級數(shù)斂散性總結

1、摘要級數(shù)理論是數(shù)學分析的重要組成部分，研究級數(shù)對于深入探討數(shù)學分析問題有著深遠的意義。級數(shù)理論中最重要的問題和學者研究最多的問題則是關于級數(shù)收斂與發(fā)散的問題。級數(shù)的收斂與發(fā)散性質更是級數(shù)存在當中的最基本的立足點?；诩墧?shù)發(fā)散和收斂的問題，本文對級數(shù)進行了比較詳細和系統(tǒng)的介紹，并在級數(shù)收斂性方面進行了較為詳細的概括，包括級數(shù)的分類和收斂性的總結和應用。本文第一個部分首先對常見的級數(shù)：常數(shù)項級數(shù)、正項級數(shù)、交錯級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、傅立葉級數(shù)，進行了大概的介紹，并從常見級數(shù)的定義、常見級數(shù)的分類、級數(shù)收斂發(fā)散的充要條件和對應級數(shù)常用的收斂判別方法進行詳細的分析概括。本文的第二個部分針對具體的級

2、數(shù)收斂方法，從方法的定義和方法的具體例子應用兩個方面對其進行較為全面的介紹和分析，其中包括：判別級數(shù)發(fā)散與收斂的簡單方法、比較判別法、比值判別法、高斯判別法、達朗貝爾判別法、對數(shù)判別法、積分判別法、拉貝判別法、柯西判別法。最后，本文第三部分通過整理級數(shù)散斂性判斷的方法，對本文進行一個綜合的概括，主要從基于級數(shù)類型的方法和基于通項特征的方法兩個方面總結了解答收斂性問題的分析思路和如何更快的尋找有效的方法。關鍵詞 ： 級數(shù) 斂散性 方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The

3、study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the ba

4、sic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence.

5、Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification

6、 of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the methods definition and specific exam

7、ples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, DAlembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a compreh

8、ensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem. Key words: Series Convergenc

9、e Mathod第一章 引言級數(shù)理論是數(shù)學分析的重要組成部分，與極限理論有密切的聯(lián)系，它與另一個分支微積分學一起作為基礎知識和工具出現(xiàn)在其余各分支中。級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實際應用中都處于重要地位，這是因為一方面能借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進行近似計算等。III廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結第二章 級數(shù)基本概念2.1 級數(shù)的定義其定義如下：設，記所有無限項加起來的和為而則稱為級數(shù)。注：數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)也常簡稱級數(shù)。2.2 級數(shù)的分類級數(shù)的種類

10、繁多，并沒有很詳細的分類標準，本文考慮從通項的內(nèi)容來看，主要分成兩大類：數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)。數(shù)項級數(shù)：通項沒有含有函數(shù)的的級數(shù)。等比級數(shù)：（又稱幾何級數(shù)）形如其中 ，稱為等比級數(shù)。調和級數(shù)：形如稱為等比級數(shù)。正項級數(shù)：若數(shù)項級數(shù)的各項的符號都相同，則稱為同號級數(shù)。對于同號級數(shù)，只須研究各項都是由正數(shù)組成的級數(shù)稱為正項級數(shù)。交錯級數(shù):若級數(shù)的各項符號正負相間，即：稱為交錯級數(shù)。2第二章 級數(shù)基本概念一般項級數(shù)：沒有以上特點的數(shù)項級數(shù)。函數(shù)項級數(shù)：如果級數(shù)的每一項依賴于一個連續(xù)變量，,在一個區(qū)上變化，這個級數(shù)就成為一個函數(shù)項級數(shù)，簡稱函數(shù)級數(shù)，記為。冪級數(shù)：有冪級數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)，即形如的

11、級數(shù)成為冪級數(shù)。傅立葉級數(shù)：一般地說，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，以的傅立葉系數(shù)的三角級數(shù)稱為的傅立葉級數(shù)，其中稱為傅立葉系數(shù)。泰勒級數(shù)：設函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有直到階導數(shù)，則形如稱為泰勒級數(shù)。Laurent級數(shù)：如果函數(shù)在環(huán)形域解析，則可以展開為其中3廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結稱為Laurent系數(shù)，是環(huán)形域內(nèi)包圍在其內(nèi)部的任意簡單封閉曲線。稱是在環(huán)形域的Laurent級數(shù)。2.3 級數(shù)收斂發(fā)散的充要條件一般收斂：級數(shù)的收斂問題是級數(shù)理論的基本問題。從級數(shù)的收斂概念可知，級數(shù)的斂散性是借助于其部分和數(shù)列的斂散性來定義的。因此可從數(shù)列收斂的柯西準則得出級數(shù)收斂的柯西準則（

