第二章-有限差分法初步.ppt

1、一、差商和差商。第二章：有限差分法的初步研究，1有限差分法的基本概念，(1)有限差分法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是用差商代替差商。(1)導(dǎo)數(shù)的定義是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)是：如果，(2.1)，等式(2.1)的右邊是一個(gè)有限差商。和不是零，在極限情況下，當(dāng)、接近零時(shí)的差商稱為導(dǎo)數(shù)。以前，沒(méi)有達(dá)到零，只是一個(gè)近似值。逼近的過(guò)程被認(rèn)為是從逼近到精確的過(guò)渡。兩者之差，表示差商而不是導(dǎo)數(shù)偏差。(ii)偏差-泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，(2.2)，稍加整理后可寫成：(2.3)，可見(jiàn)且只能近似相等。偏差是：(iii)微分商和微分商的幾何意義。圖2-1微分商和微分商的比較。圖2.1顯示了微分商和微分商之間的關(guān)系。應(yīng)該指出，用不同方法

2、得到的差商代替導(dǎo)數(shù)，它們帶來(lái)的偏差是不同的。右(前)差商：(iV)差商，(2.4)，左(后)差商，(2.5)，中心差商，取右差商和左差商的平均值，(2.6)，偏差分析，(2.6)，泰勒級(jí)數(shù)寫成：(2.7)，泰勒級(jí)數(shù)也可以寫成：(2.8)，(2.9)，(2.10)，get，(2.10)這些偏差是由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)中高階項(xiàng)的截?cái)嘁鸬模@通常被稱為“截?cái)嗾`差”。則使用右差商和左差商來(lái)代替導(dǎo)數(shù)，并且截?cái)嗾`差是與、和數(shù)量級(jí)相同的小量；同樣大小的少量；中心差商的截?cái)嗾`差小于右差商或左差商。使用中心差商代替導(dǎo)數(shù)，截?cái)嗾`差與上面討論的相同：一階差商通常仍然是x的函數(shù)，并且可以獲得它們的差商。一階差商的差商稱為二

3、階差商，它是二階差商的近似值。右差商的左差商常用來(lái)近似二階差商，即：(v)二階差商，可根據(jù)方程(2.7) (2.8)，(2.12)求得。從方程(2.12)可知，二階差商的截?cái)嗾`差也是同階的小量。結(jié)論：用微分商代替微分商必然會(huì)帶來(lái)截?cái)嗾`差，用差分方程代替微分方程必然會(huì)帶來(lái)截?cái)嗾`差。這是有限差分法固有的。因此，當(dāng)用有限差分法進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，必須注意差分的組成和方程引起的誤差。第二，差分格式從微分形式開(kāi)始，圖2.2給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的邊值問(wèn)題。問(wèn)題是找到圖2.2所示的邊值問(wèn)題的解。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：方程：(2.13)，邊界條件：(2.14)、(2.15)、(2.15)、(2.16)，方程(2.13)、(2

4、.14)、(2.15)、(2.16)中固定解問(wèn)題的解。在理解了問(wèn)題的表述之后，差分格式的組成可以通過(guò)以下步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)：(1)區(qū)域離散化方法，(2)差分格式的形成，(6)區(qū)域內(nèi)差分方程的建立，(3)邊界條件的差分形式，以及(1)區(qū)域的所謂離散化是將幾何上連續(xù)的區(qū)域分成一系列網(wǎng)格線。一般來(lái)說(shuō)，網(wǎng)格的形式應(yīng)該根據(jù)不同的幾何面積而不同。對(duì)于矩形區(qū)域，如圖2.2所示，矩形網(wǎng)格用于用五條水平網(wǎng)格線和五條垂直網(wǎng)格線分隔矩形區(qū)域。網(wǎng)線和網(wǎng)絡(luò)的交點(diǎn)這種從上到下、從左到右的排列也符合一般的寫作習(xí)慣。因此，計(jì)算問(wèn)題經(jīng)常在計(jì)算機(jī)中使用。本章主要采用與坐標(biāo)一致的排列方法。該區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)稱為“內(nèi)部節(jié)點(diǎn)”，邊界上的節(jié)點(diǎn)稱為“

