投籃問題的數(shù)學(xué)建模

1、摘 要如今全民大愛籃球運(yùn)動(dòng)，投球的命中率是一場比賽輸贏的關(guān)鍵所在，能否投入籃筐與投球時(shí)運(yùn)動(dòng)員所處的位置、投球時(shí)的角度和投球時(shí)的出手速度有很大關(guān)系，該論文主要以罰球?yàn)槌霭l(fā)點(diǎn)，排除了運(yùn)動(dòng)員因運(yùn)動(dòng)而造成的各種不利因素，討論其罰球時(shí)球心與籃筐中心距離，球心所處高度以及投球速度之間的變化對(duì)球入籃的影響。把其簡化成物理學(xué)上的上拋運(yùn)動(dòng)，對(duì)其水平上用勻速運(yùn)動(dòng)討論起運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在垂直方向以初速度為投球時(shí)的速度v，加速度為g做均減速運(yùn)動(dòng)討論其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。綜合求解出其運(yùn)動(dòng)軌跡，利用導(dǎo)數(shù)意義，求出所需高度，速度等變量的最值，得出以下結(jié)論和規(guī)律，在標(biāo)準(zhǔn)的籃球場上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員出手速度和出手角度均隨著出手高度增加而減小，但當(dāng)出手

2、高度一定時(shí)，出手速度越大則球入筐時(shí)的入射角度也越大，速度一定時(shí)，出手高度越大，出手角度應(yīng)越大，但是隨著速度的增加，高度對(duì)出手角度的影響變小，說明取決出手角度的變化對(duì)出手速度更為敏感。在出手高度為1.82.1m之間時(shí)，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允許偏差越小，而出手速度的允許偏差越大，且對(duì)出手角度的要求比對(duì)出手速度的要求嚴(yán)格;出手速度一定時(shí)，出手高度越大，出手角度的允許偏差越小，出手速度的允許偏差越大。關(guān)鍵詞：投籃，出手高度，出手速度，入射角度 問題提出在激烈的籃球比賽中，提高投籃命中率對(duì)于獲勝無疑起著決定作用，而出

3、手角度和出手速度是決定投籃能否命中的兩個(gè)關(guān)鍵因素。這里討論比賽中最簡單、但對(duì)于勝負(fù)也常常是很重要的一種投籃方式罰球。我們建立數(shù)學(xué)模型研究以下數(shù)學(xué)問題：1) 先不考慮籃球和籃框的大小，把它們的中心看成質(zhì)點(diǎn)，只是簡單的討論球心命中框心的條件。對(duì)不同的出手高度h和出手速度v，確定所對(duì)應(yīng)的不同的出手角度時(shí)所對(duì)應(yīng)的不同籃框的入射角度；2) 考慮籃球和籃框的大小，討論球心命中框心且球入框的條件。檢查上面得到的出手角度和籃框的入射角度是否符合這個(gè)條件；3) 為了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(這里暫不考慮偏左或偏右)， 只要球能入框就成，討論保證球入框的條件下，出手角度允許的最大偏差，和出手

4、速度允許的最大偏差；4) 考慮在空氣阻力的影響條件下，討論球心命中框心的條件；1問題的分析與模型的建立1.1 模型假設(shè) 、假設(shè)球出手后不考慮自身的旋轉(zhuǎn)； 、不考慮籃球碰籃板； 、不考慮空氣阻力對(duì)籃球的影響時(shí)；符號(hào)假定 d 籃球直徑 D 籃框直徑 L 罰球點(diǎn)和籃框中心的水平距離 H 籃框中心的高度 h 籃球運(yùn)動(dòng)員的出手高度 v 籃球運(yùn)動(dòng)員投籃出手速度 按照標(biāo)準(zhǔn)尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、問題的分析與模型的建立 問題1)的分析與模型的建立不考慮籃球和籃框的大小的簡單情況，相當(dāng)于將球視為質(zhì)點(diǎn)（球心）的斜拋運(yùn)動(dòng)。將坐標(biāo)原點(diǎn)定在球心P，列出x(水平)方向和y

