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文檔簡介
1、第二部分 突破重點題型 贏取考場高分,題型8 幾何探究問題,??碱愋屯黄?類型1 從特殊到一般的漸進(jìn)型幾何圖形的探究與應(yīng)用,【例1】2017樂山中考在四邊形ABCD中,BD180,對角線AC平分BAD. (1)如圖1,若DAB120,且B90,試探究邊AD,AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由 (2)如圖2,若將(1)中的條件“B90”去掉,(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由 (3)如圖3,若DAB90,探究邊AD,AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由,一、操作發(fā)現(xiàn)猜想論證延伸探究,【思路分析】 (1)結(jié)論:ACADAB,只要證明AD AC,AB AC即可;(2)(1)中的結(jié)論成立以C為頂點,
2、AC為一邊作ACE60,ACE的另一邊交AB延長線于點E,只要證明DACBEC即可;(3)結(jié)論:ADAB AC.過點C作CEAC交AB的延長線于點E,只要證明ACE是等腰直角三角形,DACBEC即可,【解】 (1)ACADAB.理由如下: 在四邊形ABCD中,DB180,B90, D90. DAB120,AC平分BAD, DACBAC60. B90,AB AC,同理可得AD AC. ACADAB. (2)(1)中的結(jié)論成立,理由如下: 以C為頂點,AC為一邊作ACE60,ACE的另一邊交AB延長線于點E.如圖1.,BAC60,AEC為等邊三角形 ACAECE. DB180,DAB120, DC
3、B60.DCABCE. DABC180,ABCEBC180, DCBE. CACE,DACBEC. ADBE.ACADAB. (3)結(jié)論:ADAB AC.理由如下: 過點C作CEAC交AB的延長線于點E.如圖2. DB180,DAB90,DCB90. ACE90,DCABCE. 又AC平分DAB,CAB45. E45.ACCE. 又DB180,DCBE, CDACBE.ADBE.ADABAE. 在RtACE中,CAB45, AE AC.ADAB AC.,滿分技法本題考查了四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)
4、造全等三角形解決問題,屬于中考??碱}型,二、探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考拓展應(yīng)用 【例2】2017長春中考【再現(xiàn)】如圖1,在ABC中,點D,E分別是AB,AC的中點,可以得到:DEBC,且DE BC.(不需要證明) 【探究】如圖2,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,判斷四邊形EFGH的形狀,并加以證明 【應(yīng)用】在(1)【探究】的條件下,四邊形ABCD中,滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形?你添加的條件是:_.(只添加一個條件) (2)如圖3,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,對角線AC,BD相交于點O.若AOOC,四邊形ABCD
5、面積為5,則陰影部分圖形的面積和為_,【思路分析】 【探究】利用三角形的中位線定理可得出HGEF,EFGH,繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀;【應(yīng)用】(1)同【探究】的方法判斷出EF AC,即可判斷出EFFG,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出SBCD4SCFG,同理可得SABD4SAEH,進(jìn)而得出S四邊形EFGH ,再判斷出OMON,進(jìn)而得出S陰影 S四邊形EFGH即可,滿分技法此題是四邊形綜合題,主要考查了三角形的中位線定理,平行四邊形的判定,菱形的判定,相似三角形的判定和性質(zhì),解【探究】的關(guān)鍵是推出HGAC,HG AC,解【應(yīng)用】的關(guān)鍵是推出S四邊形EFGH .,三、觀察分析類比猜想歸納概括拓
