空間單元與等參單元(已排).ppt

1、1,第10章 軸對稱問題、空間問題有限單元法,2,10.1 空間問題簡介,工程實際中的很多問題難于簡化為平面問題，如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體，受對稱于軸線載荷作用的回轉體等。本章簡單介紹兩類問題：軸對稱問題和空間問題的有限元計算。 空間問題的主要困難： （1）離散化不直觀；（網(wǎng)格自動生成） （2）未知量的數(shù)目劇增。 （對某些問題簡 化） （軸對稱問題） 空間分析的優(yōu)點： 精確。,3,10.2 軸對稱問題,（a）壓力管道,（b）受重力作用的煙囪,幾何形狀，約束條件及作用的載荷都對稱于一固定軸。,結構所受載荷與約束都對稱于它的軸線，則其內(nèi)部的應力、應變與位移也必然對稱于該軸線。,4,取柱

2、面坐標系orz.,徑向為r，環(huán)向為，對稱軸為z。,位移、應變、應力都與無關，只與r、z有關。,任一點位移只有r、z方向分量：,而方向位移分量,(1) 建立軸對稱問題圓柱坐標系,5,（2）基本方程 位移分量： 應力分量： 應變分量 虛功方程,物理方程：圓柱坐標是正交坐標，物理方程參照直角坐標系。,6,（3）結構離散 對于軸對稱問題的離散,通常在子午面roz上進行,其形狀常為三角形和四邊形,實際上，子午面上的每個三角形(或四邊形)單元表示的是一個繞z軸一周的三棱(或四棱)環(huán)單元。因此,有限元軸對稱問題的離散就是將連續(xù)體離散成由有限個圓環(huán)組成的離散體,單元與單元間通過環(huán)線(稱為節(jié)線)相連接,作用于單

3、元上的載荷,也作用于節(jié)線上。如圖。 實際分析時，考慮到軸對稱問題位移與周向無關，故可只需取一個截面,按平面情況進行分析。,7,r,其中：,單元類型：三角形單元,（4）單元位移函數(shù) 利用節(jié)線位移，待定系數(shù)，可得,8,（5）應變矩陣 （6）剛度矩陣,其中 為r的函數(shù)，故B的元素不是常量，與平面三角形單元有區(qū)別。當r 0時，f不存在，即奇異，需近似處理。,9,（7）軸對稱單元的特點 1）軸對稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接； 2）節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加于節(jié)圓上的均布力； 3）單元邊界是一回轉面； 4）應變分量 中出現(xiàn)了 ，即應變不是常量；且應變矩陣在r 0時，存在奇異點，需特殊處理，通常用該

4、單元的形心坐標替代節(jié)點坐標。,10,實 例,封頭作為壓力容器中的重要受力部件，用戶對其質量、強度、安全性等有很高的要求。帶裙座封頭的結構如圖，其優(yōu)點是可以避免直接在封頭壁上進行焊接，提高了封頭的可靠性，但也增加了成形過程的難度。 1) 如何保證鍛件的厚度； 2）如何保證成形后的裙座位置。 厚壁封頭在熱沖壓成形過程中還會出現(xiàn)明顯的局部減薄或增厚現(xiàn)象，嚴重的會導致封頭撕裂、起皺、模具漲裂等問題。,11,10.3 空間問題,基本方程:,對于實際工程中不能簡化的空間問題，彈性力學是無法求解的，有限元法是解決此問題的有力工具。,12,10.4 四面體單元,(1)單元類型：四面體 單元節(jié)點位移向量 (2)