5、（豎直）方向的運(yùn)動(dòng)方程，就可以得到球心的運(yùn)動(dòng)軌跡，于是球心命中框心的條件可以表示為出手角度與出手速度、出手高度之間的關(guān)系，以及籃框的入射角度與出手角度，由此可對(duì)不同的出手速度、出手高度，計(jì)算出手角度和入射角度。圖1.1 投籃模型 由于不考慮籃球和籃筐的大小，不考慮空氣阻力的影響，從未出手時(shí)的球心p為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸為水平方向，y軸為豎直方向，籃球在 t=0時(shí)以出手速度 v和出手角度投出，可視為質(zhì)點(diǎn)(球心)的斜拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程是我們熟知的 (1.1)其中g(shù)是重力加速度，由此可得到球心運(yùn)動(dòng)軌跡為如下拋物線： (1.2) 以x=L，y=H-h代入上式，就得到球心命中框心的條件 (1.3)可以看出，給

6、定出手速度v和出手高度h，有兩個(gè)出手角度滿足這個(gè)條件。而上式有解的前提為 (1.4)可對(duì)v求解得 (1.5)于是對(duì)于一定的高度h，使上式等號(hào)成立的為最小出手速度v它是h的減函數(shù)。由(1.3)式計(jì)算出兩個(gè)出手速度角度記作、且設(shè)，可以看出是h和v的減函數(shù)球入籃筐時(shí)的入射角度可從下式得到 (1.6)這里的導(dǎo)數(shù)由(1.2)式計(jì)算代入后可得 (1.7)于是對(duì)應(yīng)于、，有、，設(shè) 問題2)的分析與模型的建立： 考慮籃球和籃框的大小時(shí)，籃球的直徑d，籃框的直徑D。顯然，即使球心命中球框，若入射角太小，球會(huì)碰到框的近側(cè)A，不能入框。如圖所示：圖1.2 球入籃時(shí)的模型由圖不難得出滿足的球心應(yīng)命中框心且球入框的條件。

7、 (1.8)將d=24.6cm，D=45.0cm代入得 ，前面計(jì)算結(jié)果中不滿足這個(gè)條件的，當(dāng)然應(yīng)該去掉。 問題3)的分析與模型的建立： 球入框時(shí)，球心可以偏離框心，偏前的最大距離為，可以從入射角算出.根據(jù)和球心軌跡中x與的關(guān)系，能夠得到出手角度允許的最大偏差，出手速度v允許的最大偏差可以類似的處理。球入筐時(shí)球心可以偏前(偏后與偏前一樣)的最大距離為 (1.9)為了得到出手角度允許的最大偏差，可以在(1.3)式中以L+代替L重新計(jì)算，但是由于中包含，從而也包含，所以這種方法不能解析的求出。如果從(1.2)式出發(fā)并將y=H-h代入，可得 (1.10)對(duì)求導(dǎo)并令x=L，就有 (1.11)用近似代替左

8、邊的導(dǎo)數(shù)，即可得到出手角度的偏差與的如下關(guān)系 (1.12)由和已經(jīng)得到的也容易計(jì)算相對(duì)偏差類似的，(1.10)式對(duì)v求導(dǎo)并令x=L，可得到出手速度允許的最大偏差 (1.13)由(1.12)、(1.13)式的相對(duì)偏差為 (1.14)2模型的求解及結(jié)果分析2.1對(duì)不同出手高度的最小出手速度和對(duì)應(yīng)的出手角度使(1.5)式等號(hào)成立的v為最小出手速度，在這個(gè)速度下由(1.3)式可得相應(yīng)的出手角度為 (2.1)取出手高度 h=1.82.1(m)，利用公式求出，再根據(jù)，求出，用MATLAB求解，代碼如下：function v=fun(h);H=3.05;g=9.8;L=4.6;v=sqrt(g*H-h+sq

9、rt(L2+(H-h)2);fun(1.8)ans = 7.6789fun(1.9)ans = 7.5985fun(2.0)ans = 7.5186fun(2.1)ans = 7.4392結(jié)果如下圖所示。表2.1對(duì)不同出手高度的最小出手速度和對(duì)應(yīng)的出手角度h(m) (m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344由此得出，對(duì)應(yīng)與最小出手速度是最小出手角度，他們均隨著出手高度的增加而略有減小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.2 對(duì)不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度對(duì)出手速度v=8.09.0