12、宋國柱，2004）：收斂等價于任意給定正數(shù)，必有自然數(shù)，當，對一切自然數(shù)，有即充分靠后的任意一段和的絕對值可任意小。絕對收斂：設是實數(shù)列，如果級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；條件收斂：如果級數(shù)收斂，但級數(shù)發(fā)散，則說級數(shù)條件收斂；一致收斂：設函數(shù)項級數(shù)在區(qū)域D中收斂于函數(shù)，若，使得當時，對一切同時成立，則說在D一致收斂于。4第二章 級數(shù)基本概念2.4 常見級數(shù)對應的收斂定理2.4.1 常數(shù)項級數(shù)1. 當存在，則收斂；2. Cauchy準則：級數(shù)收斂的充分和必要條件是，,使得當時，對一切自然數(shù)p成立。3. 無窮級數(shù)：收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則24.2 正項級數(shù)1. 正項級數(shù)收斂的充分條件是它的部分序列和

13、有上界；2. 比較判別法：設，則 (1)若收斂，則也收斂； (2)若發(fā)散，則也發(fā)散；3. 比值判別法：設和是兩個正項級數(shù)，且 (1)若，則級數(shù)和 同時收斂或同時發(fā)散； (2)若，級數(shù)收斂，則也收斂； (3)若，級數(shù)發(fā)散，則也發(fā)散。5廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結4. Cauchy判別法（根值判別法）：設是正項級數(shù)， (1)則當時，級數(shù) 收斂； (2) 則當時，級數(shù) 發(fā)散； (3) 則當時，級數(shù) 可能收斂也可能發(fā)散。5. 對數(shù)判別法：若對任意的，當時有，則收斂；若有，則發(fā)散。6. 積分判別法：設是上非負下降函數(shù)，則收斂。2.4.3 交錯級數(shù)1. Leibniz判別法：設，且，則交錯

14、級數(shù)收斂且余和的絕對值2. Cauchy定理：若級數(shù)和 都絕對收斂，其和分別為和，則它們的乘積6第二章 級數(shù)基本概念也是絕對收斂，且和為。2.4.4 函數(shù)項級數(shù)1. Cauchy準則：函數(shù)項級數(shù)在D一致收斂于的充分且必要條件是： ，使得當時，對一切及一切自然數(shù)P同時成立。2. weierstass判別法： 設在集合G上，且收斂，則在G上一致收斂。2.4.5 冪級數(shù)1. Abel定理：若在收斂，則當時，級數(shù)絕對收斂，若在處發(fā)散，則當時，級數(shù)發(fā)散。(1)冪級數(shù)在其收斂圓是內(nèi)閉一致收斂的。(2)比值法：若，則冪級數(shù)的收斂半徑，這里，當時，當時，。(3)根值法：，則級數(shù)的收斂半徑7廣東石油化工學院本科

15、畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結2.4.6 傅立葉級數(shù)1. 狄尼判別法：設連續(xù)或者至多有第一類間斷點，記若存在，使存在，則2. Lipschitz判別法 設在點滿足Lipa條件，即對充分小的 有（為常數(shù)，），則3. 狄里希萊-約當判別法 若在上囿變，則在點4. 弗耶定理 設是周期為的連續(xù)函數(shù)，為傅立葉級數(shù)的部分和，則在上一致收斂于。5. 威爾斯托拉斯逼近定理 設，周期為，則存在三角多項式列一致收斂于。8第三章 級數(shù)斂散性判別法第三章 級數(shù)斂散性判別法3.1 判別級數(shù)發(fā)散的簡單方法（注：面對一道通項有規(guī)律的判定收斂性的題時，最初的想法應該從定義下手）定義：如果級數(shù) 的部分和數(shù)列有極限，則收斂，反之發(fā)散。

