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文檔簡介

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題答案詳解版(廖茂新復旦版)習 題 一1.設A,B,C為三個事件,用A,B,C的運算式表示下列事件:(1) A發(fā)生而B與C都不發(fā)生;(2) A,B,C至少有一個事件發(fā)生;(3) A,B,C至少有兩個事件發(fā)生;(4) A,B,C恰好有兩個事件發(fā)生;(5) A,B至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生;(6) A,B,C都不發(fā)生.解:(1)A或A-B-C或A-(BC).(2)ABC.(3)(AB)(AC)(BC).(4)(AB)(AC)(BC).(5)(AB).(6)或.2.對于任意事件A,B,C,證明下列關系式:(1)(A+B) (A+)(+ B)(+)= ;(2)AB+B +A+= AB;

2、(3)A-(B+C)= (A-B)-C.證明:略.3.設A,B為兩事件,P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求:(1) A發(fā)生但B不發(fā)生的概率;(2) A,B都不發(fā)生的概率;(3) 至少有一個事件不發(fā)生的概率.解(1) P(A)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.4; (2) P()=P()=1-P(AB)=1-0.7=0.3;(3) P()=P()=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.調查某單位得知。購買空調的占15,購買電腦占12,購買DVD的占20%;其中購買空調與電腦占6%,購買空調與DVD占10%,購買電腦和DVD占5,三種電器都購買占2

3、。求下列事件的概率。(1)至少購買一種電器的;(2)至多購買一種電器的;(3)三種電器都沒購買的.解:(1) 0.28, (2)0.83, (3) 0.725.10把鑰匙中有3把能打開門,今任意取兩把,求能打開門的概率。解:8/156.任意將10本書放在書架上。其中有兩套書,一套3本,另一套4本。求下列事件的概率。(1)3本一套放在一起; (2)兩套各自放在一起;(3)兩套中至少有一套放在一起.解: (1)1/15, (2)1/210, (3)2/217. 12名新生中有3名優(yōu)秀生,將他們隨機地平均分配到三個班中去,試求:(1) 每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率;(2) 3名優(yōu)秀生分配到同一個班的

4、概率.解 12名新生平均分配到三個班的可能分法總數(shù)為(1) 設A表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”3名優(yōu)秀生每一個班分配一名共有3!種分法,而其他9名學生平均分配到3個班共有種分法,由乘法原理,A包含基本事件數(shù)為3!=故有P(A)=/=16/55(2) 設B表示“3名優(yōu)秀生分到同一班”,故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法,其他9名學生分法總數(shù)為,故由乘法原理,B包含樣本總數(shù)為3.故有 P(B)=/=3/558.箱中裝有a只白球,b只黑球,現(xiàn)作不放回抽取,每次一只.(1) 任取m+n只,恰有m只白球,n只黑球的概率(ma,nb);(2) 第k次才取到白球的概率(kb+1);(3) 第k次恰取到白球的

5、概率.解 (1)可看作一次取出m+n只球,與次序無關,是組合問題.從a+b只球中任取m+n只,所有可能的取法共有種,每一種取法為一基本事件且由于對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同.從a只白球中取m只,共有種不同的取法,從b只黑球中取n只,共有種不同的取法.由乘法原理知,取到m只白球,n只黑球的取法共有種,于是所求概率為p1=.(2) 抽取與次序有關.每次取一只,取后不放回,一共取k次,每種取法即是從a+b個不同元素中任取k個不同元素的一個排列,每種取法是一個基本事件,共有個基本事件,且由于對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同.前k-1次都取到黑球,從b只黑球中任取k-1只的排法種數(shù),有種,第

6、k次抽取的白球可為a只白球中任一只,有種不同的取法.由乘法原理,前k-1次都取到黑球,第k次取到白球的取法共有種,于是所求概率為p2=.(3) 基本事件總數(shù)仍為.第k次必取到白球,可為a只白球中任一只,有種不同的取法,其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只,共有種不同的取法,由乘法原理,第k次恰取到白球的取法有種,故所求概率為p3=.9.在區(qū)間(0,1)內任取兩個數(shù),求這兩個數(shù)的乘積小于1/4的概率.解 設在(0,1)內任取兩個數(shù)為x,y,則0x1,0y1圖1-7即樣本空間是由點(x,y)構成的邊長為1的正方形,其面積為1.令A表示“兩個數(shù)乘積小于1/4”,則A=(x,y

7、)0xy1/4,0x1,0y1事件A所圍成的區(qū)域見圖1-7,則所求概率P(A) =.10.兩人相約在某天下午500600在預定地方見面,先到者要等候20分鐘,過時則離去.如果每人在這指定的一小時內任一時刻到達是等可能的,求約會的兩人能會到面的概率.解 設x,y為兩人到達預定地點的時刻,那么,兩人到達時間的一切可能結果落在邊長為60的正方形內,這個正方形就是樣本空間,而兩人能會面的充要條件是x-y20,即x-y20且y-x20.令事件A表示“兩人能會到面”,這區(qū)域如圖1-8中的A.則P(A) =11.一盒中裝有5只產(chǎn)品,其中有3只正品,2只次品,從中取產(chǎn)品兩次,每次取一只,作不放回抽樣,求在第一

