《軸對(duì)稱》知識(shí)點(diǎn)歸納與對(duì)應(yīng)練習(xí)

1、 軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)（一）軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形1、有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱2、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線就是它的對(duì)稱軸。（對(duì)稱軸必須是直線）3、對(duì)稱點(diǎn)：折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。4、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。類似的，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線

2、段被對(duì)稱軸垂直平分 軸對(duì)稱圖形上對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。5畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形的步驟：找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，按照原圖順序依次連接各點(diǎn)。（二）、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱聯(lián)系：1：都是折疊重合 2;如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形那么他就是軸對(duì)稱圖形，反之亦然。（三）線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）（2）線段的垂直平

3、分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上（證明是必須有兩個(gè)點(diǎn)）因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合（四）用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱1、 點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；2、 點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）；3、 點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y）。關(guān)于誰誰不變，關(guān)于原點(diǎn)都相反(五）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線yx對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）（6）

4、關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線xm對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2mx，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線yn對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2ny）；(七）等腰三角形1、 等腰三角形性質(zhì)：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）2、 等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）（8） 等邊三角形（9） 定義：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。1、 性質(zhì)和判定：（1） 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。（2） 三個(gè)角都

5、相等的三角形是等邊三角形。（3） 有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。（4） 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。（九）其他結(jié)論（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等。（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 作圖題專練ACDOB1如圖：已知AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到AOB兩邊的距離相等2已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)M（1）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得 AMBM 最?。蛔鞣ǎ海?）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得AMBM最大 作法：（3）如圖，在l上求作

6、一點(diǎn)M，使得AMBM最小（4）如果兩點(diǎn)位于直線異側(cè)，請(qǐng)你去解決上述問題變式練習(xí)1、如圖，已知直線MN與MN同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在MN上，且APMBPN 2如圖點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長(zhǎng)最?。?.如圖已知線段a，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn)P、Q （點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQa，四邊形APQB的周長(zhǎng)最小4、已知：如圖點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點(diǎn)P，在OB邊上求作一點(diǎn)Q，使得PMQ的周長(zhǎng)最??；5、已知：如圖314，點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最小6

7、、一條河兩岸有A、B兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并在河上垂直于河岸架一座橋，用來連接A、B兩地，問路線怎樣走，橋應(yīng)架在什么地方，才能使從A到B所走的路線最短？軸對(duì)稱、線段垂直平分線、角平分線、等腰三角形軸對(duì)稱圖形 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸毛有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對(duì)稱軸軸對(duì)稱 有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)

8、稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 軸對(duì)稱變換由一個(gè)

9、平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換后得到軸對(duì)稱變換的性質(zhì)（1）經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)（3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)

10、的坐標(biāo)是（x，y）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線yx對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線xm對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2mx，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線yn對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2ny）；等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別

11、的：（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（2）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形 等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60等邊三角形的判定方法（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2

12、）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形角平分線的性質(zhì)：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的判定：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.三角形的角平分線的性質(zhì)：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等添加輔助線口訣幾何證明難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，倍長(zhǎng)中線把線連.線段垂直平分線，常向兩端來連線.線段和差及倍分，延長(zhǎng)截取全等現(xiàn)；公共角、公共邊，隱含條件要挖掘；平移對(duì)稱加旋轉(zhuǎn)，全等圖形多變換.角平分線取一點(diǎn)，可向兩邊作垂線； 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱之后關(guān)系現(xiàn)； 角平分線加平行，等腰三角形來添； 角平分線伴垂直，三線合

13、一試試看。 練習(xí)試題考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對(duì)稱圖形”與“軸對(duì)稱”的認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形：如果_個(gè)圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠_，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做_。軸對(duì)稱：對(duì)于_個(gè)圖形，如果沿著一條直線對(duì)折后，它們能完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成_，這條直線就是對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做_1.下列幾何圖形中，線段角直角三角形半圓，其中一定是軸對(duì)稱圖形的有【 】A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2圖中，軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是【 】A4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)3正n邊形有_條對(duì)稱軸，圓有_條對(duì)稱軸考點(diǎn)二、軸對(duì)稱變換及用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱（1）經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的_、_完全一樣（2）經(jīng)過軸對(duì)稱