6、展應(yīng)用 【例3】2017衢州中考問題背景 如圖1,在正方形ABCD的內(nèi)部,作DAEABFBCGCDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得DAEABFBCGCDH,從而得到四邊形EFGH是正方形 類比探究 如圖2,在正ABC的內(nèi)部,作BADCBEACF,AD,BE,CF兩兩相交于D,E,F(xiàn)三點(D,E,F(xiàn)三點不重合) (1)ABD,BCE,CAF是否全等?如果是,請選擇其中一對進(jìn)行證明 (2)DEF是否為正三角形?請說明理由 (3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系,設(shè)BDa,ADb,ABc,請?zhí)剿鱝,b,c滿足的等量關(guān)系,【思路分析】 (1)由正三角形的性質(zhì)得出CABABCBCA60,AB
7、BC,證出ABDBCE,由ASA證明ABDBCE即可;(2)由全等三角形的性質(zhì)得出ADBBECCFA,證出FDEDEFEFD,即可得出結(jié)論;(3)作AGBD于點G,由正三角形的性質(zhì)得出ADG60,在RtADG中,DG b,AG b,在RtABG中,由勾股定理即可得出結(jié)論,【解】 (1)ABDBCECAF.理由如下: ABC是正三角形, CABABCBCA60,ABBC. ABDABC2,BCEACB3,23,ABDBCE. 在ABD和BCE中, ABDBCE(ASA),(2)DEF是正三角形理由如下: ABDBCECAF,ADBBECCFA. FDEDEFEFD.DEF是正三角形,滿分技法本題
8、是綜合題目,考查了正三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識本題綜合性較強,熟練掌握正三角形的判定與性質(zhì),證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵,滿分必練1.2017鹽城中考【探索發(fā)現(xiàn)】 如圖1,是一張直角三角形紙片,B90,小明想從中剪出一個以B為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn),當(dāng)沿著中位線DE,EF剪下時,所得的矩形的面積最大,隨后,他通過證明驗證了其正確性,并得出:矩形的最大面積與原三角形面積的比值為_ 【拓展應(yīng)用】 如圖2,在ABC中,BCa,BC邊上的高ADh,矩形PQMN的頂點P,N分別在邊AB,AC上,頂點Q,M在邊BC上,則矩形PQMN面積的最大值為_(用含a
9、,h的代數(shù)式表示) 【靈活應(yīng)用】 如圖3,有一塊“缺角矩形”ABCDE,AB32,BC40,AE20,CD16,小明從中剪出了一個面積最大的矩形(B為所剪出矩,形的內(nèi)角),求該矩形的面積 【實際應(yīng)用】 如圖4,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB50cm,BC108cm,CD60cm,且tanBtanC ,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M,N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積,滿分技法本題是四邊形的綜合題,熟練掌握中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及類比思想的運用是解題的關(guān)鍵,滿分必練2.2017鎮(zhèn)江中考【回顧】 如圖1,ABC中,B30,AB3,B
10、C4,則ABC的面積等于_ 【探究】 圖2是同學(xué)們熟悉的一副三角尺,一個含有30的角,較短的直角邊長為a;另一個含有45的角,直角邊長為b,小明用兩副這樣的三角尺拼成一個平行四邊形ABCD(如圖3),用了兩種不同的方法計算它的面積,從而推出sin75 ,小麗用兩副這樣的三角尺拼成了一個矩形EFGH(如圖4),也推出sin75 ,請你寫出小明或小麗推出sin75 的具體說理過程 【應(yīng)用】 在四邊形ABCD中,ADBC,D75,BC6,CD5,AD10(如圖5) (1)點E在AD上,設(shè)tBECE,求t2的最小值; (2)點F在AB上,將BCF沿CF翻折,點B落在AD上的點G處,點G是AD的中點嗎?
