線性變換思想在中學數(shù)學中的應(yīng)用

1、線性變換思想在中學數(shù)學中的應(yīng)用摘要：本文首先給出了線性變換的定義以及中學數(shù)學中涉及到的幾種特殊的線性變換，包括其表達式及特征等。然后介紹了這幾種線性變換在中學幾何中的意義, 它是普通線性變換的一個自然推廣,同時研究了線性變換在幾何中的應(yīng)用。最后,給出了具體實例說明了利用線性變換解決中學中平面幾何題的方法以及線性變換思想在中學數(shù)學中的影響。關(guān)鍵詞：線性變換 中學數(shù)學 幾何應(yīng)用隨著社會的進步和時代的發(fā)展，針對我國中學數(shù)學課程現(xiàn)狀，制定和實施新的課程標準勢在必行。2003年頒布了普通高中數(shù)學課程標準(實驗)(以下簡稱標準)。由參考文獻1、2、3、4可知：標準規(guī)定的課程與以往的課程相比，內(nèi)容上發(fā)生很大

2、的變化，尤其在選修系列中，增加了矩陣與變換、數(shù)列與差分、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步、統(tǒng)籌法與圖論、風險與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)等內(nèi)容，矩陣與變換是選修系列4.2的內(nèi)容。矩陣是代數(shù)學的基本內(nèi)容之一，變換是幾何中的基本內(nèi)容之一。對于中學數(shù)學教材改革來說，認真研究怎樣把應(yīng)用廣泛的矩陣內(nèi)容融入代數(shù)教材，以及如何進一步用變換的觀念來處理幾何教材，最終用矩陣來表示線性變換可以更有效地學習和運用這部分知識。中學數(shù)學引入矩陣初步知識，主要是為表達數(shù)據(jù)提供新的工具。矩陣作為研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學模型都可以用矩陣來表示。由矩陣建立的線性變換就是平面上的坐標變換，其中，矩

3、陣起著“對應(yīng)法則”的作用，用二階矩陣確定的變換,就是構(gòu)造映射,使平面上的點(向量)變成(對應(yīng))點(向量)=,這個映射的對應(yīng)法則就是左乘，在這個線性變換中，矩陣稱之為變換矩陣，變換矩陣不同，得到的是不同的變換。線性變換在數(shù)學上是一個很有用的工具，在其它學科中也有著廣泛的應(yīng)用。線性變換在大學中作為“線性代數(shù)”的一個重要內(nèi)容，被系統(tǒng)地講授。近些年來，有些國家在中學也講授部分線性變換的知識。由于線性變換的重要性和它的應(yīng)用的廣泛性，在標準中，把“矩陣與變換”作為一門選修課。該課通過幾何圖形的變換，介紹線性變換的基礎(chǔ)知識和基本思想。開設(shè)這門選修課的目的是希望學生在基本思想上對線性變換有一個初步了解，對將來

4、進一步學習和工作有所幫助。1 線性變換的概念1.1 大學教材中的線性變換一般地，把平面內(nèi)的一個點變成同一個平面內(nèi)的和它相應(yīng)的唯一的一點，不同的點所變成的點不相同，并且平面內(nèi)的每一點都是由某一個相應(yīng)的點變成的，這就是平面內(nèi)的點的一個變換。變換就是一個映射，而且是一個一一映射。換句話說，變換就是從平面內(nèi)的點的集合到同一個平面內(nèi)的點的集合的一個一一映射。把兩個變換復合起來就得到了一個新的變換。變換的復合一般不具有交換性。恒等變換是一個不動的變換，它把平面上的每個點都變成它自己。變換的復合看成變換的乘積，可得到變換的逆交換的概念。變換的逆交換就是這樣一種變換，無論它從左或從右復合，結(jié)果都得到恒等變換。

5、每一個變換都有逆變換。1.2 中學教材中的線性變換 在平面直角坐標系中，把形如（其中，為常數(shù)）的幾何變換叫做線性變換。51.3 中學與大學對矩陣概念的區(qū)別 在大學里學習的線性變換與中學數(shù)學課程標準里要求的線性變換是有區(qū)別的。從研究的角度來看，大學的線性變換是把它作為代數(shù)的運算法則，對線性方程組與線性空間的運算，而中學課程標準把線性變換看作是幾何變換的表示方法；從研究的內(nèi)容來看，大學研究的是代數(shù)的運算性質(zhì)，概念理論較為抽象，運算量大，容量較多，而中學課程標準研究的是線性變換的幾何作用，通過大量的實例來討論線性變換的性質(zhì)和作用，只限于討論平面內(nèi)的變換，從直觀上認識線性變換的意義。矩陣與變換(選修系