8、次取到正品條件下,第二次取到的也是正品的概率.解 設A表示“第一次取到正品”的事件,B表示“第二次取到正品”的事件由條件得P(A)=(34)/(54)= 3/5,P(AB)= (32)/(54)= 3/10,故有 P(BA)=P(AB)/P(A)=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此題也可按產(chǎn)品編號來做,設1,2,3號為正品,4,5號為次品,則樣本空間為=1,2,3,4,5,若A已發(fā)生,即在1,2,3中抽走一個,于是第二次抽取所有可能結果的集合中共有4只產(chǎn)品,其中有2只正品,故得P(BA)=2/4=1/2.12.設P()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5,求P(BA).解 13.

9、設盒中有m只紅球,n只白球,每次從盒中任取一只球,看后放回,再放入k只與所取顏色相同的球.若在盒中連取四次,試求第一次,第二次取到紅球,第三次,第四次取到白球的概率.解 設Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到紅球的事件, (i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.則有14.倉庫中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次為甲、乙、丙廠生產(chǎn)的,且甲廠,乙廠、丙廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的次品率依次為1/10,1/15,1/20.從這十箱產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品,求取得正品的概率。解:0.9215.有兩箱同類零件,第一箱有50個,其中10個一等品,第二箱有30個,其中18個一等品?,F(xiàn)任取一箱,

10、從中任取零件兩次,每次取一個,取后不放回。求:(1)第二次取到的零件是一等品的概率;(2)在第一次取到一等品的條件下,第二次取到一等品的條件概率;(3)兩次取到的都不是一等品的概率。解:設 表示取到第一箱零件,:表示第次取到一等品,由全概率公式知:16.設有甲乙兩袋,甲袋中有只白球、只紅球;乙袋中有只白球、只紅球.今從甲袋中任取一球放入乙袋中,再從乙袋中任取一球.問從乙袋中取到白球的概率是多少?解:記 :甲袋中取得白球;:甲袋中取得紅球;:從乙袋中取得白球;由全概率公式17.一箱產(chǎn)品,A,B兩廠生產(chǎn)分別個占60,40,其次品率分別為1,2?,F(xiàn)在從中任取一件為次品,問此時該產(chǎn)品是哪個廠生產(chǎn)的可能

11、性最大?解:取出產(chǎn)品是B廠生產(chǎn)的可能性大。18.由以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗具有如下效果:被診斷者有癌癥,試驗反應為陽性的概率為0.95;被診斷者沒有癌癥,試驗反應為陰性的概率為0.95現(xiàn)對自然人群進行普查,設被試驗的人群中患有癌癥的概率為0.005,求:已知試驗反應為陽性,該被診斷者確有癌癥的概率.解 設A表示“患有癌癥”,表示“沒有癌癥”,B表示“試驗反應為陽性”,則由條件得P(A)=0.005,P()=0.995,P(BA)=0.95,P()=0.95由此 P(B)=1-0.95=0.05由貝葉斯公式得P(AB)=0.087.19.設每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進行多少次

12、獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?解 設必須進行n次獨立射擊.即為 故 n11至少必須進行11次獨立射擊.20.三人獨立地破譯一個密碼,他們能破譯的概率分別為1/5, 1/3, 1/4,求將此密碼破譯出的概率.解 設Ai=第i人能破譯(i=1,2,3),則 21.設在N件產(chǎn)品中有M件次品,現(xiàn)進行n次有放回的檢查抽樣,試求抽得k件次品的概率. 解 由條件,這是有放回抽樣,可知每次試驗是在相同條件下重復進行,故本題符合n重貝努里試驗的條件,令A表示“抽到一件次品”的事件.則P(A)=p=M/N,以Pn(k)表示n次有放回抽樣中,有k次出現(xiàn)次品的概率,由貝努里概型計算公式,可知Pn(k)

13、=, k=0,1,2,,n. 22.將一枚均勻硬幣擲2n次,求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.解 擲2n次硬幣,可能出現(xiàn):A=正面次數(shù)多于反面次數(shù),B=正面次數(shù)少于反面次數(shù),C=正面次數(shù)等于反面次數(shù),A,B,C兩兩互斥.可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的,故P(A)=P(B).所以由2n重貝努里試驗中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 習 題 二1.從一批有10個合格品與3個次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品,各種產(chǎn)品被抽到的可能性相同,求在二種情況下,直到取出合格品為止,所求抽取次數(shù)的分布律:(1)放回;(2)不放回.解 (1)123410/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/1

