第二章-有限差分法初步.ppt

1、一、差商和差商。第二章：有限差分法的初步研究，1有限差分法的基本概念，(1)有限差分法的數(shù)學基礎是用差商代替差商。(1)導數(shù)的定義是一個連續(xù)函數(shù)，那么它的導數(shù)是：如果，(2.1)，等式(2.1)的右邊是一個有限差商。和不是零，在極限情況下，當、接近零時的差商稱為導數(shù)。以前，沒有達到零，只是一個近似值。逼近的過程被認為是從逼近到精確的過渡。兩者之差，表示差商而不是導數(shù)偏差。(ii)偏差-泰勒級數(shù)展開式，(2.2)，稍加整理后可寫成：(2.3)，可見且只能近似相等。偏差是：(iii)微分商和微分商的幾何意義。圖2-1微分商和微分商的比較。圖2.1顯示了微分商和微分商之間的關(guān)系。應該指出，用不同方法

2、得到的差商代替導數(shù)，它們帶來的偏差是不同的。右(前)差商：(iV)差商，(2.4)，左(后)差商，(2.5)，中心差商，取右差商和左差商的平均值，(2.6)，偏差分析，(2.6)，泰勒級數(shù)寫成：(2.7)，泰勒級數(shù)也可以寫成：(2.8)，(2.9)，(2.10)，get，(2.10)這些偏差是由泰勒級數(shù)展開中高階項的截斷引起的，這通常被稱為“截斷誤差”。則使用右差商和左差商來代替導數(shù)，并且截斷誤差是與、和數(shù)量級相同的小量；同樣大小的少量；中心差商的截斷誤差小于右差商或左差商。使用中心差商代替導數(shù)，截斷誤差與上面討論的相同：一階差商通常仍然是x的函數(shù)，并且可以獲得它們的差商。一階差商的差商稱為二

3、階差商，它是二階差商的近似值。右差商的左差商常用來近似二階差商，即：(v)二階差商，可根據(jù)方程(2.7) (2.8)，(2.12)求得。從方程(2.12)可知，二階差商的截斷誤差也是同階的小量。結(jié)論：用微分商代替微分商必然會帶來截斷誤差，用差分方程代替微分方程必然會帶來截斷誤差。這是有限差分法固有的。因此，當用有限差分法進行數(shù)值求解時，必須注意差分的組成和方程引起的誤差。第二，差分格式從微分形式開始，圖2.2給出了一個簡單的邊值問題。問題是找到圖2.2所示的邊值問題的解。數(shù)學表達式如下：方程：(2.13)，邊界條件：(2.14)、(2.15)、(2.15)、(2.16)，方程(2.13)、(2

4、.14)、(2.15)、(2.16)中固定解問題的解。在理解了問題的表述之后，差分格式的組成可以通過以下步驟來實現(xiàn)：(1)區(qū)域離散化方法，(2)差分格式的形成，(6)區(qū)域內(nèi)差分方程的建立，(3)邊界條件的差分形式，以及(1)區(qū)域的所謂離散化是將幾何上連續(xù)的區(qū)域分成一系列網(wǎng)格線。一般來說，網(wǎng)格的形式應該根據(jù)不同的幾何面積而不同。對于矩形區(qū)域，如圖2.2所示，矩形網(wǎng)格用于用五條水平網(wǎng)格線和五條垂直網(wǎng)格線分隔矩形區(qū)域。網(wǎng)線和網(wǎng)絡的交點這種從上到下、從左到右的排列也符合一般的寫作習慣。因此，計算問題經(jīng)常在計算機中使用。本章主要采用與坐標一致的排列方法。該區(qū)域中的節(jié)點稱為“內(nèi)部節(jié)點”，邊界上的節(jié)點稱為“

5、邊界節(jié)點”。如果圖2.2中所示的邊界是規(guī)則的，則節(jié)點要么在該區(qū)域中，要么正好落在邊界上。步長可以是恒定的，即相等的步長，或者在區(qū)域的不同部分可以是不同的，即可變的步長。如果該區(qū)域不同部分的溫度梯度變化很大，溫度急劇變化的地方網(wǎng)格布應該更密集。在溫度變化不劇烈的地方，網(wǎng)格布應稀疏。至于布置多少網(wǎng)格和適當?shù)牟介L，應根據(jù)具體問題確定，并考慮計算精度和計算工作量等因素。步驟：從物理角度來看，區(qū)域的離散化可以這樣理解，即相信該區(qū)域中的每個離散節(jié)點集中其周圍區(qū)域的熱容量(尺度是步長)，或者連續(xù)分布在該區(qū)域中的熱容量分別集中在離散節(jié)點上。這樣，一個節(jié)點的溫度代表其周圍區(qū)域的一些平均溫度。一系列離散的節(jié)點溫度