5、位移函數(shù) 線性位移函數(shù),節(jié)點1，2，3，4的坐標： (x1,y1,z1), (x4,y4,z4).,13,利用節(jié)點位移可待定系數(shù)，并整理為如下形式:,這些系數(shù)為四面體體積V 各行各元素的代數(shù)余子式:,其中：,14,(3)應變矩陣,顯然B為常量矩陣，故四面體單元為常應變單元。,其中：,15,(4)剛度矩陣 類似平面問題，利用虛功方程可得單元剛陣,其中各子塊陣為:,16,第11章 等參數(shù)有限元法,17,11.1 等參數(shù)單元,矩形單元比三角形有更高的精度，而三角形有較矩形單元更好的邊界適應性。 實際工程中，往往更希望有單元精度高、邊界適應性好的單元。 本章將介紹的等參單元具有此特點。所謂等參單元：即

6、以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進行坐標變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形狀的求解域方便地進行有限元離散。,18,任意直邊四邊形:,任意六面體:,等參數(shù)單元實例,19,由于工程實際中問題的邊界通常很復雜，使用前述的規(guī)則單元(如矩形或正六面體等)難于逼近幾何形狀不規(guī)則的原始邊界(如曲邊等)，而只能采用不規(guī)則的單元(如任意直四邊形、任意直六面體、或曲四邊形、曲六面體)。但是如果直接研究這些不規(guī)則單元的有限元計算格式(如單剛陣)，則非常

7、困難。 問題：能否利用規(guī)則單元的結果來研究這些不規(guī)則單元的計算格式？ 思路：任意直四邊形可看成是正四邊形(常稱為母元)的變形，由于正四邊形（母元）的位移函數(shù)、單剛矩陣均已得到，則可利用正四邊形單元的結果研究任意四邊形。 重點： 1）構造任意四邊形與母元間的坐標（形狀）變換關系; 2）利用坐標變換關系和母元的計算公式，推導任意四邊形的單剛矩陣.,20,變換實例:,21,11.2 平面四邊形等參數(shù)單元,利用任意四邊形與母元的坐標值待定系數(shù)： 并將其整理為插值函數(shù)形式：,等參變換 為了建立兩者的關系，將局部坐標附在任意四邊形上，原點在單元中心，兩坐標軸可不正交，但必須使四個角點和邊界限制在-11之間

8、。整體坐標如前圖。 設變換函數(shù)為：,22,坐標變換式記為：,將上述坐標變換式與正四邊形單元的位移函數(shù)相比較，可知，函數(shù)形式和階次完全相同，即任意四邊形與正四邊形的變換采用了與正四邊形位移函數(shù)相同參數(shù)變換，故稱這樣的單元為等參單元.,23,11.3 等參數(shù)單元形函數(shù),注意：不是直線,形函數(shù)的性質 在矩形單元上的變化如圖:,24,-1,-0.5,0,0.5,1,直線,直線,（-1,-1）,不是平面,形函數(shù)N1的正確表示,25,11.4 等參數(shù)單元位移函數(shù),等參單元位移函數(shù)： 從坐標變換可知,等參單元位移與母元間位移僅相差坐標變換式,而母元單元內(nèi)任意點p的位移函數(shù)(2D)： 其中：Ni和坐標變換式的

9、形函數(shù)相同。,26,11.5 等參數(shù)單元剛度矩陣,1）應變計算 注意：應變?yōu)槲灰茖，y的導數(shù)，四節(jié)點四邊形單元計算式:,用于二維等參元,2）復合求導 利用x，y，z與局部坐標系的關系，有:,27,J稱為Jacobi矩陣，由坐標變換式確定，當J的逆存在時，則形函數(shù)對x，y的導數(shù)可求，即應變陣可求。,28,3）應變矩陣,29,4）剛度矩陣,一般而言，等參單元的剛度積分很難有解析式，必須進行數(shù)值積分，目前普遍采用高斯數(shù)值積分法。(略),30,11.6 空間六面體單元,8 (x5,y5,z5),7,八節(jié)點六面體單元,31,1)坐標變換,（i=1,2,8),其中：,例：,32,2） 剛度矩陣：,33,

