高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)16 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

1、難點(diǎn)16 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡(jiǎn)和求值問(wèn)題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡(jiǎn)和求值的一些常規(guī)技巧，以?xún)?yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍.難點(diǎn)磁場(chǎng)()已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.案例探究例1不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高.屬于級(jí)題目.知識(shí)依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用.錯(cuò)解分析：公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò).技巧與方法：解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)

2、真體會(huì).解法一：sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：設(shè)x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，則x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2

3、sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.例2設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿(mǎn)足f(a)=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值.命題意圖：本題主要考查最值問(wèn)題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力.屬級(jí)題目知識(shí)依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題.錯(cuò)解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類(lèi)易出錯(cuò).技巧與方法：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)講座等.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=

4、2,+故2a1=，解得：a=1，此時(shí)，y=2(cosx+)2+，當(dāng)cosx=1時(shí)，即x=2k，kZ，ymax=5.例3已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；(3)若當(dāng)x，時(shí)，f(x)的反函數(shù)為f1(x)，求f-1(1)的值.命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識(shí)，還考查計(jì)算變形能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識(shí).錯(cuò)解分析：在求f-1(1)的值時(shí)易走彎路.技巧與方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化，逆向思維.解：(1)f(x

5、)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)當(dāng)2x+=2k，即x=k (kZ)時(shí)，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，則x=，故f-1(1)= .錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題以及解決的方法主要有：1.求值問(wèn)題的基本類(lèi)型：1給角求值，2給值求值，3給式求值，4求函數(shù)式的最值或值域，5化簡(jiǎn)求值.2.技巧與方法：1要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式.2注意切割化弦、異

6、角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用.3對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問(wèn)題，可利用分析法.4求最值問(wèn)題，常用配方法、換元法來(lái)解決.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的兩根均tan、tan，且，()，則tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2二、填空題2.()已知sin=，(，)，tan()= ，則tan(2)=_.3.()設(shè)()，(0，)，cos()=，sin(+)=，則sin(+)=_.三、解答題4.不查表求值:5.已知cos(+x)=，(x)，求的值.6.()已知=，且k(kZ).求的最大值及

7、最大值時(shí)的條件.7.()如右圖，扇形OAB的半徑為1，中心角60，四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，當(dāng)其面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的位置，并求此最大面積.8.()已知cos+sin=，sin+cos的取值范圍是D，xD，求函數(shù)y=的最小值，并求取得最小值時(shí)x的值.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又

8、、(,)、(,),則(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0.解得tan=2.答案：B2.解析：sin=,(,),cos=則tan=,又tan()=可得tan=,答案：3.解析：(),(0, ),又cos()=.答案：三、4.答案：2（kZ）, （kZ）當(dāng)即（kZ）時(shí),的最小值為1.7.解：以O(shè)A為x軸.O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)P的坐標(biāo)為(cos,sin)，則PS=sin.直線(xiàn)OB的方程為y=x，直線(xiàn)PQ的方程為y=sin.聯(lián)立解之得Q(sin；sin)，所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)= sin(2+).0,2+.sin(2+)1.s