概率1.3.ppt

1、20.6.20,1.3 概 率,隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是一個(gè)客觀存在的量.,概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的客觀度量.,例如,拋硬幣試驗(yàn),摸球試驗(yàn),一、概率,事件A出現(xiàn)的概率（ Probability）記為P(A).,20.6.20,如何計(jì)算概率？怎樣客觀量度隨機(jī)事件發(fā)生可能性大?。?二、頻率,定義：在相同條件下，進(jìn)行n 次試驗(yàn)，事件A 發(fā)生了m 次，稱(chēng)比值,為事件A發(fā)生的頻率.,頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生可能性的大小.,20.6.20,拋硬幣試驗(yàn),例如：,頻率具有穩(wěn)定性：在一定條件下，頻率穩(wěn)定于概率.,頻率可能因人因時(shí)或試驗(yàn)次數(shù)的變化而改變.,20.6.20,定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),

2、若它滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：,例如：,拋硬幣試驗(yàn),產(chǎn)品抽檢試驗(yàn),(1) 僅有有限多個(gè)基本事件；,則稱(chēng)E 為古典概型試驗(yàn).,(2) 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.,三、古典概率,20.6.20,定義 設(shè)試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，Ai， i=1,2,n是基本事件,則由,所確定的概率稱(chēng)為事件A的古典概率.,20.6.20,例如：,注：在古典概率的計(jì)算中常用到排列組合的知識(shí)，如乘法原理、加法原理等等。,賭金分配,擲骰子,鴿籠問(wèn)題,古典概率具有如下三個(gè)性質(zhì)：,(1) 對(duì)任意事件A，有0P (A)1；,(2) P (W )=1；,摸彩試驗(yàn),20.6.20,(3) 若A1，A2，Am互不相容，則,證明 和事件所含基本

3、件數(shù)為ki, 且,P(Ai)=ki /n , n=1,2, .m ,故,P (Ai)= ki /n =( ki )/n =,（和的概率等于概率之和）,20.6.20,定義：設(shè)E的樣本空間為W，對(duì)于E 的每個(gè)事件A均對(duì)應(yīng)于唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，其對(duì)應(yīng)規(guī)則為,1. (非負(fù)性) 對(duì)任一事件A, 有0P(A)1;,2. (規(guī)范性) P(W )=1;,五 概率的公理化定義,頻率不是概率；,古典概率局限性；,用抽象化方法定義概率.,20.6.20,3. (可列可加性) E 的事件列A1, A2, , 互不相容,則,由公理化定義可以得到如下重要性質(zhì):,稱(chēng)P(A)是A 的概率.,1. 不可能事件的概率為

4、0, 即P(f )=0;,20.6.20,證明：,P(f )=0.,2. (有限可加性) 若試驗(yàn)E的事件組 A1,A2, Am互不相容,則有,20.6.20,3. 對(duì)立事件概率之和為1, 即,證明,證明,A,20.6.20,有用結(jié)論：,由概率的有限可加性，得,20.6.20,概率加法定理: 對(duì)試驗(yàn)E 的任意兩個(gè)事件A 和B 有,AB,概率的公理化定義及性質(zhì),為概率的計(jì)算提供了更完善的理論依據(jù).,20.6.20,例如：,抽檢試驗(yàn),抽簽問(wèn)題,20.6.20,例1 拋一枚均勻硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況.,通過(guò)實(shí)踐與分析可得：硬幣出現(xiàn)正面的可能性等于它出現(xiàn)反面的可能性.,#,20.6.20,

5、例2 從 10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼 1, 2, 10 的小球中任取一個(gè), 記錄所得小球的號(hào)碼.,在一定條件下摸出任一號(hào)碼的小球的可能性是相同的，這是客觀存在的事實(shí).,#,1,2,3,10,9,8,7,6,5,4,?,20.6.20,例3 拋一枚均勻硬幣, 觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況.,質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正反面具有等可能性.,歷史上幾位著名科學(xué)家實(shí)際實(shí)驗(yàn)記錄結(jié)果如下：,#,20.6.20,例6 故事發(fā)生在十七世紀(jì)中葉，法國(guó)貴族德美黑熱衷于賭博，經(jīng)常遇到賭資分配問(wèn)題。他曾寫(xiě)信向當(dāng)時(shí)法國(guó)的大數(shù)學(xué)家Pascal 請(qǐng)教問(wèn)題：,假如一場(chǎng)比賽中先勝6局才算贏，兩個(gè)賭徒 在一人勝五局，另一人勝兩局的情況下中斷賭 博