14、變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于_的對(duì)稱點(diǎn)（3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸_考點(diǎn)三、作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形4如圖，RtABC，C90,B30,BC8，D為AB中點(diǎn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP,則APDP的最小值是 5已知等邊ABC，E在BC的延長(zhǎng)線上，CF平分DCE，P為射線BC上一點(diǎn)，Q為CF上一點(diǎn)，連接AP、PQ.若APPQ，求證APQ是多少度考點(diǎn)四、線段垂直平分線的性質(zhì)線段是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是_線段的垂直平分線上的點(diǎn)到_相等歸類回憶角平分線

15、的性質(zhì)角是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是_角平分線上的點(diǎn)到_相等6如圖，ABC中，A90，BD為ABC平分線，DEBC，E是BC的中點(diǎn)，求C的度數(shù)。7如圖，ABC中，ABAC，PBPC，連AP并延長(zhǎng)交BC于D，求證：AD垂直平分BC8如圖,DE是ABC中AC邊的垂直平分線，若BC8厘米，AB10厘米，則EBC 的周長(zhǎng)為【 】A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米9如圖，BAC30，P是BAC平分線上一點(diǎn)，PM AC，PDAC，PD30 , 則AM 10如圖，在RtABC中，ACB 90，BAC的平分線交 BC于D. 過C點(diǎn)作CGAB于G，交AD于E. 過D點(diǎn)作DFAB于F.下列結(jié)論：C

16、EDCDE；ADF2ECD； ；CEDF. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是【 】A B C D考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識(shí)別等腰三角形的兩個(gè)_相等（簡(jiǎn)寫成“_”）等腰三角形的_、_、_互相重合（簡(jiǎn)稱為“_”）特別的：（1）等腰三角形是_圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)_.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的_也相等（簡(jiǎn)稱為“_”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（2）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形11如圖，ABC中，ABA

17、C8，D在BC上，過D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，則四邊形AFDE的周長(zhǎng)為_ 。12如圖，ABC中，BD、CD分別平分ABC與ACB，EF過D且EFBC，若AB 7，BC 8，AC 6，則AEF周長(zhǎng)為【 】A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 13如圖,點(diǎn)B、D、F在AN上,C、E在AM上，且ABBCCDEDEF,A20o,則FEB_度14已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是_15ABC中， DF是AB的垂直平分線，交BC于D，EG是AC的垂直平分線，交BC于E，若DAE20，則BAC等于 16從一個(gè)等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將

18、其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于 17已知，在ABC中，ACB90，點(diǎn)D、E在直線AB上，且ADAC，BEBC，則DCE 度.18如圖：在ABC中，ABAC，ADBC， DEAB于點(diǎn)E, DFAC于點(diǎn)F。試說明DEDF。19如圖,E在ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DFEF，BDCE.求證：ABC是等腰三角形.20已知：如圖，ABC中，ACB的平分線交AB于E，EFBC交AC于點(diǎn)F，交ACB的外角平分線于點(diǎn)G試判斷EFC的形狀，并說明你的理由21如圖，ABC中，ABDC，ADDCCB，AD、BC的延長(zhǎng)線相交于G，CEAG于E，CFAB于F.（1

19、）請(qǐng)寫出圖中4組相等的線段（已知的相等線段除外）； （2）選擇（1）中你所寫出的一組相等線段，說明它們相等的理由. 考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識(shí)別等邊三角形的各_相等，各_相等并且每一個(gè)角都等于_三個(gè)角相等的三角形是_三角形有一個(gè)角是60的_三角形是等邊三角形特別的：等邊三角形的中線、高線、角平分線_22下列推理中，錯(cuò)誤的是【 】AABC，ABC是等邊三角形BABAC，且BC，ABC是等邊三角形CA60，B60，ABC是等邊三角形DABAC，B60，ABC是等邊三角形23如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。24已知ABC是等邊三角形，分別在AC、BC上取點(diǎn)E、F，且AECF，BE、AF交于點(diǎn)D，則BDF _度25如圖，點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到三邊的距離分別為PE、PF、PG，等邊ABC的高為AD，求證：PEPFPGAD26