5、邊界節(jié)點(diǎn)”。如果圖2.2中所示的邊界是規(guī)則的，則節(jié)點(diǎn)要么在該區(qū)域中，要么正好落在邊界上。步長(zhǎng)可以是恒定的，即相等的步長(zhǎng)，或者在區(qū)域的不同部分可以是不同的，即可變的步長(zhǎng)。如果該區(qū)域不同部分的溫度梯度變化很大，溫度急劇變化的地方網(wǎng)格布應(yīng)該更密集。在溫度變化不劇烈的地方，網(wǎng)格布應(yīng)稀疏。至于布置多少網(wǎng)格和適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題確定，并考慮計(jì)算精度和計(jì)算工作量等因素。步驟：從物理角度來(lái)看，區(qū)域的離散化可以這樣理解，即相信該區(qū)域中的每個(gè)離散節(jié)點(diǎn)集中其周圍區(qū)域的熱容量(尺度是步長(zhǎng))，或者連續(xù)分布在該區(qū)域中的熱容量分別集中在離散節(jié)點(diǎn)上。這樣，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度代表其周圍區(qū)域的一些平均溫度。一系列離散的節(jié)點(diǎn)溫度

6、值代表連續(xù)區(qū)域中的溫度分布。在區(qū)域離散化物理理解：中，節(jié)點(diǎn)(I，j)處的溫度表示為。在最后一節(jié)中，我們簡(jiǎn)要介紹了有限差分法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，解釋了如何用差商代替導(dǎo)數(shù)以及由此產(chǎn)生的誤差。本文介紹了用差商代替導(dǎo)數(shù)處理熱傳導(dǎo)方程(2.13)并得到相應(yīng)的差分方程的方法。等式(2.13)適用于該區(qū)域中的每個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然也適用于任何內(nèi)部節(jié)點(diǎn)(I，j)。換句話說(shuō)，在(I，j)處有一個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)和，對(duì)應(yīng)于這些二階偏導(dǎo)數(shù)的差商可以表示為：I=2，3，4；j=2，3，4，(2.17)，(2.18)，i=2，3，4；J=2，3，4，其中和之間的差表示相應(yīng)的二階差商，二階偏導(dǎo)數(shù)的階為和。將等式(2.17)和(2.18)代入等式

7、(2.13)以獲得、(2.19)，并從等式(2.19)中移除項(xiàng)以獲得、(2.20)，I=2，3，4；J=2，3，4，方程(2.20)被稱為對(duì)應(yīng)于方程(2.13)的差分方程。等式(2.20)改寫為：(2.21)，如果，則等式(2.21)改寫為：或、(2.22)，物理意義：一點(diǎn)(I，j)的溫度是其周圍四個(gè)點(diǎn)的平均值。因?yàn)椴罘址匠?2.20)是通過(guò)從方程(2.19)中移除項(xiàng)而獲得的，所以移除的項(xiàng)被稱為差分方程(2.19)的截?cái)嗾`差。當(dāng)和接近零時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也接近零，即差分方程接近微分方程。我們稱這個(gè)近似差分方程與相應(yīng)的微分方程“相容”。邊界條件和對(duì)流換熱邊界條件的差分形式如下：在方程(2.1

8、4)中，用t到x的前向差商代替t到x的一階偏導(dǎo)數(shù)，使方程(2.14)變成如下差分形式：這里引入用差商代替導(dǎo)數(shù)的方法，將定解問(wèn)題中的各種邊界條件表示為差分形式。J=2，3，4，熱流邊界條件：(2.15)，將方程(2.15)中T到Y(jié)的一階偏導(dǎo)數(shù)替換為T到Y(jié)的前向差商，這樣方程(2.15)就變成了下面的差式：1，2，3，4，5；J=1，(2.24)，或，絕熱邊界條件：變成：I=5；J=2，3，4，(2.25)，(2.16)，給定溫度邊界條件：I=1，2，3，4，5；J=5，(2.26)，到目前為止，我們已經(jīng)用差分形式替換了所有節(jié)點(diǎn)的原始函數(shù)形式，包括內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)。對(duì)于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的差分形式，我們稱

