸為，則設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為Q，由橢圓對稱性及角平分線性質(zhì)可知P，，Q三點共線且又因為，所以是正三角形，設(shè)，由橢圓定義可得，，又，所以，所以，即，，所以的面積.故選：C.題型二：橢圓上兩點距離的最值問題【典例42】已知是橢圓的上頂點，點是橢圓上的任意一點，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，且，所以，又因為，所以當時取最大值，所以【典例42】如果點P是橢圓上一個動點，是橢圓的左焦點，那么的最大值是，最小值是．【答案】102【解析】由橢圓方程可得，，則.則當點位于右端點時，；當點位于左端點時，.故答案為：10；2【典例43】已知動點在橢圓上，過點P作圓的切線，切點為M，則的最小值是．【答案】【解析】圓的圓心，橢圓的焦點為，，因為，即求焦半徑的最小值.先證焦半徑公式：設(shè)是橢圓上任一點，是橢圓的兩焦點，則因為，所以，.由焦半徑公式知，則當時，取得最小值，則.題型三：橢圓上兩點距離的最值問題【典例31】已知點在橢圓上，點，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】作橢圓的左焦點，則，當且僅當點為線段的延長線與橢圓的交點時取得，由兩點間距離公式得，故，C正確，【典例32】已知橢圓的右焦點為，點，點是上的動點，則的最小值為（

）A．5 B． C．10 D．【答案】B【解析】若為橢圓左焦點且，則，故，所以，而，所以，僅當共線時取等號，綜上，的最小值為，取值條件為共線且在之間.【典例33】設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】C【解析】點是橢圓上的點，設(shè)，如圖．記題中代數(shù)式為M，則，等號當點E，A，P依次共線時取得．因此所求最小值為．【典例34】若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，則，且，不妨設(shè)，則，由，即，故點的軌跡為以為焦點的橢圓，∴，則，當且僅當點為的延長線與橢圓的交點時等號成立，，當且僅當點為的延長線與橢圓的交點時等號成立，即，故.【變式31】已知橢圓外一點A(5，6)，l為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)F為橢圓的左焦點，可知其坐標為F(－3，0)，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有：＝e＝，即，所以，可知當P、F、A三點共線且P在線段AF上時，最小，最小值＝10．故的最小值為10．【典例32】已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，則，可得，所以，如圖所示，當且僅當，，三點共線（點在線段上）時，此時取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．故選：A．知識點三：直線與橢圓的位置關(guān)系知識點三：直線與橢圓的位置關(guān)系位置關(guān)系將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交?；（2）直線與橢圓相切?；（3）直線與橢圓相離?.弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）點差法（1）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，運用點差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故 題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系【典例11】直線與曲線的公共點的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】當時，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當時，曲線，即，橢圓的左半部分；畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知有個公共點.【典例12】直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于直線恒過點，要使直線與橢圓恒有公共點，則只要在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上即可，即，解可得且，故實數(shù)m的取值范圍為.【典例13】已知離心率為的橢圓的右焦點為，點為橢圓上第一象限內(nèi)的一點，滿足垂直于軸，且.(1)求橢圓的方程；(2)直線的斜率存在，交橢圓于兩點，三點不共線，且直線和直線關(guān)于直線對稱，證明：直線過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）因為橢圓的離心率為，所以，點在橢圓上，代入橢圓方程，有，解得，且，可得所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由消去，整理得，因為直線交橢圓于兩點，所以，設(shè)Ax1,因為直線和直線關(guān)于直線對稱，所以kAF所以，所以，解得.所以直線的方程為，所以直線過定點.題型二：橢圓的弦長問題【典例21】已知橢圓的離心率為e，且過點和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關(guān)于直線對稱，求．【解析】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設(shè)及AB中點，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡為：聯(lián)立整理得：，由韋達定理知由弦長公式得：．法二

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，則中點，滿足直線方程，解得所以AB：【典例22】已知點B是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點P.（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）直線與E交于點M，N，且，求m的值.【解析】（1）由條件可得所以動點P的軌跡E是以為焦點的橢圓，設(shè)其方程為所以，所以所以方程為（2）設(shè)聯(lián)立可得所以由得因為所以可解得【變式21】已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求C的標準方程；(2)若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點，且的面積為，求t的值.【解析】（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標準方程為.（2）由題意設(shè)，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設(shè)直線l與x軸的交點為，又，則，故，結(jié)合，解得.題型三：點差法的應(yīng)用【典例31】若橢圓的弦恰好被點平分，則的直線方程為.【答案】【解析】由題意，直線斜率存在，設(shè)，，則有，，在橢圓上，有，，兩式相減，得，即，得，即直線的斜率為，則的直線方程為，即.【典例22】已知為橢圓內(nèi)一點，經(jīng)過作一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為.【答案】【解析】易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為