6、值代表連續(xù)區(qū)域中的溫度分布。在區(qū)域離散化物理理解：中，節(jié)點(I，j)處的溫度表示為。在最后一節(jié)中，我們簡要介紹了有限差分法的數(shù)學基礎，解釋了如何用差商代替導數(shù)以及由此產(chǎn)生的誤差。本文介紹了用差商代替導數(shù)處理熱傳導方程(2.13)并得到相應的差分方程的方法。等式(2.13)適用于該區(qū)域中的每個點，當然也適用于任何內(nèi)部節(jié)點(I，j)。換句話說，在(I，j)處有一個二階偏導數(shù)和，對應于這些二階偏導數(shù)的差商可以表示為：I=2，3，4；j=2，3，4，(2.17)，(2.18)，i=2，3，4；J=2，3，4，其中和之間的差表示相應的二階差商，二階偏導數(shù)的階為和。將等式(2.17)和(2.18)代入等式

7、(2.13)以獲得、(2.19)，并從等式(2.19)中移除項以獲得、(2.20)，I=2，3，4；J=2，3，4，方程(2.20)被稱為對應于方程(2.13)的差分方程。等式(2.20)改寫為：(2.21)，如果，則等式(2.21)改寫為：或、(2.22)，物理意義：一點(I，j)的溫度是其周圍四個點的平均值。因為差分方程(2.20)是通過從方程(2.19)中移除項而獲得的，所以移除的項被稱為差分方程(2.19)的截斷誤差。當和接近零時，差分方程的截斷誤差也接近零，即差分方程接近微分方程。我們稱這個近似差分方程與相應的微分方程“相容”。邊界條件和對流換熱邊界條件的差分形式如下：在方程(2.1

8、4)中，用t到x的前向差商代替t到x的一階偏導數(shù)，使方程(2.14)變成如下差分形式：這里引入用差商代替導數(shù)的方法，將定解問題中的各種邊界條件表示為差分形式。J=2，3，4，熱流邊界條件：(2.15)，將方程(2.15)中T到Y(jié)的一階偏導數(shù)替換為T到Y(jié)的前向差商，這樣方程(2.15)就變成了下面的差式：1，2，3，4，5；J=1，(2.24)，或，絕熱邊界條件：變成：I=5；J=2，3，4，(2.25)，(2.16)，給定溫度邊界條件：I=1，2，3，4，5；J=5，(2.26)，到目前為止，我們已經(jīng)用差分形式替換了所有節(jié)點的原始函數(shù)形式，包括內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點。對于內(nèi)部節(jié)點的差分形式，我們稱

9、之為差分方程，因為內(nèi)部節(jié)點的溫度是未知的。對于邊界節(jié)點的差分形式，當邊界節(jié)點的溫度未知時，它是一個差分方程。當給定邊界節(jié)點溫度時，就不能得到差分方程。然而，在實際應用中，人們對每個邊界節(jié)點只應屬于一個邊界條件。如圖2.2所示，i=1和j=5的節(jié)點僅屬于邊界條件表達式(2.16)。如果邊界節(jié)點不完全落在區(qū)域邊界上，它們需要特殊處理。(ii)對應于不同邊界的差分方程(2.23)，2.24)和(2.25)都是通過用一階前向差商替換一階導數(shù)而獲得的，即它們的截斷誤差是，或，數(shù)量級，比內(nèi)部節(jié)點差分方程的截斷誤差低一個數(shù)量級。這也是從微分形式建立差分格式的弱點。4.差分格式的構(gòu)成。由于方程(2.13)、(

10、2.14)、(2.15)、(2.16)、(2.17)中表達的方程和邊界條件是線性的，因此由此獲得的內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點的差分方程也是線性代數(shù)方程。所有節(jié)點的差分方程構(gòu)成一個線性代數(shù)方程組。在這個方程組中，方程的數(shù)量等于節(jié)點的數(shù)量。對于上面討論的例子，我們可以看到這個有25個節(jié)點的方程組只需要5個方程，即方程(2.21)、(2.23)、(2.24)、(2.25)和(2.26)，其中每個方程代表幾個節(jié)點方程。也就是說，在編寫方程時，不必寫出每個節(jié)點方程，而只需寫出幾個歸一化方程。因此，人們把由內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點的所有差分方程組成的歸一化線性代數(shù)方程組稱為“差分格式”。一般來說，差分格式以下列形式編寫

11、：(2.27)，其中n是節(jié)點數(shù)，即方程數(shù)，每個方程對應一個節(jié)點。和bi (i=1，2，n；J=1，2，n)是常數(shù)，等式(2.27)可以進一步以矩陣形式：2.28，寫入，其中，如果那些具有已知溫度節(jié)點的等式從等式中移除，則這樣形成的線性代數(shù)等式中的等式的數(shù)量等于具有未知溫度的節(jié)點的數(shù)量，即等式的未知數(shù)。這些方程也是差分格式。也可以寫成公式(2.28)?？傊?，用有限差分法對方程(2.13)、(2.14)、(2.15)、(2.16)和(2.17)組成的邊值問題的數(shù)值處理最終歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程(2.28)，方程的解是每個節(jié)點的溫度。如果整個區(qū)域有足夠多的節(jié)點，離散節(jié)點的溫度分布近似代替了該區(qū)域的連