9、之為差分方程，因?yàn)閮?nèi)部節(jié)點(diǎn)的溫度是未知的。對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)的差分形式，當(dāng)邊界節(jié)點(diǎn)的溫度未知時(shí)，它是一個(gè)差分方程。當(dāng)給定邊界節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)，就不能得到差分方程。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，人們對(duì)每個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)只應(yīng)屬于一個(gè)邊界條件。如圖2.2所示，i=1和j=5的節(jié)點(diǎn)僅屬于邊界條件表達(dá)式(2.16)。如果邊界節(jié)點(diǎn)不完全落在區(qū)域邊界上，它們需要特殊處理。(ii)對(duì)應(yīng)于不同邊界的差分方程(2.23)，2.24)和(2.25)都是通過(guò)用一階前向差商替換一階導(dǎo)數(shù)而獲得的，即它們的截?cái)嗾`差是，或，數(shù)量級(jí)，比內(nèi)部節(jié)點(diǎn)差分方程的截?cái)嗾`差低一個(gè)數(shù)量級(jí)。這也是從微分形式建立差分格式的弱點(diǎn)。4.差分格式的構(gòu)成。由于方程(2.13)、(

10、2.14)、(2.15)、(2.16)、(2.17)中表達(dá)的方程和邊界條件是線性的，因此由此獲得的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程也是線性代數(shù)方程。所有節(jié)點(diǎn)的差分方程構(gòu)成一個(gè)線性代數(shù)方程組。在這個(gè)方程組中，方程的數(shù)量等于節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。對(duì)于上面討論的例子，我們可以看到這個(gè)有25個(gè)節(jié)點(diǎn)的方程組只需要5個(gè)方程，即方程(2.21)、(2.23)、(2.24)、(2.25)和(2.26)，其中每個(gè)方程代表幾個(gè)節(jié)點(diǎn)方程。也就是說(shuō)，在編寫方程時(shí)，不必寫出每個(gè)節(jié)點(diǎn)方程，而只需寫出幾個(gè)歸一化方程。因此，人們把由內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的所有差分方程組成的歸一化線性代數(shù)方程組稱為“差分格式”。一般來(lái)說(shuō)，差分格式以下列形式編寫

11、：(2.27)，其中n是節(jié)點(diǎn)數(shù)，即方程數(shù)，每個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)。和bi (i=1，2，n；J=1，2，n)是常數(shù)，等式(2.27)可以進(jìn)一步以矩陣形式：2.28，寫入，其中，如果那些具有已知溫度節(jié)點(diǎn)的等式從等式中移除，則這樣形成的線性代數(shù)等式中的等式的數(shù)量等于具有未知溫度的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，即等式的未知數(shù)。這些方程也是差分格式。也可以寫成公式(2.28)。總之，用有限差分法對(duì)方程(2.13)、(2.14)、(2.15)、(2.16)和(2.17)組成的邊值問(wèn)題的數(shù)值處理最終歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程(2.28)，方程的解是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度。如果整個(gè)區(qū)域有足夠多的節(jié)點(diǎn)，離散節(jié)點(diǎn)的溫度分布近似代替了該區(qū)域的連

12、續(xù)溫度分布。為了討論各種差分格式的優(yōu)缺點(diǎn)，最好寫出方程組(2.28)中的系數(shù)矩陣。然而，當(dāng)我們開(kāi)始編寫由等式(2.21)、(2.23)、(2.24)、(2.25)和(2.26)組成的代數(shù)方程組時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)它占用了太多的空間，并導(dǎo)致打印困難。因此，為了書(shū)寫方便，采用了圖2.3所示的網(wǎng)格，并假設(shè)由所有節(jié)點(diǎn)組成的最終線性代數(shù)方程為：(2.29)，以矩陣形式表示：(2.30)，方程(2.29)或(2.30)形成差分格式。如果對(duì)應(yīng)于已知溫度節(jié)點(diǎn)的方程，即方程1至3，從方程組中刪除，則方程(4.2.24)重寫為：(2.31)。通過(guò)比較等式(2.31)和等式(4.2.28)，可以獲得矩陣、的每個(gè)元素。在此，

