湖南省岳陽市汨羅市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)月考試題一、單選題（共40分）1.設(shè)是兩個集合，則“且”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即得.【詳解】因“且”“”“”，故“且”是“”的充要條件.故選：A2.已知與為非零向量，，若三點(diǎn)共線，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，由此結(jié)合向量的相等列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，三點(diǎn)共線，故,且共線，故不妨設(shè)，則，所以，解得，故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再利用二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】.故選：A.4.對于二維形式的柯西不等式，我們證明它的最直接的一種方法就是作差法，事實(shí)上也可以根據(jù)向量不等式證明，例如取，并結(jié)合向量不等式即可證明，根據(jù)以上提示，請問函數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：利用基本不等式即可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)柯西不等式即可求出.【詳解】方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為．方法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故選：B5.已知函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平移求出函數(shù)，由是偶函數(shù)求出，進(jìn)而得出的值．【詳解】∵函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)，又函數(shù)是偶函數(shù)，∴，∴．由，可得，∴，，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查圖象的變換，考查奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6.在中，，，，，為線段上點(diǎn)且，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】因?yàn)?，，又，則，又，，，所以.故選：A7.設(shè)，則關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)中，下列說法錯誤的是（）A.的最小正周期是B.圖象的一個對稱中心可以是C.的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是D.圖象的一條對稱軸可以是【答案】C【解析】【分析】先用向量夾角公式和三角函數(shù)的輔助角公式對函數(shù)化簡，再結(jié)合周期計(jì)算、對稱軸與對稱中心的判斷以及單調(diào)性的分析判定選項(xiàng).【詳解】，對于A，最小正周期為，故A正確；由于，故B、D表述正確，對于C，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，的一個單調(diào)遞減區(qū)間可以是，所以C錯誤，故選：C．8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件由余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計(jì)算可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了余弦定理，正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式求最值問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于由余弦定理得到，然后結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可求解.二、多選題（共20分）9.（多選）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書中先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若，則下面結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則有最小值C.若，則 D.若，則有最大值1【答案】ABD【解析】【分析】由不等式的基本性質(zhì)與基本不等式逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】對于A，，則，即，故A正確；對于B，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故B正確；對于C，，由，取，滿足條件，則，故C不正確；對于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D正確.故選：ABD.10.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（）A.若A＞B，則B.若，則有兩解C.若，則為銳角三角形D.若，則為等腰三角形或直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A,由正弦定理即可判斷B,由余弦值的性質(zhì)即可判斷C,由邊角互化即可判斷D.【詳解】對于A，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故A正確；對于B，由正弦定理可得：，∴，此時(shí)無解，故B錯誤；對于C，∵，為三角形的內(nèi)角，∴，可知A，B，C均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；對于D：∵，所以由正弦定理可得，又,因此，∴，∴，b＝a或，即三角形為等腰三角形或直角三角形，故D正確．故選：ACD．11.一位博主曾經(jīng)講過一個已知三角形三點(diǎn)求三角形面積的公式，即若，則，這個公式的本質(zhì)是與向量的叉乘運(yùn)算有關(guān)，前面我們學(xué)過向量的點(diǎn)乘也就是向量的數(shù)量積，現(xiàn)在我們來定義向量的叉乘運(yùn)算，設(shè)是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，則它們的向量積是一個新的向量，規(guī)定這個新向量的方向與的方向都垂直，新向量的大小滿足，現(xiàn)在設(shè)，則下列說法正確的是（）A.若，則存在實(shí)數(shù)使得 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量基本定理判斷A；利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算判斷B；利用新定義運(yùn)算計(jì)算判斷C；根據(jù)新定義以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷D.【詳解】對于A，依題意，不共面，因此不存在實(shí)數(shù)使得，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，因此，D正確．故選：BCD12.對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量滿足與的夾角，且和都在集合中．給出以下命題，其中一定正確的是（）A.若時(shí)，則B.若時(shí)，則C.若時(shí)，則的取值個數(shù)最多為7D.若時(shí)，則的取值個數(shù)最多為【答案】AC【解析】【分析】由新定義可知，再對每個命題進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】對A，若時(shí)，，兩式相乘得，又，，即，，即，故A正確；

對B，若時(shí)，則，同理，相乘得到，又，所以，即，則取值時(shí)符合，此時(shí)，故B錯誤；對C，若時(shí)，則，同理，相乘得，又，，，又，得，，，，

