廣東省梅州市2025屆高三下學(xué)期2月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省梅州市2025屆高三下學(xué)期2月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列集合之間關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，為數(shù)集，為點(diǎn)集，則、無(wú)包含關(guān)系，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D錯(cuò).故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由題意可得，即，由復(fù)數(shù)相等的概念可得，解得，即，故.故選：D.3.如圖，已知同一平而上的三條直線(xiàn)a，b，c相交于同一點(diǎn)O，兩兩夾角均為，點(diǎn)A，B分別在直線(xiàn)a，b上，且，設(shè)，若點(diǎn)P落在陰影部分（不含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)依題意，，因點(diǎn)P落在陰影部分（不含邊界），且，易得，且，由，可得，由，又，故可得：，即，因，則，即，由，可得，整理得：，因，故得，即；由，可得，整理得：顯然成立.綜上分析，可得.故選：C.4.如圖，往一個(gè)正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)倒入的水，水面高度恰好為棱臺(tái)高度的，且，，則這個(gè)容器的容積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)水體對(duì)應(yīng)的臺(tái)體的高為，則水體對(duì)應(yīng)臺(tái)體的上底面是邊長(zhǎng)為的正方形，由臺(tái)體的體積公式可得，解得，故容器的高為，容器的容積為，故選：A.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則，，無(wú)法判斷ABC選項(xiàng)，，D對(duì).故選：D.6.某科技公司在人工智能領(lǐng)域逐年加大投入，根據(jù)近年來(lái)該公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)年投入額x（單位：百萬(wàn)元）與其年銷(xiāo)售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到散點(diǎn)圖如圖．用線(xiàn)性回歸和指數(shù)型回歸模型擬合y與x關(guān)系的決定系數(shù)分別為和，則根據(jù)參考數(shù)據(jù)，下列表達(dá)式中最適宜描述y與x之間關(guān)系的函數(shù)為（）參考公式：用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)方程的系數(shù)公式為．參考數(shù)據(jù)：令32.50.510126A. B. C. D.【答案】D【解析】由用線(xiàn)性回歸和指數(shù)型回歸模型擬合y與x關(guān)系的決定系數(shù)分別為和，得，則指數(shù)型回歸模型最適宜擬合y與x關(guān)系，排除AB；設(shè)y與x之間關(guān)系的函數(shù)為，兩邊取對(duì)數(shù)得，設(shè)，則，因此，，即，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D7.在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線(xiàn)的中點(diǎn)，圖中的截面邊界曲線(xiàn)（拋物線(xiàn)）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（）A. B.5 C.6 D.【答案】A【解析】在截面所在的平面中，以M為原點(diǎn)．MO為x軸，過(guò)M點(diǎn)與MO垂直的直線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，在直角三角形中，已知，，可得.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，在直角三角形中，斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，所以.設(shè)拋物線(xiàn)于底面圓的一個(gè)交點(diǎn)為H,由已知可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)為，不妨取.設(shè)拋物線(xiàn)方程為，把代入拋物線(xiàn)方程可得，即，解得.對(duì)于拋物線(xiàn)，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離就是的值，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.故選：A.8.函數(shù)在的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，則，令，，則，所以，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)，取得最大值，又，所以.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) B.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)存在最小值 D.函數(shù)不存在最大值【答案】BD【解析】已知函數(shù)，其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確.令，則或.由，解得；由，解得，.當(dāng)時(shí)，，的值在之間不斷變化.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).這說(shuō)明函數(shù)既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選：BD.10.如圖，四邊形是一個(gè)矩形，，，半圓面平面，動(dòng)點(diǎn)沿著半圓弧從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，B.總有平面平面C.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，二面角的正切值為D.三棱錐的外接球的體積先增后減【答案】ACD【解析】因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，，由圓的幾何性質(zhì)可知，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，這與矛盾，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，所以，，即二面角的正切值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球直徑為為定值，故三棱錐的外接球的體積為，D錯(cuò).故選：ACD.11.如圖所示，P，Q為數(shù)軸上兩點(diǎn)，初始位置的數(shù)字分別為2，0，它們每隔1秒鐘都在數(shù)軸上獨(dú)立地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知點(diǎn)P向左或向右移動(dòng)的概率均為；點(diǎn)Q向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為．分別記點(diǎn)P、Q在n秒后所在位置的數(shù)字為、，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)，即一秒后兩點(diǎn)的距離仍為2，所以同時(shí)往左或往右一步，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，即兩秒后兩點(diǎn)坐標(biāo)和仍為2，所以；或；或，而且向左向右的順序不影響結(jié)果，所以，，，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，即或時(shí)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由C可得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則實(shí)數(shù)______．【答案】12【解析】由雙曲線(xiàn)知，，，所以，解得.故答案為：1213.的末三位數(shù)是____________．【答案】481【解析】因，因是正整數(shù)，故被1000除之后得到的余數(shù)為，即的末三位數(shù)是481.故答案為：481.14.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上．若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【解析】令，由，得，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，整理得，即，因此，即，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得的n的最小值．解：（1）由數(shù)列的前n項(xiàng)和可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即得：，因此得．（2）因?yàn)?，所以?shù)列的前n項(xiàng)和關(guān)于n單調(diào)遞增，而，，因此，使得的n的最小值為4．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）設(shè)函數(shù)的最小值是2，求實(shí)數(shù)a的值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，將代入得：，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，因此，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，即：．（2）對(duì)求導(dǎo)：，①當(dāng)時(shí)，恒有，于是在上單調(diào)遞減，此時(shí)，無(wú)最小值；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)都有在上單調(diào)遞減；當(dāng)都有在上單調(diào)遞增因此在處取得最小值，依題意，，即：解得：．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2．17.如圖乙，在等邊中，D為上一點(diǎn)，且分別在邊上，．（1）如圖甲，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求；（2）求面積的最小值．解：（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，在中，，由余弦定理得：，得，于是，而，因此．（2）設(shè)，在中，由正弦定理，得，所以，在中，，同理，得，故，當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)的面積取得最小值，即．18.如圖甲，在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，將沿著翻折至，如圖乙．（1）當(dāng)二面角為時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）在翻折過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得平面平面，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P到平面的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）連結(jié)與交于點(diǎn)M，依題意，，于是四邊形和均為菱形，和等邊三角形，所以，又，于是在圖中，即為二面角平面角，即有，由余弦定理得：，所以．（2）平面平面的情況不存在．設(shè)平面平面，因?yàn)槠矫妫裕?，因此平面，即有平面，于是為二面角的平面角，因?yàn)?，所以在等腰中不可能等于直角，即平面平面的情況不存在．19.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓E上一點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）P是橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)A、B的任一點(diǎn)，設(shè)交直線(xiàn)于點(diǎn)交橢圓E于點(diǎn)Q．①證明：定值；②求面積的最大值．解：（1）