三次參數(shù)樣條曲線

1、三次參數(shù)樣條曲線,問題提出,有空間的n個點,p1,p2, p3，,pn 要用一條曲線光滑連接,p1,p2,p3,pn,p4,解決問題的思路,插值 三次樣條曲線 三次參數(shù)樣條曲線,三次樣條曲線-定義,對于給定的n個型值點Pi(xi,yi),且hi=xi+1-xi0, i=1,2,n，若y=S(x)滿足下列條件： (1) 在Pi(xi,yi)點上有yi=S(xi)； (2) S(x)在x1 , xn上二階連續(xù)可導； (3)在每個子區(qū)間xi , xi+1上，S(x)是x的三次多項式； 則稱S(x)為過型值點的三次樣條函數(shù)，由三次樣條函數(shù)構(gòu)成的曲線稱為三次樣條曲線。,三次樣函數(shù)的形式推導,由定義可知在

2、xi , xi+1上，Si(x)可寫成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3 ai, bi, ci, di為待定系數(shù) (1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = ai ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（用于求bi） (2)由Si (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有 Si (xi)= bi 由Si (x)= 2ci+6di(x-xi) 有 Si (xi)= 2ci,三次樣函數(shù)的形式推導,(3)要求曲線在二階連續(xù)可導，則有 Si (xi+1)= Si+1 (

3、xi+1) Si (xi+1)= Si+1 (xi+1) 從而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1 2ci+6di hi=2ci+1 (求di) (4)令Mi=2ci; 則有： ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6),三次樣函數(shù)的形式推導,從而有： ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1 (xi)= Si (xi)

4、 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：i= hi-1/(hi-1+hi),i= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1 可得：i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di， 其中：i+i=1，i=2,3,n-1,三次樣函數(shù)的端點條件,(1)夾持端： 端點處一階導數(shù)已知，即 S1 (x1)=y1 亦即y1= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6( y2- y1)/ h1- y1/ h1 Sn-1 (xn)=yn 亦即yn-1= bn-

5、1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6) Mn-1+ 2Mn=6 yn -( yn- yn-1)/ hn-1/ hn-1 得方程組為： 2 M1+ M2=6( y2- y1)/ h1- y1/ h1; i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di，i=2,3,n-1; Mn-1+ 2Mn=6 yn -( yn- yn-1)/ hn-1/ hn-1;,三次樣函數(shù)的端點條件,(2)自由端： 端點處曲線二階導數(shù)為零 即S1 (x1)=y1=0 , Sn-1 (xn)=yn=0 亦即 S1 (x1)= 2c1=0；=M1=0 Sn-1 (xn)=2cn-1+6d

6、n-1hn-1=0；= Mn=0 得方程組： M1=0; i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di，i=2,3,n-1; Mn=0;,三次樣函數(shù)的端點條件,(3)拋物端： 曲線的首尾兩段S1(x) 和Sn-1(x)為拋物線。即曲線在首尾兩段曲線上二階導數(shù)為常數(shù)。 y1 =y2 ，yn-1 =yn S1 (x1)=2c1= S2 (x2)= 2c2 =M1= M2 Sn-2 (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1 (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1 =Mn-1= Mn 得方程組： M1 - M2=0; i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di，i=2,3,n-1

7、; Mn-1 - Mn=0;,三次樣條曲線-程序,程序演示,三次參數(shù)樣條曲線,有空間的n個點,p1,p2, p3，,pn 要用一條三次參數(shù)樣條曲線插值,p1,p2,p3,pn,p4,三次參數(shù)樣條曲線定義,三次參數(shù)樣條曲線的表達式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0=t=tm 在兩點p1,p2之間定義一條該曲線（參數(shù)形式） 令p1t=0; p2t=t2; 已知： p1， p2 代入方程可得方程系數(shù)B1B2B3 B4,p1,p2,三次參數(shù)樣條曲線推導,三次參數(shù)樣條曲線推導,連續(xù)的三次參數(shù)樣條曲線,連續(xù)的三次參數(shù)樣條曲線,式中： pi 第i點的切矢量為未知數(shù)，(i=1,，n) 求解n個未知數(shù)，要n個方程,連續(xù)的三次參數(shù)樣條曲線端點條件,三次參數(shù)樣條曲線端點條件,三次參數(shù)樣條曲線,求三次參數(shù)樣條曲線的表達式 p(t)=B1