11、說明理由,滿分必練3.2017臺州中考在平面直角坐標(biāo)系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根比如對于方程x25x20,操作步驟是: 第一步:根據(jù)方程的系數(shù)特征,確定一對固定點A(0,1),B(5,2); 第二步:在坐標(biāo)平面中移動一個直角三角板,使一條直角邊恒過點A,另一條直角邊恒過點B; 第三步:在移動過程中,當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時,點C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根(如圖1); 第四步:調(diào)整三角板直角頂點的位置,當(dāng)它落在x軸上另一點D處時,點D的橫坐標(biāo)n即為該方程的另一個實數(shù)根,(1)在圖2中,按照“第四步”的操作方法作出點D(請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕
12、跡); (2)結(jié)合圖1,請證明“第三步”操作得到的m就是方程x25x20的一個實數(shù)根; (3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2bxc0(a0,b24ac0)的實數(shù)根,請你直接寫出一對固定點的坐標(biāo); (4)實際上,(3)中的固定點有無數(shù)對,一般地,當(dāng)m1,n1,m2,n2與a,b,c之間滿足怎樣的關(guān)系時,點P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一對固定點?,滿分必練4.2017連云港中考問題呈現(xiàn): 如圖1,點E,F(xiàn),G,H分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上,AEDG,求證:2S四邊形EFGHS矩形ABCD.(S表示面積) 實驗探究:某
13、數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn):若圖1中AHBF,點G在CD上移動時,上述結(jié)論會發(fā)生變化,分別過點E,G作BC邊的平行線,再分別過點F,H作AB邊的平行線,四條平行線分別相交于點A1,B1,C1,D1,得到矩形A1B1C1D1. 如圖2,當(dāng)AHBF時,若將點G向點C靠近(DGAE),經(jīng)過探索,發(fā)現(xiàn):2S四邊形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1. 如圖3,當(dāng)AHBF時,若將點G向點D靠近(DGAE),請?zhí)剿鱏四邊形EFGH,S矩形ABCD與S矩形A1B1C1D1之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由 遷移應(yīng)用: 請直接應(yīng)用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題: (1)如圖4,點E,F(xiàn),G,H分別是面積為25的正
14、方形ABCD各邊上的點,已知AHBF,AEDG,S四邊形EFGH11,HF ,求EG的長 (2)如圖5,在矩形ABCD中,AB3,AD5,點E,H分別在邊AB,AD上,BE1,DH2,點F,G分別是邊BC,CD上的動點,且FG ,連接EF,HG,請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值,【例4】2017紹興中考已知ABC,ABAC,D為直線BC上一點,E為直線AC上一點,ADAE,設(shè)BAD,CDE. (1)如圖,若點D在線段BC上,點E在線段AC上 如果ABC60,ADE70,那么 , ,求,之間的關(guān)系式 (2)是否存在不同于以上中的,之間的關(guān)系式?若存在,求出這個關(guān)系式(求出一個即可);若不存在
15、,說明理由,類型2 與圖形變換有關(guān)的幾何綜合題,一、圖形變換后,結(jié)論改變型,【思路分析】 (1)先利用等腰三角形的性質(zhì)求出DAE,進(jìn)而求出BAD,即可得出結(jié)論;利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;(2)當(dāng)點E在CA的延長線上,點D在線段BC上,同(1)的方法即可得出結(jié)論;當(dāng)點E在CA的延長線上,點D在CB的延長線上,同(1)的方法即可得出結(jié)論,【解】 (1)ABAC,ABC60, BAC60. ADAE,ADE70, DAE1802ADE40. BAD604020. ADCBADABD206080. CDEADCADE10. 故答案為:20,10. 設(shè)ABCx,ADEy,ACBx