14、1)(3/13)(2/12)(1/11)(2) 2.設隨機變量X的分布律為PX=k=,其中k=0,1,2,0為常數(shù),試確定常數(shù)a.解 由分布律的性質知故 3.某大學的校乒乓球隊與數(shù)學系乒乓球隊舉行對抗賽.校隊的實力較系隊為強,當一個校隊運動員與一個系隊運動員比賽時,校隊運動員獲勝的概率為0.6.現(xiàn)在校、系雙方商量對抗賽的方式,提了三種方案:(1)雙方各出3人;(2)雙方各出5人;(3)雙方各出7人.三種方案中均以比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利.問:對系隊來說,哪一種方案有利?解 設系隊得勝人數(shù)為X,則在上述三種方案中,系隊勝利的概率為(1) PX2=0.352;(2) PX3=0.317;(3)

15、 PX4=0.290.因此第一種方案對系隊最為有利.這在直覺上是容易理解的,因為參賽人數(shù)越少,系隊僥幸獲勝的可能性也就越大.4.一籃球運動員的投籃命準率為45%,以表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù),寫出的分布律,并計算取偶數(shù)的概率.解:隨機變量所有可能的取值為:, 分布律為:, :一列互不相容的事件的和, 所以.5.某十字路口有大量汽車通過,假設每輛汽車在這里發(fā)生交通事故的概率為0.001,如果每天有5000輛汽車通過這個十字路口,求發(fā)生交通事故的汽車數(shù)不少于2的概率.解 設X表示發(fā)生交通事故的汽車數(shù),則Xb(n,p),此處n=5000,p=0.001,令=np=5,PX2=1-PX2=1-=

16、1-(0.999)5000-5(0.999)4999.查表可得PX2=1-0.00674-0.03369=0.95957.6.設在獨立重復實驗中,每次實驗成功概率為0.5,問需要進行多少次實驗,才能使至少成功一次的概率不小于0.9。解 7.設隨機變量X分布函數(shù)為F(x)=(1) 求常數(shù)A,B;(2) 求PX2,PX3;(3) 求分布密度f(x).【解】(1)由得(2) (3) 8.設隨機變量X的概率密度為f(x)=求X的分布函數(shù)F(x),并畫出f(x)及F(x).【解】當x0時F(x)=0當0x1時 當1x0;(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).【解】(1) 由知故 即

17、密度函數(shù)為 當x0時當x0時 故其分布函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當x0時F(x)=0當0x1時 當1x0時, 故 (2) 當y0時當y0時 故4.設隨機變量XU(0,1),試求:Z= -2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】 由P(0X0時, 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為5.設隨機變量(X,Y)的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05(1) 求V=max(X

18、,Y)的分布律;(2) 求U=min(X,Y)的分布律;【解】(1) 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(2) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.176.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為fX(x)= fY(y)=求隨機變量Z=X+Y的分布密度.解 X,Y相互獨立,所以由卷積公式知fZ(z)=.由題設可知fX(x)fY(y)只有當0x1,y0,即當0x1且z-x0時才不等于零.現(xiàn)在所求的積分變量為x,z當作參數(shù),當積分變量滿足x的不等式組0x1xz時,被積函數(shù)fX(x)fY(z-x)0.下面針

19、對參數(shù)z的不同取值范圍來計算積分.當z0時,上述不等式組無解,故fX(x)fY(z-x)=0.當0z1時,不等式組的解為0xz.當z1時,不等式組的解為0x1.所以fZ(z)=,7.設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 求:(1)隨機變量的密度函數(shù);(2)隨機變量的密度函數(shù);(3)隨機變量的密度函數(shù).解:由題意的概率密度函數(shù)分別為由兩個隨機變量和的密度函數(shù)公式,要使被積函數(shù)非,必須滿足故的密度函數(shù)應為8.設隨機變量與相互獨立,且都服從參數(shù)為的泊松(Poisson)分布,證明仍服從泊松分布,參數(shù)為.證明:記,則所有可能的取值為:, 由離散卷積公式有 即服從參數(shù)為的泊松分布.9.設X和Y分別表示兩個不同

20、電子器件的壽命(以小時計),并設X和Y相互獨立,且服從同一分布,其概率密度為f(x)=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當z0時,(2) 當0z2/3,=2:=1/435/12=35/481/3.可見契比雪夫不等式成立.2. 假設一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%,問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件?【解】令而至少要生產(chǎn)n件,則i=1,2,n,且X1,X2,Xn獨立同分布,p=PXi=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n268.96, 故取n=269.3. 某車間有同型號機床200部,每部機床開動的概率為0.7,假定各機床開動與否互不影響,開動時每部機床消耗電能15個單位.問至少供應多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應的電能量,應先確定此車間同時開動的機床數(shù)目最大值m,而m要滿足200部機床中同時開動的機床數(shù)目不超過m的概率為95

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