6、，如何分配賭金？,20.6.20,Pascal 和當(dāng)時(shí)第一流的數(shù)學(xué)家 Fermat 研究了此問(wèn)題，得到正確的解答：15 : 1.,有兩種方案 5:2； 10:1；,依據(jù),#,20.6.20,例7 拋一枚質(zhì)量分布均勻的硬幣， 觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況.,是一個(gè)古典概型的隨機(jī)試驗(yàn).,因?yàn)樵撛囼?yàn)的基本事件只有兩個(gè)： w1=出現(xiàn)正面H, w2=出現(xiàn)反面T.,而且基本事件w1、 w2發(fā)生的可能性相等.,#,20.6.20,例8 非古典概型試驗(yàn),E5 檢查N件產(chǎn)品中的次品個(gè)數(shù), 因基本事件,Ai =次品個(gè)數(shù)為i，i= 0,1,2, ,N.,出現(xiàn)的可能性不均等.,故 E5 、 E6 都不是古典概型試驗(yàn)

7、.,#,E6 儀器上某種型號(hào)的電子元件使用時(shí)間已達(dá)30小時(shí)，測(cè)該元件還能使用多少小時(shí)？,它的樣本空間有無(wú)數(shù)多個(gè)樣本點(diǎn),例9 :將兩顆均勻骰子拋擲一次,求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和小于6的概率.,20.6.20,解:設(shè)=(1,1)(1,2)(6,6) A=兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和小于6,p(A)=10/36=5/18,20.6.20,3）其中僅有第一個(gè)賭徒四局皆輸，第二個(gè)賭徒才可能贏.,例10 假如一場(chǎng)比賽中勝6局才算贏，兩個(gè)賭徒 在一個(gè)勝五局，另一個(gè)勝兩局的情況下中斷賭 博，如何分配賭金？,分析：,1）設(shè)想再進(jìn)行4 局比賽即一定可結(jié)束；,2）共有24 種可能情況，每一種情況出現(xiàn) 是等可能的；,20.6.20,1

8、6種可能情況中,僅有“第一個(gè)賭徒四局皆輸” 一種情況有利于第二個(gè)賭徒，故,P1 =15/16, P1 =1/16,15 : 1,結(jié)論,#,20.6.20,例11 一個(gè)鴿場(chǎng)養(yǎng)了n只鴿子，每只鴿子都等可能的飛入N個(gè)鴿籠中的任意一個(gè)去住( nN )求下事件發(fā)生的概率.,1）A=指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子去??；,2）B=恰好有n個(gè)鴿籠，每個(gè)各有一只鴿子；,3）C=某指定的鴿籠中有m（mn）只鴿子；,4）D=有一個(gè)鴿籠中有m（mn）只鴿子；,20.6.20,也可以利用排列組合的知識(shí)求出樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù).,解：由乘法原理可知，基本事件總數(shù)為N n,指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子，有n!個(gè)不同

9、的住法.故,分析：計(jì)算古典概率時(shí),若能將樣本點(diǎn)全部 列出，再來(lái)計(jì)算所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù),20.6.20,指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子，有n !個(gè)不 同的住法.故,20.6.20,#,籠中，住法有(N-1)n-m 種，故,4)同理可得：,20.6.20,例12 設(shè)袋中有10個(gè)球，其中有4個(gè)紅球， 6個(gè)白球，從袋中任取 5 個(gè)球，問(wèn)其中 恰有2個(gè)紅球的概率.,解 令A(yù)m=抽出的10個(gè)球中恰有2個(gè)紅球,從袋中取出 5 個(gè)球，將每一種組合方式看成一個(gè)樣本點(diǎn)，則,基本事件總數(shù)=,20.6.20,Am 所含樣本數(shù)為,從而,#,20.6.20,例14 設(shè)50件產(chǎn)品中有5件是次品，其余的是合格品，從中任取3件

10、，求選到的3件產(chǎn)品中有次品的概率.,解法一 設(shè)A=選到的3件產(chǎn)品中有次品，,所以有,有 A =A1A2 A3，且A1, A2, A3互不相容，,Ai =選到的3件產(chǎn)品中有i 件次品 ，i =1,2,3.,20.6.20,解法二 考慮A的對(duì)立事件,從而,#,有,20.6.20,例15 將5個(gè)球隨意地放入三只盒子，求每個(gè) 盒子中至少有一個(gè)球的概率。,分析 此題直接采用古典概率定義去做會(huì)很 困難，現(xiàn)借助于另一組事件來(lái)計(jì)算.,解 設(shè) A=每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球,則 A =,Bi =第 i 個(gè)盒子是空的，i =1，2，3.,P(A)=P( )=1P(B1 B2 B3),20.6.20,=1P(B1) P(B2) P(B3) P(B1B2) P(B1B3) P(B2B3) P(B1B2B3),有 P(Bi) =25/35, i=1,2,3;,P(BiBj)=1/35, 1ij3;,P(B1B2B3)=0 (為什么？),故 P(A) =13(2/3)53(1/3)5 =50/81=0.6173,#,20.6.20,例12 （P15, 例1.2.8）從12000中任取一 整數(shù)，求取到的整數(shù)能被6或者8整除的概率。,解 設(shè)A