16、,AEDy. 在DEC中,yx; 在ABD中,xyx, 2. (2)當(dāng)點E在CA的延長線上,點D在線段BC上,如圖1.,設(shè)ABCx,ADEy,ACBx,AEDy. 在ABD中,xy, 在DEC中,xy180,2180. 當(dāng)點E在CA的延長線上,點D在CB的延長線上,如圖2. 同的方法可得1802.,滿分技法這類探究問題的設(shè)問,常以適合某種條件的結(jié)論“成立”“不成立”“是否成立”等語句加以表述,從已知條件出發(fā),經(jīng)過推理能夠推出證明結(jié)論是否成立,二、圖形變換后,結(jié)論不變型 【例5】在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O.若四邊形ABCD是正方形如圖1,則有ACBD,ACBD. 旋轉(zhuǎn)圖1中的R
17、tCOD到圖2所示的位置,AC與BD有什么關(guān)系?(直接寫出) 若四邊形ABCD是菱形,ABC60,旋轉(zhuǎn)RtCOD至圖3所示的位置,AC與BD又有什么關(guān)系?寫出結(jié)論并證明,【思路分析】 圖2:根據(jù)四邊形ABCD是正方形,得到AOOC,BOOD,ACBD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ODOD,OCOC,DODCOC,等量代換得到AOBO,OCOD,AOCBOD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ACBD,OACOBD,即可得到結(jié)論;圖3:根據(jù)四邊形ABCD是菱形,得到ACBD,AOCO,BODO,求得OB OA,OD OC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ODOD,OCOC,DODCOC,求得OD OC,AOCBOD,根據(jù)相似三角
18、形的性質(zhì)得到BD AC,即可得出結(jié)論,【解】 圖2結(jié)論:ACBD,ACBD. 理由:四邊形ABCD是正方形, AOOC,BOOD,ACBD. 將RtCOD旋轉(zhuǎn)得到RtCOD, ODOD,OCOC,DODCOC. AOBO,OCOD,AOCBOD. 在AOC與BOD中, AOCBOD(SAS) ACBD,OACOBD. AODBOO,OBOBOO90,OACAOD90.ACBD.,滿分技法(1)解決探究性問題的關(guān)鍵是對題型中的變量過程進(jìn)行分析,把握原有圖形的特點,探究變化量的特點,借用類比思想逐步解題 (2)一般情況下,每一問采取的方法步驟基本相同,可概括為“方法類似,思路順延;類比滲透,知識遷
19、移”,滿分必練5.2017舟山中考如圖,AM是ABC的中線,D是線段AM上一點(不與點A重合)DEAB交AC于點F,CEAM,連接AE. (1)如圖1,當(dāng)點D與M重合時,求證:四邊形ABDE是平行四邊形; (2)如圖2,當(dāng)點D不與M重合時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由 (3)如圖3,延長BD交AC于點H,若BHAC,且BHAM. 求CAM的度數(shù); 當(dāng)FH ,DM4時,求DH的長,解:(1)證明:如圖1, DEAB,EDCABM. CEAM,ECDADB. AM是ABC的中線,且D與M重合, BDDC,ABDEDC. ABED. ABED, 四邊形ABDE是平行四邊形 (2)結(jié)論還成立理由
20、如下: 如圖2中,過點M作MGDE交CE于點G. CEAM,四邊形DMGE是平行四邊形, EDGM,且EDGM. 由(1)可知ABGM,ABGM, ABDE,ABDE. 四邊形ABDE是平行四邊形 (3)如圖3中,取線段HC的中點I,連接MI, BMMC,MI是BHC的中位線,【例6】2017海南中考如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E在AD邊上運動,且不與點A和點D重合,連接CE,過點C作CFCE交AB的延長線于點F,EF交BC于點G. (1)求證:CDECBF; (2)當(dāng)DE 時,求CG的長; (3)連接AG,在點E運動過程中,四邊形CEAG 能否為平行四邊形?若能,求出此時DE的
21、長; 若不能,說明理由,類型3 與動點有關(guān)的幾何綜合問題,【思路分析】 (1)先判斷出CBF90,進(jìn)而判斷出13,即可得出結(jié)論;(2)先求出AF,AE,再判斷出GBFEAF,可求出BG,即可得出結(jié)論;(3)假設(shè)是平行四邊形,先判斷出DEBG,進(jìn)而判斷出GBF和ECF是等腰直角三角形,即可得出GFBCFE45,即可得出結(jié)論,【解】 (1)證明:在正方形ABCD中,DCBC,DABCDCB90, CBF180ABC90,12DCB90. CFCE,ECF90. 32ECF90,13. 在CDE和CBF中,,(3)不能,理由如下: 若四邊形CEAG是平行四邊形,則必須滿足AECG,AECG, ADAEBCCG,DEBG. 由(1)知,CDECBF, DEBF,CECF. GBF和ECF是等腰直角三角形 GFB45,CFE45. CFAGFBCFE90. 此時點F與點B重合,點D與點E重合,與題目條
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