16、例題l 判別級數(shù)的散斂性。解：因為故級數(shù)的部分和，又因為所以，原級數(shù)收斂。例題2 判別級數(shù)的散斂性解：因為 所以級數(shù)收斂。9廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結例題3 判別級數(shù)是否收斂。解：因為所以級數(shù)發(fā)散。3.2 比較判別法3.2.1 定理及其極限形式為了考查一個正項級數(shù)的散斂性，常用另一個已知是收斂的或者已知是發(fā)散的正項級數(shù)來與之作比較（可見比較判別法只用于正項級數(shù)）。在此先引入幾個常用來做比較的級數(shù)：幾何級數(shù)、調和級數(shù)、P級數(shù)。等比級數(shù)：（幾何級數(shù)）判別法：級數(shù)叫做等比級數(shù)，下面討論該級數(shù)的散斂性。 解：（1）如果，則部分和當時，由于，所以，因此級數(shù) 收斂，其和為； 當時，由于，

17、所以，因此級數(shù)級數(shù)發(fā)散。（2）如果，則有10第三章 級數(shù)斂散性判別法當時，從而，所以級數(shù)發(fā)散；當時，所以有，從而不存在，所以級數(shù)發(fā)散；由上可知:當時，等比級數(shù)收斂；而當，等比級數(shù)發(fā)散。調和級數(shù)：級數(shù)稱為調和級數(shù)，試討論該級數(shù)的散斂性。解：令，由拉格朗日中值定理可知，存在。使得即所以有,將上面所有式子的兩端分別相加得其中 為調和級數(shù)的部分和因為 11廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結所以,調和級數(shù)發(fā)散。.P級數(shù)：級數(shù)稱為P級數(shù),試討論該級數(shù)的散斂性.解:(1)當時,這時級數(shù)的各項都不小于把調和級數(shù)的對應項,即由前面可知調和級數(shù)發(fā)散,由比較判別法可知該級數(shù)發(fā)散.(2)當時,把P級數(shù)寫成而

18、是一個等比級數(shù),且,其公比,于是級數(shù)收斂,由比較判別法可知,P級數(shù)收斂.綜上所述,當時,P級數(shù)收斂;當時,P級數(shù)發(fā)散.在介紹幾個常用來比較的級數(shù)后,接著介紹比較判別法比較判別法定義 ：設和是正項級數(shù)，則(1) 如果收斂，并且存在和，使得，那么級數(shù)也收斂；(2) 如果發(fā)散，并且存在和，使得，那么12第三章 級數(shù)斂散性判別法級數(shù)也發(fā)散。 證明：(1)對于，因為有上界，所以也有上界。 (2)反證法：對于，如果級數(shù)收斂，那么根據(jù)上面的結論，級數(shù)也應該收斂，但這與題設所矛盾。所以是發(fā)散級數(shù)。例題1 設，試判斷級數(shù)的散斂性。解：由題意得因為級數(shù)收斂，所以級數(shù) 也收斂。例題2 試判斷級數(shù)的散斂性。解：容易知

19、道 ，因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散推論：設和是正項級數(shù)，并且設極限存在，則有： (1)如果級數(shù)收斂，那么級數(shù)也收斂，13廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結 (2)如果級數(shù)發(fā)散，那么級數(shù)也發(fā)散。證明：（1）對于取定的，存在，使得只要，就有，也就是 （2）對于取定的，存在，使得只要，就有，也就是 例題3 設，試判斷級數(shù)的散斂性。解：容易知道因為級數(shù)收斂，所以級數(shù) 收斂。例題4 試判斷級數(shù)的散斂性。解：容易知道因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散。14第三章 級數(shù)斂散性判別法3.2.2 比值判別法運用比較判別法來解決級數(shù)散斂性問題是一種廣泛應用的方法，但前提是需要找到一個能用來做比較的級數(shù)，要找到一個

