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1、難點(diǎn)16 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡(jiǎn)和求值問(wèn)題的解題規(guī)律和途徑,特別是要掌握化簡(jiǎn)和求值的一些常規(guī)技巧,以?xún)?yōu)化我們的解題效果,做到事半功倍.難點(diǎn)磁場(chǎng)()已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.案例探究例1不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.命題意圖:本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法,對(duì)計(jì)算能力的要求較高.屬于級(jí)題目.知識(shí)依托:熟知三角公式并能靈活應(yīng)用.錯(cuò)解分析:公式不熟,計(jì)算易出錯(cuò).技巧與方法:解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形;解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,使解法更簡(jiǎn)單更精妙,需認(rèn)
2、真體會(huì).解法一:sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二:設(shè)x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80,則x+y=1+1sin60=,xy=cos40+cos160+sin100=2
3、sin100sin60+sin100=0x=y=,即x=sin220+cos280+sin20cos80=.例2設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿(mǎn)足f(a)=的a值,并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值.命題意圖:本題主要考查最值問(wèn)題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力.屬級(jí)題目知識(shí)依托:二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題.錯(cuò)解分析:考生不易考查三角函數(shù)的有界性,對(duì)區(qū)間的分類(lèi)易出錯(cuò).技巧與方法:利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題,還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)講座等.解:由y=2(cosx)2及cosx1,1得:f(a)f(a)=,14a=a=
4、2,+故2a1=,解得:a=1,此時(shí),y=2(cosx+)2+,當(dāng)cosx=1時(shí),即x=2k,kZ,ymax=5.例3已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值;(3)若當(dāng)x,時(shí),f(x)的反函數(shù)為f1(x),求f-1(1)的值.命題意圖:本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識(shí),還考查計(jì)算變形能力,綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,屬級(jí)題目.知識(shí)依托:熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識(shí).錯(cuò)解分析:在求f-1(1)的值時(shí)易走彎路.技巧與方法:等價(jià)轉(zhuǎn)化,逆向思維.解:(1)f(x
5、)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)當(dāng)2x+=2k,即x=k (kZ)時(shí),f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1,又x,2x+,2x+=,則x=,故f-1(1)= .錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題以及解決的方法主要有:1.求值問(wèn)題的基本類(lèi)型:1給角求值,2給值求值,3給式求值,4求函數(shù)式的最值或值域,5化簡(jiǎn)求值.2.技巧與方法:1要尋求角與角關(guān)系的特殊性,化非特角為特殊角,熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式.2注意切割化弦、異
6、角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用.3對(duì)于條件求值問(wèn)題,要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系,尋找解題的突破口,很難入手的問(wèn)題,可利用分析法.4求最值問(wèn)題,常用配方法、換元法來(lái)解決.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的兩根均tan、tan,且,(),則tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2二、填空題2.()已知sin=,(,),tan()= ,則tan(2)=_.3.()設(shè)(),(0,),cos()=,sin(+)=,則sin(+)=_.三、解答題4.不查表求值:5.已知cos(+x)=,(x),求的值.6.()已知=,且k(kZ).求的最大值及
7、最大值時(shí)的條件.7.()如右圖,扇形OAB的半徑為1,中心角60,四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形,當(dāng)其面積最大時(shí),求點(diǎn)P的位置,并求此最大面積.8.()已知cos+sin=,sin+cos的取值范圍是D,xD,求函數(shù)y=的最小值,并求取得最小值時(shí)x的值.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解法一:,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二:sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析:a1,tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又
8、、(,)、(,),則(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0.解得tan=2.答案:B2.解析:sin=,(,),cos=則tan=,又tan()=可得tan=,答案:3.解析:(),(0, ),又cos()=.答案:三、4.答案:2(kZ), (kZ)當(dāng)即(kZ)時(shí),的最小值為1.7.解:以O(shè)A為x軸.O為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,并設(shè)P的坐標(biāo)為(cos,sin),則PS=sin.直線(xiàn)OB的方程為y=x,直線(xiàn)PQ的方程為y=sin.聯(lián)立解之得Q(sin;sin),所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)= sin(2+).0,2+.sin(2+)1.s
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