10、11.7 等參數(shù)單元說明,等參單元的幾點說明： 1）等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。 2）等參單元存在的充要條件是： 為了保證能進行等參變換(即總體坐標與局部坐標一一對應)，通常要求總體坐標系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。,34,3）等參單元的優(yōu)點是當單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。 4）上述等參單元的理論公式可適應三次以上的曲線型等參元，只是階次提高，單元自由度相應增加，計算更復雜，積分更困難，實際中，很少超過3次曲線型。 5）上述推導要求：保持坐標變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同。如取坐標變換的幾何模

11、式階次較單元的位移函數(shù)的階次高，則稱此單元為超單元，反之，為亞單元。這兩類單元的收斂性也可得到滿足。略 6）當然，也可取描述單元幾何形狀的幾何模式不是形函數(shù)的，如p-element.,35,第12章 薄板有限元法,36,12.1 薄板彎曲問題,力學概念定義的板是指厚度尺寸相對長寬尺寸小很多的平板，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的(指一個單元)，則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向載荷，則稱為平面應力問題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷，則稱為板的彎扭問題，常簡稱板的彎曲問題。,37,變形前的直線,變形后的直線,z,x,z,基本假設（克?；舴蚣僭O）

12、1）直線假設：即變形前垂直于板中面的直線，在彎曲變形后仍為直線，且垂直于彎曲后的中面。說明在平行于中面的面上沒有剪應變，即:,38,2）厚度不變假設：即忽略板厚變化。即 。由于板內(nèi)各點的擾度與 z坐標無關，只是x，y的函數(shù)，即 3）中面上正應力遠小于其它應力分量假設：平行于中面的各層相互不擠壓，不拉伸，沿z向的正應力可忽略，即 4）中面無伸縮假設：彎曲過程中，中面無伸縮，即,39,12.2 薄板彎曲問題的基本方程,1）幾何方程,分別表示薄板彎曲曲面在x，y方向的曲率,表示薄板彎曲曲面在x，y方向的扭率,繞x軸轉角,繞y軸轉角,40,2）應力應變關系（HOOK 定律） 記為矩陣形式：,41,3）

13、內(nèi)力矩公式 單位寬度上垂直x，y軸的橫截面上彎矩、扭矩：,42,12.3 薄板彎曲的矩形單元,節(jié)點位移向量和節(jié)點力向量：,用有限元法求解薄板彎曲問題，常在板中面進行離散，常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元間同時可傳遞力和力矩，節(jié)點當作剛性節(jié)點，即節(jié)點處同時有節(jié)點力和節(jié)點力矩作用。每個節(jié)點有三個自由度，即一個擾度和分別繞x，y軸的轉角。如圖矩形單元。,43,另兩個轉角為：,位移函數(shù) 薄板彎曲時，只有w(x,y)是薄板變形的未知基本函數(shù)，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函數(shù)，故薄板矩形單元的位移函數(shù)的選擇實際就是w(x,y)的選取。注意單元有12個自由度，則,44,利用12個節(jié)點位移值

14、可待定12個系數(shù)，整理w(x,y)為插值函數(shù)形式：,其中，形函數(shù)：,45,單元收斂性分析： 1）位移函數(shù) 中包含有常量項，反映了剛體位移，如 為撓度常量， 為轉角常量。 2）位移函數(shù)中包含了常量應變項， 如形變分量為： 表明薄板處于均勻彎扭變形狀態(tài)，即常應變狀態(tài)。這里的常應變?yōu)閿_度的二次函數(shù)，而在平面單元中為位移的一次式，這是因為板有厚度，其形變是指不同厚度上的。,46,3）相鄰單元在公共邊界上擾度是連續(xù)的但轉角不一定連續(xù)。 設邊界ij邊 y=-b 則 有位移 四個系數(shù)剛好通過i，j兩個端點的擾度值和繞y軸的兩個轉角值唯一確定；同時，相鄰單元在此邊界上也能通過i，j的值唯一確定，故連續(xù)。 如對于繞x軸的轉角： 四個系數(shù)不能通過i，j的兩個已知轉角值唯一待定；同理，相鄰單元在此邊界上也不