《軸對稱》知識點(diǎn)歸納與對應(yīng)練習(xí)

1、 軸對稱知識點(diǎn)（一）軸對稱和軸對稱圖形1、有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱2、軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。（對稱軸必須是直線）3、對稱點(diǎn)：折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。4、軸對稱圖形的性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線

2、段被對稱軸垂直平分 軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。5畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形的步驟：找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫出關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，按照原圖順序依次連接各點(diǎn)。（二）、軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對稱的兩個圖形是全等形；軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形是全等形，并且成軸對稱聯(lián)系：1：都是折疊重合 2;如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個圖形那么他就是軸對稱圖形，反之亦然。（三）線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）（2）線段的垂直平

3、分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上（證明是必須有兩個點(diǎn)）因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合（四）用坐標(biāo)表示軸對稱1、 點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；2、 點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）；3、 點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y）。關(guān)于誰誰不變，關(guān)于原點(diǎn)都相反(五）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線yx對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）（6）

4、關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線xm對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2mx，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線yn對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2ny）；(七）等腰三角形1、 等腰三角形性質(zhì)：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）2、 等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）（8） 等邊三角形（9） 定義：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。1、 性質(zhì)和判定：（1） 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60。（2） 三個角都

5、相等的三角形是等邊三角形。（3） 有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。（4） 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（九）其他結(jié)論（1）三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等。（2）三角形三個邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。 作圖題專練ACDOB1如圖：已知AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到AOB兩邊的距離相等2已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)M（1）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得 AMBM 最?。蛔鞣ǎ海?）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得AMBM最大 作法：（3）如圖，在l上求作

6、一點(diǎn)M，使得AMBM最小（4）如果兩點(diǎn)位于直線異側(cè)，請你去解決上述問題變式練習(xí)1、如圖，已知直線MN與MN同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在MN上，且APMBPN 2如圖點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長最小；3.如圖已知線段a，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn)P、Q （點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQa，四邊形APQB的周長最小4、已知：如圖點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點(diǎn)P，在OB邊上求作一點(diǎn)Q，使得PMQ的周長最小；5、已知：如圖314，點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最小6

7、、一條河兩岸有A、B兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并在河上垂直于河岸架一座橋，用來連接A、B兩地，問路線怎樣走，橋應(yīng)架在什么地方，才能使從A到B所走的路線最短？軸對稱、線段垂直平分線、角平分線、等腰三角形軸對稱圖形 如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸毛有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸軸對稱 有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱圖形軸對稱的性質(zhì)如果兩個圖形成軸對稱，那么對

8、稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對稱的兩個圖形是全等形；軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形是全等形，并且成軸對稱線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 軸對稱變換由一個

9、平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到軸對稱變換的性質(zhì)（1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)（3）連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分作一個圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對稱圖形 關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)

10、的坐標(biāo)是（x，y）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線yx對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線xm對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2mx，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線yn對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2ny）；等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別

11、的：（1）等腰三角形是軸對稱圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)相等.等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（2）有兩邊上的角平分線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上的高線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形 等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60等邊三角形的判定方法（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2

12、）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形角平分線的性質(zhì)：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的判定：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.三角形的角平分線的性質(zhì)：三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等添加輔助線口訣幾何證明難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，倍長中線把線連.線段垂直平分線，常向兩端來連線.線段和差及倍分，延長截取全等現(xiàn)；公共角、公共邊，隱含條件要挖掘；平移對稱加旋轉(zhuǎn)，全等圖形多變換.角平分線取一點(diǎn)，可向兩邊作垂線； 也可將圖對折看，對稱之后關(guān)系現(xiàn)； 角平分線加平行，等腰三角形來添； 角平分線伴垂直，三線合

13、一試試看。 練習(xí)試題考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認(rèn)識軸對稱圖形：如果_個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠_，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫做_。軸對稱：對于_個圖形，如果沿著一條直線對折后，它們能完全重合，那么稱這兩個圖形成_，這條直線就是對稱軸。兩個圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做_1.下列幾何圖形中，線段角直角三角形半圓，其中一定是軸對稱圖形的有【 】A1個B2個C3個D4個2圖中，軸對稱圖形的個數(shù)是【 】A4個 B3個 C2個 D1個3正n邊形有_條對稱軸，圓有_條對稱軸考點(diǎn)二、軸對稱變換及用坐標(biāo)表示軸對稱（1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的_、_完全一樣（2）經(jīng)過軸對稱

