陜西省2025屆高考適應(yīng)性檢測（三）數(shù)學(xué)試卷

陜西省2025屆高考適應(yīng)性檢測（三）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025屆·陜西·三模]已知集合，，則()A. B. C. D.1．答案：C解析：由題意得，，則，則，故選：C.2．[2025屆·陜西·三模]命題：的否定為()A. B. C. D.2．答案：C解析：根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題“”的否定為“”.故選：C.3．[2025屆·陜西·三模]設(shè)，，其中i為虛數(shù)單位.則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．答案：A解析：因為，所以.令，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．[2025屆·陜西·三模]米斗是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來的稱量糧食的量器，早在先秦時期就有.如圖，是米斗中的一種，可盛10升米（1升）.已知該米斗的盛米部分為正四棱臺，上口寬為，下口寬，且，若，則該米斗的側(cè)棱與下底面所成角的正切值為()A. B. C.1 D.4．答案：B解析：設(shè)該米斗的高為，米斗的側(cè)棱與下底面所成角為，則，，解得.故選：B5．[2025屆·陜西·三模]已知圓，直線，則直線l與圓C的公共點個數(shù)為()A.0個 B.1個C.2個 D.與m有關(guān)，不能確定5．答案：C解析：直線，令，得即直線l恒過定點.由知，點A在圓C內(nèi)，故直線l恒與圓C相交，故選:C.6．[2025屆·陜西·三模]在圓內(nèi)接梯形中，，，，，則其外接圓的半徑為()A. B. C. D.6．答案：B解析：如圖，梯形內(nèi)接于圓O，則，因，則，故梯形為等腰梯形，則，所求即的外接圓的半徑.在中，由余弦定理可得，則，又由正弦定理，，即.故選：B.7．[2025屆·陜西·三模]某大型超市為了解顧客的購物習(xí)慣，對近期進入超市的1000名顧客進行了隨機調(diào)查.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有600名顧客在進入超市前已經(jīng)決定好了要購買的商品（稱為“計劃型顧客”），其余400名顧客則沒有特定的購買計劃（稱為“隨機型顧客”）.根據(jù)以往的銷售數(shù)據(jù)，“計劃型顧客”在超市的平均消費金額為200元，而“隨機型顧客”中，有的人平均消費金額為100元，另外的人平均消費金額為300元.若從該超市近期進入的顧客中隨機抽取1名，則這名顧客的平均消費金額不低于200元的概率，以及該顧客的平均消費金額分別為().A.概率為0.72，平均消費金額為210元 B.概率為0.88，平均消費金額為216元C.概率為0.88，平均消費金額為240元 D.概率為0.82，平均消費金額為230元7．答案：B解析：設(shè)事件A表示“抽取的顧客為計劃型顧客”，事件B表示“抽取的顧客的平均消費金額不低于200元”，事件表示“抽取的顧客為隨機型顧客”；，由于計劃型顧客的平均消費金額已經(jīng)為200元，所以；隨機抽取1名顧客，消費不低于200元的概率是：，設(shè)顧客的平均消費金額為X，則X的可能取值為100，200，300，則；；，期望為：.故選：B8．[2025屆·陜西·三模]已知函數(shù)定義為：，若函數(shù)恰好有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.8．答案：D解析：①當(dāng)時，要使有意義，故；方程為，平方得，，解得；顯然，解不等式得；在上滿足：當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)時，有兩個零點；②當(dāng)時，若，，函數(shù)有無窮個零點；當(dāng)時，方程，即，解得，令，即；即在上滿足：當(dāng)且時，有1個零點；當(dāng)時，有無窮個零點；當(dāng)時，沒有零點.綜上，當(dāng)時，有三個零點.故選：D.二、多項選擇題9．[2025屆·陜西·三模]甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績（單位：厘米）如下：甲組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263乙組：239，241，243，243，245，247，248，249，251，252則下列說法正確的是()A.甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是252B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是246C.從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為D.甲組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高9．