20、合適的級數(shù)并不容易，所以很多時候就要用到以下的比值判別法：設有正項級數(shù)，如果，則（1）當時，級數(shù)收斂；（2）當時，級數(shù)發(fā)散；（3）當時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。例題5 試判別級數(shù)的散斂性。解：因為故根據(jù)比值判別法可知，原級數(shù)收斂。例題6 試判別級數(shù)的散斂性。解：因為15廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結因此，比值判別法失效，但，而級數(shù)是收斂的，可以根據(jù)比較判別法可知，原級數(shù)也收斂。3.2.3 活用比較判別法當所求級數(shù)的通項中出現(xiàn)關于的有理式時，比較對象常常選擇P級數(shù)或者調和級數(shù)。例題7 試判別級數(shù)的散斂性。解：因為又由于收斂，則由比較判別法可知，級數(shù)也收斂。例題8 試判別級數(shù)的散斂性

21、。解：因為，又由于收斂，則根據(jù)比較判別法可知，原級數(shù)也收斂。例題9 試判別級數(shù)的散斂性。解：因為又有級數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法可知，原級數(shù)也是發(fā)散的。16第三章 級數(shù)斂散性判別法例題10 試判別級數(shù)的散斂性。解：考慮到當時，則而是公比的收斂級數(shù)，故根據(jù)比較判別法可知，原級數(shù)收斂。例題11 試判別級數(shù)的散斂性。解：由于而是收斂的級數(shù)，所以原級數(shù)收斂。3.3 柯西判別法柯西根式判別法（普通形式）設級數(shù)是正項級數(shù)，(1)如果存在和，使得，那么級數(shù)收斂。(2)如果對無窮個有，那么級數(shù)發(fā)散?？挛鞲脚袆e法（極限形式）設是正項級數(shù)。并設存在極限，則有(1)如果，那么級數(shù)收斂，17廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文

22、：級數(shù)斂散性總結(2)如果，那么級數(shù)發(fā)散。證明：（1）對于取定的，存在，使得。（2）對于取定的，存在，使得。例題1 判別級數(shù)的散斂性。解：由于根據(jù)柯西判別法可知，級數(shù)收斂。例題2 試判斷級數(shù)的散斂性。解：由于根據(jù)柯西判別法可知，級數(shù)發(fā)散。3.4達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法（普通形式） 設是嚴格的正項級數(shù)。(1)如果存在和使得，那么級數(shù)收斂。(2)如果存在使得，那么級數(shù)收斂。達朗貝爾判別法（極限形式） 設是嚴格的正項級數(shù)。并存在極限18第三章 級數(shù)斂散性判別法則有(1)如果，那么級數(shù)收斂。(2)如果，那么級數(shù)發(fā)散。證明：(1)對于取定的，存在，使得只要，就有.(2)對于取定的，存在，使得只要，就

23、有.推論 設和都是嚴格的正項級數(shù)。(1)如果級數(shù)收斂，并且存在，使得，那么級數(shù) 也收斂。(2)如果級數(shù)發(fā)散，并且存在，使得，那么級數(shù) 也發(fā)散。例題1 試判別級數(shù)的散斂性。解：由于由達朗貝爾定理可知，級數(shù)收斂。19廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結例題2 試判別級數(shù)的散斂性。解：由于由達朗貝爾定理可知，級數(shù)發(fā)散。3.5 對數(shù)判別法對數(shù)判別法（普通形式） 設是嚴格的正項級數(shù)。若從某一項起有，則有級數(shù)收斂；若從某一項起，則有級數(shù)發(fā)散。對數(shù)判別法（極限形式） 設是嚴格的正項級數(shù)。設，則當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)有可能收斂也有可能發(fā)散。例題1 試判別級數(shù)的散斂性。解：因為當時，

24、有，所以20第三章 級數(shù)斂散性判別法但由于發(fā)散，因此級數(shù)發(fā)散。例題2 試判別級數(shù)的散斂性。解：由題可知，因為所以但是，則有級數(shù)收斂，從而級數(shù)收斂。例題3 試討論級數(shù)的散斂性。解： 由題可知，級數(shù)的通項為則有21廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結由對數(shù)判別法可知，原級數(shù)發(fā)散。3.6 積分判別法柯西積分判別法：設函數(shù)在單調下降并且非負，則級數(shù)與廣義積分同為收斂或同為發(fā)散。證明：依題意得，為上的非負減函數(shù)，對于任意的正數(shù)，在上可積，從而有，依次相加可得，若此積分收斂，則上式的左邊，對于任何的整數(shù)，有，于是級數(shù)收斂。反之，若級數(shù)為收斂級數(shù)，則上式的右邊，對于任意正整數(shù)有，因為是非負減函數(shù)，故