13、特別提醒讀者在方程(2.31)和(2.28)中溫度T下角度碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在討論二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，人們習(xí)慣于用兩個(gè)角代碼(I，J)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)位置和對(duì)應(yīng)程度。(2)求解線性代數(shù)方程的直接方法。本文介紹了計(jì)算機(jī)中常用的求解線性代數(shù)方程的直接方法。眾所周知，只要線性方程組中矩陣的行列式為(2.32)，方程組(2.32)就有唯一的解，其表達(dá)式為：(2.33)，其中行列式的j列被右向量代替。這個(gè)公式是著名的卡梅爾法則。顯然，根據(jù)克萊姆定律求解方程(2.32)需要計(jì)算n階的n 1個(gè)行列式。每個(gè)n階行列式都是用直接展開(kāi)法計(jì)算的，并且需要是(n-1)n！乘以乘法和n！子加法運(yùn)算。當(dāng)n=30時(shí)，總共需要完成大

14、約10次乘法和加法。這是一個(gè)非常驚人的數(shù)字，即使在一臺(tái)每秒執(zhí)行1億次運(yùn)算的計(jì)算機(jī)上也不可能完成這一計(jì)算。因此，雖然這種方法也是一種直接的方法，在理論上是可行的，但在實(shí)踐中卻無(wú)法解決。即使用其他方法計(jì)算行列式，根據(jù)克萊姆定律求解的工作量也要比通常的直接法大得多。因此，克萊姆定律對(duì)數(shù)值計(jì)算沒(méi)有用處，只在一些特殊的場(chǎng)合有用。此外，矩陣求逆也是求解線性方程的一種常見(jiàn)方法。(2.34)，但在計(jì)算逆矩陣時(shí)，我們需要計(jì)算一個(gè)(n-1)階的行列式和一個(gè)(n)階的行列式。計(jì)算工作量也很大，對(duì)于n較大的情況沒(méi)有實(shí)際意義。計(jì)算機(jī)上常用的大多數(shù)直接解法都是基于系數(shù)矩陣的三角化。也就是說(shuō)，這些方程首先被轉(zhuǎn)換成等價(jià)的(即

15、具有相同解的三角形方程)。由于解三角方程很容易，所以解原方程的問(wèn)題就解決了。讓我們簡(jiǎn)單討論一下這種方法。為了便于討論，我們首先描述了三角方程的解，然后描述了將原方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)三角方程的方法。因?yàn)橛?jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的，而且每次運(yùn)算后結(jié)果都是四舍五入的，雖然直接法理論上可以在有限的步驟內(nèi)得到精確的解，但計(jì)算機(jī)得到的實(shí)際結(jié)果只是近似解。三角方程的解所謂的三解方程是指以下兩種形式的方程：(2.35)，(2.36)，方程(2.35)稱為下三角方程，方程(2.36)稱為上三角方程。如果矩陣的符號(hào)可以寫成：其中L是由方程組(2.35)的系數(shù)構(gòu)成的下三角矩陣，它的元素滿足關(guān)系：U是由方程組(2.36)的系數(shù)構(gòu)

16、成的上三角矩陣，它的元素滿足關(guān)系：則三角方程組的解非常簡(jiǎn)單。方程式組(2.35)的計(jì)算公式可歸納為：(2.37)，此計(jì)算過(guò)程通常只是一個(gè)向前推進(jìn)的過(guò)程。對(duì)于方程組(2.36)，計(jì)算公式可歸納為：(2.38)，這一計(jì)算過(guò)程通常也稱為替代方程。從以上分析可以看出，只要將方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的三角方程，求解就很容易。2。高斯消去法提出已久，是一種古老的方法。然而，近年來(lái)在計(jì)算機(jī)上求解線性代數(shù)方程的實(shí)踐表明，它仍然是直接法中最常用的方法，也是最有效的方法之一?；舅枷胧峭ㄟ^(guò)一個(gè)接一個(gè)地消除一個(gè)未知方程，將原始方程轉(zhuǎn)換成等價(jià)的(具有相同解的)三角形方程。這樣，解決方案非常簡(jiǎn)單。假設(shè)所需的n階線性方程(2.32)被重寫為以下形式：(2.39)，矩陣符號(hào)被記錄為，其中是方陣和向量，它們分別是：以下n-1方程中的未知量可以通過(guò)減去第一個(gè)方程乘以原始方程的第二個(gè)方程，減去第一個(gè)方程乘以第