答案：BCD解析：對于選項A，因為，所以甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第8個數(shù)，即253，故A錯誤；對于選項B，因為，所以乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個數(shù)與第6個數(shù)的平均數(shù)，即，故B正確；對于選項C，甲組中跳遠成績在250厘米以上的有7人，乙組中跳遠成績在250厘米以上的有2人，所以從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為，故C正確；對于選項D，甲組的平均成績?yōu)槔迕?，乙組的平均成績?yōu)槔迕?，所以將甲組中跳遠成績?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高，故D正確.故選：BCD.10．[2025屆·陜西·三模]設(shè)函數(shù)，則()A.是周期函數(shù) B.的圖象有對稱軸C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點中心對稱10．答案：ABD解析：由題意得，，故，定義域為，關(guān)于原點對稱；A選項，，是函數(shù)的一個周期，故A正確；B選項，，關(guān)于，故B正確；C選項，，；，顯然，故在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故C錯誤；D選項，，的圖象關(guān)于點中心對稱，D正確.故選：ABD.11．[2025屆·陜西·三模]在邊長為3的正方體中，動點M在棱上，動點N在棱上，滿足.以下對運動過程的描述，正確的是()A.存在，滿足B.存在，使與所成角的余弦值為C.點C到平面的距離為定值D.四面體的體積為定值11．答案：ABD解析：以點A為原點，，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.因為點M在上，故可設(shè)點M的坐標(biāo)為；點N在上，設(shè)點N的坐標(biāo)為，.所以，.因為，所以，得，因此，點N坐標(biāo)為，其中.若，則，故，又，，所以，所以，即存在，滿足，A正確；因為，，所以，若與所成角的余弦值為，則，化簡可得，所以，所以存在，使與所成角的余弦值為，B正確；設(shè)平面的法向量為，則，又，，所以，設(shè)，則，，所以為平面的一個法向量，又，所以點到平面的距離為，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故d不為定值，C錯誤；四面體，即三棱錐的底面的面積為定值，又平面，所以點N到平面的距離等于點C到平面的距離3，故三棱錐的體積恒為定值，故D正確.故選：ABD.三、填空題12．[2025屆·陜西·三模]若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是________.12．答案：解析：設(shè)為與的夾角，則，因為為銳角，所以，解得，且，所以的取值范圍是.故答案為：.13．[2025屆·陜西·三模]已知點M是拋物線上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A在圓上，則的最小值為________.13．答案：4解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為：過點M作準(zhǔn)線，垂足為N點M是拋物線的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A在圓，圓心，半徑當(dāng)N，M，C三點共線時，最小.14．[2025屆·陜西·三模]已知函數(shù)，則________.14．答案：2783解析：由知，設(shè)，則，對照系數(shù)，得，則，即，則，的圖象關(guān)于點中心對稱；故.即，故答案為：2783四、解答題15．[2025屆·陜西·三模]如圖1，梯形中，，過A，B分別作，，垂足分別E，F(xiàn).，，已知，將梯形沿，同側(cè)折起，得空間幾何體，如圖2.（1）若，證明：平面；（2）若，，線段上存在一點P，滿足與平面所成角的正弦值為，求的長.15．答案：（1）證明見解析；（2）.解析：1由已知得四邊形是正方形，且邊長為2，在圖2中，，由已知得，，平面又平面，，又，，平面（2）在圖2中，，，，即面，在梯形中，過點D作交于點M，連接，由題意得，，由勾股定理可得，則，，過E作交于點G，可知，，兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，由得，取得，設(shè)，則，得設(shè)與平面所成的角為，.所以16．[2025屆·陜西·三模]已知函數(shù).（1）經(jīng)過點作函數(shù)圖象的切線，求切線的方程；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的最小值.16．答案：（1）；（2）.解析：（1）由于，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，切線斜率；另一方面，故，此時切點坐標(biāo)為，所以切線方程為，即.