工程數(shù)學(xué)-概率統(tǒng)計(jì)簡明教程-第六章-隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

1、第六章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布,會(huì)求一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,會(huì)求一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,隨機(jī)變量函數(shù)的分布,在許多實(shí)際問題中,常常需要研究隨機(jī)變量的函數(shù), 例:, 測量圓軸截面的直徑d,而關(guān)心的卻是截面積：,d為隨機(jī)變量, S 就是隨機(jī)變量d的函數(shù)。,的分布。, 在統(tǒng)計(jì)物理中,已知分子的運(yùn)動(dòng)速度x的分布,求其動(dòng)能：,背景,一般地，設(shè)y=g(x)是一元實(shí)函數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，若X的取值在函數(shù)y=g(x)的定義域內(nèi)，則Y=g(X)也為一隨機(jī)變量。,在這一節(jié)中，我們將討論如何由已知的隨機(jī)變量X的分布去求得它的函數(shù)Y=g(X)的分布。,離散隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,設(shè)隨機(jī)變量X的分布

2、律為,X,1 0 1 2 2.5,pk,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,求Y=-2X與 Y=X2 的分布律,Y可能的取值為 2,0,-2,-4,-5。,例,解(1),0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,-2X,2 0 -2 -4 -5,(2),設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,X,1 0 1 2 2.5,pk,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,求Y=-2X與 Y=X2 的分布律,例,-2X,2 0 -2 -4 -5,1 0 1 4 9/4,設(shè)X為離散型 RV, 其分布律為,隨機(jī)變量X的函數(shù) Y= g (X) 的分布律為,有可能g( x i )與g( x j )相同，此時(shí)將兩項(xiàng)合并，對應(yīng)

3、概率相加,離散隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,練習(xí) 已知 X 的概率分布為,求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律,解,設(shè) X 為一個(gè)連續(xù)型R.V，其概率密度函數(shù)為 f (x)。y = g(x) 為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度函數(shù) fY(y) 。,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,解,先求Y3X2的分布函數(shù),先求Y= 3X2的分布函數(shù) FY (y).,Step1:,求Y=2X+8的概率密度函數(shù),Step 2:,設(shè) X 為一個(gè)連續(xù)型R.V，其概率密度函數(shù)為 f (x)。y = g(x) 為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度函數(shù) fY(y) 。,(1) 求Y的分布函數(shù)

4、 FY(y),(2) 對FY(y) 求導(dǎo)，得到 fY(y),連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,一般方法,解不等式轉(zhuǎn)化 為求關(guān)于X的概率,例(課本) 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),試求隨機(jī)變量的函數(shù) 的密度函數(shù) 。,解,X的密度函數(shù)為,先求分布函數(shù) FY (y)。,由于,于是,證明 只證 的情形，,定理 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 ，y=g(x)是一單調(diào)函數(shù)，且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，xh(y)是y=g(x)的反函數(shù)，則Y=g(X)的密度函數(shù)為,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增，,它的反函數(shù)x=h(y)在定義域內(nèi)也單調(diào)遞增，可導(dǎo)。,從而，,同理， 時(shí)，,綜合可得：,例(課本)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù) 的指數(shù)分布

5、，求隨機(jī)變量函數(shù) 的密度函數(shù) 。,解,由于X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，因此其密度函數(shù)為:,函數(shù) 是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，且具有一階導(dǎo)數(shù)，其反函數(shù)為,由定理得:,即 Y 服從19，21上的均勻分布,Y=0.1X+10的密度函數(shù)為,X的密度函數(shù)為,設(shè)隨機(jī)變量X服從90，110上的均勻分布,求 Y=0.1X+10的密度函數(shù)。,練習(xí),解,設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布，求y=-2lnx的概率密度函數(shù)。,練一練,二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,解,X-Y的取值為0,-2,-3,3,1,0,二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為 是一個(gè)已知的連續(xù)函數(shù)， 是隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)