25、對任意的正數(shù)，都有，根據(jù)上式得收斂。同理可證級數(shù)和積分是同時發(fā)散的。例題1 試判別級數(shù)的散斂性。解：將級數(shù)換成積分形式，由于即收斂，根據(jù)積分判別法可知，也收斂。22第三章 級數(shù)斂散性判別法例題2 試判別級數(shù)的散斂性解：將級數(shù)轉化成積分的形式，由于，即發(fā)散，根據(jù)積分判別法可知，級數(shù)發(fā)散。3.7拉貝判別法拉貝判別法（普通形式）設是嚴格的正項級數(shù)。（1）如果存在和，使得，那么級數(shù)收斂。（2）如果存在，使得，那么級數(shù)發(fā)散。證明：（1）由題可得，取一實數(shù)，滿足，則級數(shù)收斂，另，則對于充分大的有，所以，級數(shù)也收斂。（2）由題意得，因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)也發(fā)散。拉貝判別法（極限形式）設是嚴格的正項級數(shù)，并且

26、以下的極限存在，23廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結（1）如果，那么級數(shù)收斂。（2）如果，那么級數(shù)發(fā)散。例題1：試討論級數(shù)，當是的收斂性。解：當時，容易根據(jù)拉貝判別法可知，級數(shù)發(fā)散。當時，容易根據(jù)拉貝判別法可知，級數(shù)發(fā)散。當時，容易根據(jù)拉貝判別法可知，級數(shù)收斂。從上面我們可以看出,有些比值判別法不能判別的可用拉貝判別法可以判別,但是用拉貝判別法也同樣要受到比較因子的精確度的限制。24第三章 級數(shù)斂散性判別法3.8高斯判別法設是嚴格的正項級數(shù)，并設有，則有(1)如果，那么級數(shù)收斂；如果，那么級數(shù)發(fā)散。(2)如果，那么級數(shù)收斂；如果，那么級數(shù)發(fā)散。(3)如果，那么級數(shù)收斂；如果，那么級

27、數(shù)發(fā)散。推論：設是嚴格的正項級數(shù)，并設有，則有(1)如果，那么級數(shù)收斂；如果，那么級數(shù)發(fā)散。(2)如果，那么級數(shù)收斂；如果，那么級數(shù)發(fā)散。例題1 設，試判別級數(shù)的散斂性。25廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結解：令，則由此可得但由于所以當時，級數(shù)發(fā)散；當是，顯然有，故級數(shù)發(fā)散；當時，有故，所以例題2 設，試討論級數(shù)的散斂性。解：因為故當是，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散。26第四章 級數(shù)斂散性比較及應用第四章 級數(shù)斂散性比較及應用4.1 基于級數(shù)類型的方法總結對于級數(shù)的斂散性判斷，當一個級數(shù)是具體屬于某一種級數(shù)，則可以考慮利用該種級數(shù)對應的收斂判別法來進行判別其散斂性。而常見的幾種級數(shù)和對

28、應的判別法如下表：表1 判別總結表級數(shù)類型散斂性判別法正項級數(shù)比較判別法、根值判別法、比值判別法、對數(shù)判別法、拉貝判別法、高斯判別法任意項級數(shù)柯西判別法、絕對收斂判別法、 Abel判別法交錯收斂判別法、Dirichlet判別法函數(shù)項級數(shù)M判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法、狄尼判別法、一致收斂判別法冪級數(shù)Abel定理、比值法、根值法傅立葉級數(shù)狄尼判別法、Lipschitz判別法、弗耶定理狄里希來-約當判別法、威爾斯托拉斯逼近定理4.1.1 對常數(shù)項級數(shù)若給出的級數(shù)是常數(shù)項級數(shù)，一般可以利用以下的流程來進行判斷：27廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結已給級數(shù)發(fā)散是否交錯級