（2）由已知，故.由于，故，由于在單調(diào)遞增，同時，，故存在使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即函數(shù)先減后增.故.由于，所以.17．[2025屆·陜西·三模]已知雙曲線的離心率為，直線與雙曲線C相交于A，B兩點.(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若以為直徑的圓過雙曲線C的左頂點，試判斷直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由；(3)設(shè)點M是滿足（2）的雙曲線C上的一個動點，過M分別作C的漸近線的兩條垂線，垂足分別為D，E，判斷的面積是否為定值；若是，求出該定值并證明；若不是，請說明理由.17．答案：(1)(2)過定點，定點為(3)為定值，定值為，證明見解析解析：（1）由，知，雙曲線C的漸近線方程為；（2）由，得，雙曲線C的方程為聯(lián)立方程組得，設(shè)，，則，，則，.因為，即，展開得即，即，，或.當(dāng)時，直線過，不符合題意，舍去；當(dāng)時，直線過定點.（3）由（1）知雙曲線C的兩條漸近線方程為和；設(shè)，有，即則，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，所以的面積，即的面積為定值，定值為.18．[2025屆·陜西·三模]無人駕駛被視為推動社會進步和改善生活質(zhì)量的重要工具，但其安全性和對勞動就業(yè)的影響也受到人們的質(zhì)疑.為了解某大學(xué)的學(xué)生對無人駕駛的態(tài)度，隨機調(diào)查了該校120名大學(xué)生（男女各60人），調(diào)查結(jié)果如下表所示：對無人駕駛的態(tài)度性別支持中立反對男36186女242115用樣本的頻率分布估計該校每名學(xué)生對無人駕駛態(tài)度的概率分布，且學(xué)生的態(tài)度相互獨立.為衡量學(xué)生對無人駕駛的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反對者得1分.(1)為判斷性別對無人駕駛的支持態(tài)度是否存在關(guān)聯(lián)，對上面數(shù)據(jù)重新整理形成下表，請補齊數(shù)據(jù)，并作出檢驗判斷：能否有的把握認(rèn)為性別與對無人駕駛的支持態(tài)度有關(guān)聯(lián)？對無人駕駛的態(tài)度性別支持不支持男ab女cd附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(2)從抽樣調(diào)查的60名男大學(xué)生中，按分層抽樣選10名學(xué)生進行深度追蹤訪談，求選出的3名男大學(xué)生對無人駕駛的支持態(tài)度各異的概率；(3)從該校任選n名學(xué)生，其中得分為5的學(xué)生人數(shù)為X，若，利用下面所給的兩個結(jié)論，求正整數(shù)n的最小值.結(jié)論一：若隨機變量，則隨機變量近似服從正態(tài)分布；結(jié)論二：若隨機變量，則，.18．答案：(1)數(shù)據(jù)見解析，有(2)(3)11解析：（1）如表，，，，對無人駕駛的態(tài)度支持不支持男3624女2436，有的把握認(rèn)為性別與對無人駕駛的支持態(tài)度有關(guān)聯(lián).（2）按分層抽樣從60名男生中選10名，其中支持、中立、反對的人數(shù)分別為：6、3、1，故從中選出3人態(tài)度各異的概率為；（3）由題可知從該校隨機選一名學(xué)生得5分的概率為，易知，設(shè)，根據(jù)結(jié)論一，知.再根據(jù)結(jié)論二，知.由條件知，所以，解得，所以正整數(shù)n的最小值為11.19．[2025屆·陜西·三模]在人工智能的訓(xùn)練過程中，數(shù)據(jù)預(yù)處理至關(guān)重要.現(xiàn)有一種“數(shù)據(jù)篩選器”工具，其功能為：對于一個無窮非負(fù)正整數(shù)數(shù)列，通過操作刪去其中除以A余數(shù)為B的所有項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非負(fù)正整數(shù)數(shù)列.設(shè)數(shù)列的通項公式，，通過“數(shù)據(jù)篩選器”工具對數(shù)列進行操作后得到，設(shè)前n項和為.(1)求；(2)是否存在不同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由；(3)若，，對數(shù)列進行操作得到，將數(shù)列中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項刪掉，剩下的項按從小到大排列后得到，再將的每一項都加上自身項數(shù)，最終得到，證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和.19．答案：(1)，(2)不存在，理由見解析(3)證明見解析解析：（1）由，知：，中除了除以4余2，其余各項