12、續(xù)溫度分布。為了討論各種差分格式的優(yōu)缺點，最好寫出方程組(2.28)中的系數(shù)矩陣。然而，當我們開始編寫由等式(2.21)、(2.23)、(2.24)、(2.25)和(2.26)組成的代數(shù)方程組時，我們發(fā)現(xiàn)它占用了太多的空間，并導致打印困難。因此，為了書寫方便，采用了圖2.3所示的網(wǎng)格，并假設由所有節(jié)點組成的最終線性代數(shù)方程為：(2.29)，以矩陣形式表示：(2.30)，方程(2.29)或(2.30)形成差分格式。如果對應于已知溫度節(jié)點的方程，即方程1至3，從方程組中刪除，則方程(4.2.24)重寫為：(2.31)。通過比較等式(2.31)和等式(4.2.28)，可以獲得矩陣、的每個元素。在此，

13、特別提醒讀者在方程(2.31)和(2.28)中溫度T下角度碼的對應關(guān)系。在討論二維穩(wěn)態(tài)熱傳導問題時，人們習慣于用兩個角代碼(I，J)來表示節(jié)點位置和對應程度。(2)求解線性代數(shù)方程的直接方法。本文介紹了計算機中常用的求解線性代數(shù)方程的直接方法。眾所周知，只要線性方程組中矩陣的行列式為(2.32)，方程組(2.32)就有唯一的解，其表達式為：(2.33)，其中行列式的j列被右向量代替。這個公式是著名的卡梅爾法則。顯然，根據(jù)克萊姆定律求解方程(2.32)需要計算n階的n 1個行列式。每個n階行列式都是用直接展開法計算的，并且需要是(n-1)n！乘以乘法和n！子加法運算。當n=30時，總共需要完成大

14、約10次乘法和加法。這是一個非常驚人的數(shù)字，即使在一臺每秒執(zhí)行1億次運算的計算機上也不可能完成這一計算。因此，雖然這種方法也是一種直接的方法，在理論上是可行的，但在實踐中卻無法解決。即使用其他方法計算行列式，根據(jù)克萊姆定律求解的工作量也要比通常的直接法大得多。因此，克萊姆定律對數(shù)值計算沒有用處，只在一些特殊的場合有用。此外，矩陣求逆也是求解線性方程的一種常見方法。(2.34)，但在計算逆矩陣時，我們需要計算一個(n-1)階的行列式和一個(n)階的行列式。計算工作量也很大，對于n較大的情況沒有實際意義。計算機上常用的大多數(shù)直接解法都是基于系數(shù)矩陣的三角化。也就是說，這些方程首先被轉(zhuǎn)換成等價的(即

15、具有相同解的三角形方程)。由于解三角方程很容易，所以解原方程的問題就解決了。讓我們簡單討論一下這種方法。為了便于討論，我們首先描述了三角方程的解，然后描述了將原方程轉(zhuǎn)化為等價三角方程的方法。因為計算機的字長是有限的，而且每次運算后結(jié)果都是四舍五入的，雖然直接法理論上可以在有限的步驟內(nèi)得到精確的解，但計算機得到的實際結(jié)果只是近似解。三角方程的解所謂的三解方程是指以下兩種形式的方程：(2.35)，(2.36)，方程(2.35)稱為下三角方程，方程(2.36)稱為上三角方程。如果矩陣的符號可以寫成：其中L是由方程組(2.35)的系數(shù)構(gòu)成的下三角矩陣，它的元素滿足關(guān)系：U是由方程組(2.36)的系數(shù)構(gòu)

16、成的上三角矩陣，它的元素滿足關(guān)系：則三角方程組的解非常簡單。方程式組(2.35)的計算公式可歸納為：(2.37)，此計算過程通常只是一個向前推進的過程。對于方程組(2.36)，計算公式可歸納為：(2.38)，這一計算過程通常也稱為替代方程。從以上分析可以看出，只要將方程轉(zhuǎn)化為等價的三角方程，求解就很容易。2。高斯消去法提出已久，是一種古老的方法。然而，近年來在計算機上求解線性代數(shù)方程的實踐表明，它仍然是直接法中最常用的方法，也是最有效的方法之一?；舅枷胧峭ㄟ^一個接一個地消除一個未知方程，將原始方程轉(zhuǎn)換成等價的(具有相同解的)三角形方程。這樣，解決方案非常簡單。假設所需的n階線性方程(2.32)被重寫為以下形式：(2.39)，矩陣符號被記錄為，其中是方陣和向量，它們分別是：以下n-1方程中的未知量可以通過減去第一個方程乘以原始方程的第二個方程，減去第一個方程乘以第