10、(m/s)和出手高度1.82.1(m)，由公式，用MATLAB求解、function f=fun1(v);L=4.6;H=3.05;g=9.8;h=1.8;t=v2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/(2*v2);f=atan(t)/pi*180;fun1(8.0)ans = 62.4099用此求出所有的，同理可求出function f=fun1(v);L=4.6;H=3.05;g=9.8;h=1.8;t=v2/(g*L)*(1-sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/(2*v2);f=atan(t)/pi*180;fun1(8.0)ans = 42.7

11、925求出所有的，利用所求出的，再根據(jù)公式，計(jì)算出不同的出手角度、所對(duì)應(yīng)的不同的入射角度、，結(jié)果見下表2表2.2 對(duì)不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度v(m/s)h(m)8.01.81.92.02.162.409963.117463.728164.267042.792540.918839.130037.401953.876355.820657.494158.961520.921320.143119.647819.36988.51.81.92.02.167.697568.028868.336768.624437.504936.007534.521433.044462.172663.188

12、464.117964.972912.625012.775313.024013.35839.01.81.92.02.171.069771.274971.470071.656134.132732.761431.388130.012767.142667.797468.409868.98407.65508.16638.73219.3472根據(jù)前面計(jì)算，應(yīng)大于才能保證球入框，這里的均小于，不滿足條件，所以在考慮籃球和籃框大小的實(shí)際情況下，出手角度只能是所對(duì)應(yīng)的?？梢园l(fā)現(xiàn)，速度一定時(shí)，出手高度越大，出手角度應(yīng)越大，但是隨著速度的增加，高度對(duì)出手角度的影響變小，這種影響在左右；出手高度一定時(shí)，速度越大，出手

13、角度也應(yīng)越大，出手速度的影響在之間。2.3 分析出手角度和出手速度的最大偏差利用和上面所求的的，計(jì)算出手角度最大偏差和 ，再利用(13)、(14)式計(jì)算出手速度的最大偏差和，下面只將h=1.8(m)，h=2.0(m)的結(jié)果列入下表中。 表2.3 出手角度和出手速度之間的偏差關(guān)系h(m) (度)v(m/s)1.862.409967.697571.06978.08.59.0-0.7562-0.5603-0.45700.05280.06940.08031.22610.82760.64310.65970.81670.89252.063.728168.336771.47008.08.59.0-0.710

14、0-0.5411-0.44630.06010.07340.08321.11400.79180.62440.75110.86400.9243總的看來，允許偏差都相當(dāng)小。進(jìn)一步分析可知，速度越大，角度的允許偏差越小，而速度的允許偏差越大，且對(duì)角度的要求比對(duì)速度的要求嚴(yán)格；出手速度一定時(shí)，高度越大，出手角度的允許偏差越小，出手速度的允許偏差越大，但這時(shí)對(duì)出手角度和出手速度的要求都相對(duì)較低。3模型的改進(jìn)3.1當(dāng)考慮空氣阻力的影響時(shí)，出手角度有什么變化?？紤]水平方向的阻力時(shí)，應(yīng)該用微分方程求解球心的運(yùn)動(dòng)軌跡，由于阻力很小，可作適當(dāng)簡化。然后與前面類似的作各種計(jì)算。 假設(shè)只考慮水平方向的阻力，且阻力與速度成正比，設(shè)比例系數(shù)為 k。這時(shí)水平方向的運(yùn)動(dòng)由微分方程 (3.1)其解為： (3.2)因?yàn)樽枇Σ淮?，時(shí)間t也很小(約1秒)，所以將(3.2)式中的公式做泰勒展開后忽略二階以上的項(xiàng)得到(不考慮豎直方向的阻力，故 y(t)仍與(1.1)式相同)，得到 (3.3) 在不考慮籃球和籃筐大小時(shí)，球心命中框心的條件由方程組 (3.4) 同理于模型