6、列4.2)這部分內(nèi)容在大學的代數(shù)課程中會系統(tǒng)地講授。而中學開設(shè)這門選修課的目的，是要求學生了解其基本的思想、概念(當然，這里不是只講故事也不是讀科普讀物，應(yīng)要求學生做習題，要有所練習，有所收獲)。不是把大學教材簡單下放，更不是去做一些難題，怪題(作為選修系列4的課程，有更多的開放性，給學生更多的思索空間，但其思索的問題不是大學中更艱深的內(nèi)容或難題、怪題)。在中學不是訓練數(shù)學上的一些細致的技巧和方法，而是希望學生對線性變換等有一個初步了解，對將來進一步學習和工作有所幫助。特別是學理工科的學生，到大學還將系統(tǒng)地學習這方面的知識，中學的內(nèi)容盡管是重要的，但還是遠遠不夠的。2 中學數(shù)學中涉及到的幾種線

7、性變換2.1 中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換式及其二階矩陣2.1.1 對稱變換(1)關(guān)于軸對稱的變換坐標公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (2)關(guān)于軸對稱的變換坐標公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (3)關(guān)于對稱的變換坐標公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為.2.1.2 伸縮變換 坐標公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為.2.1.3 投影變換 (1)投影在軸上的變換坐標公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (2)投影在軸上的變換坐標公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為2.1.4 旋轉(zhuǎn)變換坐標公式為，變換對應(yīng)的矩陣為2.1.5 切變變換 (1)平行于軸的切變變換坐標公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (2)平行于軸的切變變換坐標公式為，其對應(yīng)的二

8、階矩陣為.2.2 中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換的特征2.2.1 對稱變換 （1）關(guān)于軸對稱的對稱變換：變換矩陣將點變換為，而與關(guān)于軸對稱。 （2）關(guān)于軸對稱的對稱變換：變換矩陣將點變換為，而與關(guān)于軸對稱。 （3）關(guān)于對稱的對稱變換：變換矩陣將點變換為，而與關(guān)于對稱。2.2.2 伸縮變換 （1）沿軸方向的伸縮變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。如果,則為拉伸變換；如果，則為壓縮變換。軸上的點不移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小，上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。 （2）沿軸方向的伸縮變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。如果,則為拉伸變換；如果，則為

9、壓縮變換。軸上的點不移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小， 上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。2.2.3 投影變換 沿軸方向的投影變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向落在軸上，沿軸方向沒有發(fā)生移動；沿方向的投影變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向落在軸上，沿軸方向沒有發(fā)生移動。2.2.4 旋轉(zhuǎn)變換 變換矩陣將點變換為點，即點以原點為中心向逆時針方向旋轉(zhuǎn)個單位。2.2.5 切變變換 （1）沿軸方向的切變變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。軸上的點不發(fā)生移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小， 上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。 （2）沿軸方向的切變變

10、換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。軸上的點不發(fā)生移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小，上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。2.3 中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換的示例 用直線段將點依次鏈接，得到一個三角形圖形，如圖所示：利用這個三角形的變換可觀察不同線性變換作用的結(jié)果。2.3.1 對稱變換 (1)關(guān)于軸對稱的對稱變換的圖例：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示： （2）關(guān)于軸對稱的對稱變換的圖例：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示： （3）關(guān)于對稱的對稱變換的圖例：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示： 2

11、.3.2 伸縮變換(取2或1/2) （1）沿軸方向的伸縮變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為= 或= .變換后的三角形如下圖所示：或 （2）沿軸方向的伸縮變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為= 或= .變換后的三角形如下圖所示：或2.3.3 投影變換 （1）沿軸方向的投影變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換后的三角形如下圖所示： (2)沿軸方向的投影變換:原點集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換后的三角形如下圖所示：2.3.4 旋轉(zhuǎn)變換（?。?原點集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換后的三角形如下圖所示：2.3.5 切變變換（取）(1)沿軸方向的切變變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換

12、后的三角形如下圖所示：(2)沿軸方向的切變變換:原點集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換后的三角形如下圖所示：3 中學數(shù)學中線性變換在解題中的應(yīng)用3.1 對稱變換在幾何極小值問題中的應(yīng)用對稱變換又稱軸反射，在解答線段和的最小值問題時，起著一錘定音的作用?，F(xiàn)舉例說明如下: 例1 是正方形的邊上一點，且,，是對角線上一動點，求的最小值。 分析 利用兩點之間線段最短，把轉(zhuǎn)化成一條線段去考慮。過作交于，連接交于，則即為所求。 解 過作交于.由為的角平分線， 得到、關(guān)于對稱，即 (中垂線上的點到兩端點的距離相等),于是.在上任取一點,連結(jié)、,則.故為的最小值，此時，在三角形中有例2 正三角形的邊長為，是上