29、數(shù)萊布尼茨判別法任意項級數(shù)判別法是任意項級數(shù)比較判別法的極限形式可行？否？是正項級數(shù)否？比值判別法可行？比值判別法其他方法收斂或發(fā)散否是否否是否否否是是是圖1 判別流程圖對于求級數(shù)的散斂性，首先要研究出其通項。但是當級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項為等差或等比式或通項為含二項以上根式的四則運算且通項極限無法求出時，可以選用正項級數(shù)的充要條件進行判斷。下面通過具體的例子說明：例題1 試判別級數(shù)的散斂性分析：容易知道(1)首先判斷是否為，因為，所以有(2)然后判斷是否為正項級數(shù)，由于，故原級數(shù)為為正項級數(shù)(3)因為28第四章 級數(shù)斂散性比較及應用因此，比值判別法失效。(4)現(xiàn)在考慮比較判別法，由于，

30、而級數(shù)是收斂的，可以根據(jù)比較判別法可知，原級數(shù)也收斂。4.1.2 對冪級數(shù)若給出的級數(shù)是冪級數(shù)，一般可以利用以下的方法來進行判斷：(1)首先要求出收斂域，利用式子求出收斂半徑，從而確定冪級數(shù)的收斂區(qū)間，將分別代入冪級數(shù)中，此時的冪級數(shù)就成為了常數(shù)項級數(shù)，然后就可以按照常數(shù)項的散斂性判別法判斷其散斂性。(2)很多時候可以通過一些冪級數(shù)的展開式間接的將一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，具體如下：(3)將一個函數(shù)直接展開為的冪級數(shù)的步驟如下：29廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結 A求出的各階導數(shù)，再求出函數(shù)及各階導數(shù)在處的函數(shù)值，若某階導數(shù)不存在，就停止進行，此時函數(shù)不能展開為的冪級數(shù)。 B寫出在處

31、的泰勒級數(shù)，并求出其收斂域。 C考查在其收斂域內(nèi)是否有，若極限為零，則第（1）中求出的冪級數(shù)就是函數(shù)的展開式，若極限不為零。則冪級數(shù)雖然收斂，但它的和并不是所給的函數(shù)。D最后寫出在點的泰勒展開式。例題2 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解：求出的各階導數(shù)及其在處的函數(shù)值：， 因此在處的泰勒級數(shù)為：其收斂半徑為，收斂區(qū)間為。 對任意有限數(shù)余項的絕對值由比較判別法知道收斂，又有級數(shù)收斂的必要條件有而相對于是一個常數(shù)，則有30第四章 級數(shù)斂散性比較及應用的泰勒級數(shù)為：4.1.3 對于傅立葉級數(shù)若是需要化為傅立葉級數(shù)，一般可以利用以下的方法來進行判斷（韓志剛，2003）：將周期函數(shù)在上展開為傅立葉級數(shù)的步驟 (

32、1)運用收斂定理判斷是否滿足收斂條件。 (2)若滿足收斂定理條件，則求出傅立葉系數(shù)。 (3)寫出傅立葉級數(shù)并注明在何處收斂于函數(shù)例題3 設是周期為的周期函數(shù)，在上的表達式為將函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)。解：函數(shù)的圖形如下，所給的函數(shù)在處不連續(xù)，而在其余點處都連續(xù)，滿足收斂定理的條件。圖2 函數(shù)圖像31廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：級數(shù)斂散性總結當時，傅立葉級數(shù)收斂于當時，傅立葉級數(shù)收斂于。下面計算傅立葉系數(shù)于是，函數(shù)的傅立葉展開式為32第四章 級數(shù)斂散性比較及應用4.2 基于通項特征的方法總結按照上面所說的方法的確可以有效的使我們更快的判斷級數(shù)的散斂性，但是對于通項一些有明顯的一些特征的時候，可以采取下面的一些方法，以便更快的達到判斷的效果。(1)對于求級數(shù)的散斂性，首先要研究出其通項。但是當級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項為等差或等比式或通項為含二項以上根式的四則運算且通項極限無法求出時，可以選用正項級數(shù)的充要條件進行判斷。如（張筑生，2008）：取，若令，有所以級數(shù)發(fā)散。(2)當級數(shù)一般項如含有或等三角函數(shù)的因子可以進行適當?shù)姆趴s，并與幾何級數(shù)、P級數(shù)、調和級數(shù)進行比較、不容易算出或者等此類無法判斷級數(shù)收斂性或進行有關級數(shù)的證明問題時，應選用比較判別