的取值個數(shù)最多為7個，故C正確；

對D，若時(shí)，由上面推導(dǎo)方法可知，，，，的取值個數(shù)最多為，故D錯誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.三、填空題（共20分）13.已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量為，則_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】由題得，則，又，.故答案為：.14.設(shè)三邊滿足關(guān)系，則面積的最大值是________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合基本不等式，先求的取值范圍，再利用余弦定理，求的取值范圍，進(jìn)而得的取值范圍，最后結(jié)合三角形的面積公式可求三角形面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.由余弦定理得：，故，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.故答案為：15.已知扇形半徑為1，，弧上的點(diǎn)滿足，則的最大值是__________；最小值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系且，令，則，利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示得到，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求的最大值，應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求的最小值.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示的直角坐標(biāo)系，且，若，則，，，，由，得，即，，解得，故，所以，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取得最小值是.故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)構(gòu)建合適坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法及三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)求對應(yīng)表達(dá)式的最值.16.在△ABC中，，P是MC的中點(diǎn)，延長AP交BC于點(diǎn)D．若，則________；若，，則△ABC面積的最大值為________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，直接由向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；第二空，用向量表示向量，進(jìn)而求出的模，設(shè)分別為所對邊，由的模表示出的關(guān)系，利用基本不等式即可求解△ABC面積的最大值.【詳解】第一空，因?yàn)镻是MC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以；第二空，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)D在BC上，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，設(shè)分別為所對邊，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，所以，因此△ABC面積最大值為為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用，關(guān)鍵在于利用平面向量基本定理表示出向量，再根據(jù)模長求出三角形兩邊的關(guān)系，利用基本不等式和面積公式即可得到面積最大值.17.已知，，且．當(dāng)為何值時(shí)，（1）向量與互相垂直；（2）向量與平行.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求出，根據(jù)向量垂直列式求解；（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小問1詳解】∵，∴，∵，∴，∴，∴，若向量與互相垂直，則，∴，∴，∴，解得或.【小問2詳解】因?yàn)?，即，則，所以不共線，若向量與平行，則存在實(shí)數(shù)使得成立，所以且，解得.18.已知的三個內(nèi)角所對邊為，若，.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到，結(jié)合三角形面積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理得：，即，，則.【小問2詳解】，，由余弦定理得：，又，，解得：或（舍），，.19.在中，設(shè)．（1）求；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用邊化角與和兩角和的正弦公式即可化簡求值.（2）利用余弦定理與三角形面積公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理得，整理得：，即：，又因?yàn)?，所?又，所以；【小問2詳解】，解得：，故20.已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值；（3）將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位，然后再向上平移1個單位，最后使所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，方程有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角公式、輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)整體代換計(jì)算即可求單調(diào)減區(qū)間；（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得，再根據(jù)余弦的和角公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以即又因?yàn)椋院瘮?shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】若則，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以?【小問3詳解】將圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向下平?個單位，最后再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，即：則，當(dāng)時(shí)，由方程有一解，可得的取值范圍為．21.在面積為S的中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求C的值；（2）若，求周長的最大值；（3）若為銳角三角形，且AB邊上的高h(yuǎn)為2，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角形面積公式化角為邊后，再運(yùn)用余弦定理即可求得；（2）根據(jù)余弦定理化簡后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周長最大值；（3）利用三角形面積相等得到，根據(jù)正弦定理，將邊分別用角表示，利用三角恒等變換將三角形面積表示成，求得的取值范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可求得面積的取值范圍.【小問1詳解】由和正弦定理，三角形面積公式可得，，因，故得，，由余弦定理，，因，則；【小問2詳解】由余弦定理，，即，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，于是，，即當(dāng)時(shí)，周長的最大值為；【小問3詳解】由可得，由正弦定理，，即得，，,則,由為銳角三角形可得，，解得，，則，由正弦函數(shù)的圖象知，，故得，即面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于三角形的周長最大值，可考慮余弦定理和基本不等式相結(jié)合解決；對于三角形面積的范圍，一般考慮利用正、余弦定理將面積化成與正弦型函數(shù)相關(guān)的解析式，利用三角函數(shù)的值域求解.22.設(shè)定義域?yàn)?，若對于任意的，存在唯一的使得，則稱在定義域上是“可逆函數(shù)”．（1）設(shè)，判斷是否是“可逆函數(shù)”，并說明理由；（2）若在上是“可逆函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，使得在定義域上是“可逆函數(shù)”，求證：．【答案】（1）是“可逆函數(shù)”；不是“可逆函數(shù)”，理由見解析‘（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用“可逆函數(shù)”定義即可判斷；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與值域之間的包含關(guān)系以及“可逆函數(shù)”定義即可求得結(jié)果；（3）對參數(shù)a分情況討論，再對對稱軸討論即可證明結(jié)論.【小問1詳解】已知，定義域?yàn)?對于任意的，設(shè)，由，得，因?yàn)閷τ谌我?，且唯一，所以是“可逆函?shù)”；已知，定義域，令，則，由，即，得，那么，即，判別式，方程無解，所以不是“可逆函數(shù)”【小問2詳解】由題意對任意，存在唯一，使得，則稱在定義域上是“可逆函