13、的中點,是邊上的動點，連結(jié)和得到,求:(l)當點運動到中點時，的周長；(2) 的周長最小值。分析 欲使的周長最小，只須使最小。作關(guān)于的對稱點，連交于，則即為所求的最小值動點。解 (l)當點運動到中點時,，所以,.即pbd的周長為. (2)作點關(guān)于的對稱點，連交于，過作交的延長線于，連.則，.于是.在中.不難證明為的周長最小值，且.3.2 利用伸縮變換巧解橢圓最值問題伸縮變換是中學幾何中常見的一種線性變換。對橢圓做伸縮變換 , ,橢圓就變成圓.在此變換下任何一對對應(yīng)多邊形的形狀雖然發(fā)生了改變,但是對應(yīng)多邊形的面積比是一個定值,即變換之前的多邊形面積是s,變換后對應(yīng)的多邊形面積為,則有.利用伸縮變

14、換對應(yīng)多邊形的面積比是一個定值的不變性,就可以借助于圓的平面幾何性質(zhì)巧妙地解與橢圓有關(guān)的面積最值問題。7例3 若、是橢圓上的三點,求面積的最大值。解 對橢圓做伸縮變換 , ,橢圓就變成圓.此時橢圓的內(nèi)接就變成圓的內(nèi)接,而圓的內(nèi)接三角形以內(nèi)接正三角形面積為最大，從而面積的最大值是,還原到橢圓中,由伸縮變換對應(yīng)多邊形面積比的不變性可知：面積的最大值是例4已知橢圓,則面積為的橢圓內(nèi)接四邊形有多少個? 解 對橢圓做伸縮變換,橢圓就變成圓,此時相應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形就變成圓的內(nèi)接四邊形,當橢圓的內(nèi)接四邊形的面積是時,其對應(yīng)的圓內(nèi)接四邊形的面積就是,由平面幾何知識知圓的內(nèi)接正方形的面積為2,而這樣的內(nèi)接正方

15、形有無數(shù)個,還原到橢圓可知對應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形也有無數(shù)個。3.3 旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何中的應(yīng)用 旋轉(zhuǎn)變換是將平面圖形繞平面內(nèi)一定點旋轉(zhuǎn)一個定角,得到一個與原來圖形的形狀與大小都一樣的圖形。點叫做旋轉(zhuǎn)中心, 叫做旋轉(zhuǎn)角。特別地當時,稱為中心對稱變換,所以中心對稱變換是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)有: (1)在旋轉(zhuǎn)變換下,兩點之間的距離不變； (2)在旋轉(zhuǎn)變換下的兩直線的夾角不變,且對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角8。例58(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)在中,為的中點,分別延長、到點、,使得，過、分別作、的垂線,相交于點求證: . 證法1 如圖 延長到,使,連結(jié)、.由,，可得,所以,.又因為,所以、四點共

16、圓，且.又由,可知,且，從而有 （1）又由于,可知為直角三角形, 且，所以 （2） 由（1）、（2）得，且，所以，故 證法2 如圖分別延長、到點、,使,連結(jié)、. 因為是的中點且,所以.又,且、分別是、的中點,可知,，且，即，從而.又因為和均為等腰三角形，所以.例68如圖,等邊三角形的邊長,點是內(nèi)一點,且.若,求、的長.(第12屆“希望杯”初二數(shù)學邀請賽試題) 導析 設(shè)、的面積分別為、,線段、的長分別是、.把繞點順時針旋轉(zhuǎn),得連結(jié),可證為等邊三角形, 為直角三角形。所以 （1）同理, 繞點順時針旋轉(zhuǎn),繞點逆時針旋轉(zhuǎn),可分別得: （2） （3）由（1）+（2）+（3）,得.又因為,所以，即，又由于 及a=,可解得x=3、y=4或x=4、y=3.說明 利用旋轉(zhuǎn)將分散的條件進行集中,另外,將三個三角形分別旋轉(zhuǎn)得到三個對稱的關(guān)系式,然后再進行整理處理。附錄:1 桂文通旋轉(zhuǎn)變換及其應(yīng)用j中學數(shù)學教學參考，2003年第6期2 姚旗，李德忠對稱變換在幾何極小值問題中的應(yīng)用j考試(中考版)，編輯部郵箱 ， 2006年第11期3