14、變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于_的對稱點(diǎn)（3）連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸_考點(diǎn)三、作一個圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對稱圖形4如圖，RtABC，C90,B30,BC8，D為AB中點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，連接AP、DP,則APDP的最小值是 5已知等邊ABC，E在BC的延長線上，CF平分DCE，P為射線BC上一點(diǎn)，Q為CF上一點(diǎn)，連接AP、PQ.若APPQ，求證APQ是多少度考點(diǎn)四、線段垂直平分線的性質(zhì)線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是_線段的垂直平分線上的點(diǎn)到_相等歸類回憶角平分線

15、的性質(zhì)角是軸對稱圖形，其對稱軸是_角平分線上的點(diǎn)到_相等6如圖，ABC中，A90，BD為ABC平分線，DEBC，E是BC的中點(diǎn)，求C的度數(shù)。7如圖，ABC中，ABAC，PBPC，連AP并延長交BC于D，求證：AD垂直平分BC8如圖,DE是ABC中AC邊的垂直平分線，若BC8厘米，AB10厘米，則EBC 的周長為【 】A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米9如圖，BAC30，P是BAC平分線上一點(diǎn)，PM AC，PDAC，PD30 , 則AM 10如圖，在RtABC中，ACB 90，BAC的平分線交 BC于D. 過C點(diǎn)作CGAB于G，交AD于E. 過D點(diǎn)作DFAB于F.下列結(jié)論：C

16、EDCDE；ADF2ECD； ；CEDF. 其中正確結(jié)論的序號是【 】A B C D考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識別等腰三角形的兩個_相等（簡寫成“_”）等腰三角形的_、_、_互相重合（簡稱為“_”）特別的：（1）等腰三角形是_圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)_.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的_也相等（簡稱為“_”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（2）有兩邊上的角平分線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上的高線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形11如圖，ABC中，ABA

17、C8，D在BC上，過D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，則四邊形AFDE的周長為_ 。12如圖，ABC中，BD、CD分別平分ABC與ACB，EF過D且EFBC，若AB 7，BC 8，AC 6，則AEF周長為【 】A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 13如圖,點(diǎn)B、D、F在AN上,C、E在AM上，且ABBCCDEDEF,A20o,則FEB_度14已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40，則它的一個底角的度數(shù)是_15ABC中， DF是AB的垂直平分線，交BC于D，EG是AC的垂直平分線，交BC于E，若DAE20，則BAC等于 16從一個等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將

18、其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于 17已知，在ABC中，ACB90，點(diǎn)D、E在直線AB上，且ADAC，BEBC，則DCE 度.18如圖：在ABC中，ABAC，ADBC， DEAB于點(diǎn)E, DFAC于點(diǎn)F。試說明DEDF。19如圖,E在ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DFEF，BDCE.求證：ABC是等腰三角形.20已知：如圖，ABC中，ACB的平分線交AB于E，EFBC交AC于點(diǎn)F，交ACB的外角平分線于點(diǎn)G試判斷EFC的形狀，并說明你的理由21如圖，ABC中，ABDC，ADDCCB，AD、BC的延長線相交于G，CEAG于E，CFAB于F.（1

19、）請寫出圖中4組相等的線段（已知的相等線段除外）； （2）選擇（1）中你所寫出的一組相等線段，說明它們相等的理由. 考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識別等邊三角形的各_相等，各_相等并且每一個角都等于_三個角相等的三角形是_三角形有一個角是60的_三角形是等邊三角形特別的：等邊三角形的中線、高線、角平分線_22下列推理中，錯誤的是【 】AABC，ABC是等邊三角形BABAC，且BC，ABC是等邊三角形CA60，B60，ABC是等邊三角形DABAC，B60，ABC是等邊三角形23如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。24已知ABC是等邊三角形，分別在AC、BC上取點(diǎn)E、F，且AECF，BE、AF交于點(diǎn)D，則BDF _度25如圖，點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到三邊的距離分別為PE、PF、PG，等邊ABC的高為AD，求證：PEPFPGAD26