2020屆高三數(shù)學(xué) 章末綜合測(cè)試題（7）平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（2）（通用）

1、 2020屆高三數(shù)學(xué)章末綜合測(cè)試題（7）平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)，N是線(xiàn)段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.B.C. D.解析：排除法如題圖，故A正確而，故B正確 ()，故C正確，所以選D. 答案：D2若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)等于()A.iB.iC1i D.i解析：i. 答案：A3已知復(fù)數(shù)z1i，則等于()A2i B2iC2D2解析：將已知代入得： (i)(1i)22(1i)(i)(2i22i)2i，故選A. 答案：A4若|a|1，|b|2，cab

2、，且ca，則向量a與b的夾角為()A60 B90 C120 D150解析：(ab)a0，a2ab0，cos，120 答案：C5設(shè)復(fù)數(shù)(ai)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，則實(shí)數(shù)a的值是()A1 B1 C D.解析：(ai)2a212ai，解得a1. 答案：A6已知點(diǎn)P為ABC所在平面上的一點(diǎn)，且t，其中t為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)P落在ABC的內(nèi)部，則t的取值范圍是()A0t B0tC0t D0t解析：如圖，E、F分別為AB、BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，t=0，點(diǎn)P在F點(diǎn)時(shí)，t.而P在ABC的內(nèi)部，0t. 答案：D7已知|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是()A

3、0， B， C， D，解析：方程x2|a|xab0有實(shí)根，|a|24ab0ab|a|2. cos.a、b夾角的取值范圍是.故選B. 答案：B8已知向量復(fù)數(shù)a、b的夾角為60，|a|3，|b|2，若(3a5b)(mab)，則m的值是()A. B. C. D.解析：(3a5b)(mab)， (3a5b)(mab)0， 即3ma25b2(5m3)ab0， 27m20(5m3)32cos600，解得m. 答案：C9已知向量a，b，c滿(mǎn)足|a|1，|b|2，|c|4，且a，b，c，兩兩夾角均為120，則|abc|() A. B7 C. D7或解析：|abc|2a2b2c22ab2bc2ac|a|2|b|

4、2|c|22|a|b|cos120 2|b|c|cos1202|a|c|cos1201416212224214212847|abc| 答案：A10已知兩點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，若直線(xiàn)3x4ym0上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，55，)B(，2525，)C25,25D5,5解析：設(shè)P(x，y)，則(1x，y)，(1x，y)， (1x)(1x)(y)(y)x2y210.x2y21，因此P的軌跡為單位圓，又P點(diǎn)在直線(xiàn)3x4ym0上原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離d1，|m|5.5m5，實(shí)數(shù)m的取值范圍是5,5. 答案：D11已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|2|2，則點(diǎn)O()A在AB邊的高

5、所在的直線(xiàn)上B在C平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)上C在AB邊的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)上D是ABC的外心解析：由已知條件|2|2可得()()()()，即()(2)0，所以點(diǎn)O在AB邊的高所在的直線(xiàn)上. 答案：A12已知O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，0，2，且BAC30，則AOB的面積為()A2 B1 C. D.解析：由0得O為ABC的重心SAOBSABC，又|cos302，得|4.SABC|sin301.SAOB.答案：D第卷(非選擇共90分)二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分13已知復(fù)數(shù)z1cosi，z2sini，則z1z2的實(shí)部最大值為_(kāi)，虛部最大值為_(kāi)解析：z1z2(cossin1)i(cossin)實(shí)部

6、為cossin11sin2，所以實(shí)部的最大值為. 虛部為cossinsin，所以虛部的最大值為.答案：14已知平面上不共線(xiàn)的四點(diǎn)O，A，B，C，若320，則等于_解析：2()，2， |2|，2.答案：215已知A、B是圓心為C，半徑為的圓上兩點(diǎn)，且|，則_.解析：如圖所示，ABC為等邊三角形16已知a與b夾角為，定義ab為a與b的“向量積”，ab是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度|ab|a|b|sin.若u(2,0)，uv(1，)，則|u(uv)|_.三、解答題：本大題共6小題，共70分17(10分)已知z(a0)，復(fù)數(shù)z(zi)的虛部減去它的實(shí)部所得的差等于，求復(fù)數(shù).解析：由已知得，z，i，.a24，a2

7、或a2(舍)，3i18(12分)設(shè)a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，(1)求證a與b不共線(xiàn)，并求a與b的夾角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解析：(1)a(1,1)，b(4,3)，且1314，a與b不共線(xiàn)又ab14131，|a|，|b|5，cos.(2)ac151(2)7，c在a方向上的投影為.(3)c1a2b，(5，2)1(1,1)2(4,3)(421，132)，解得.19(12分)已知m(cosx,2sinx)，n(2cosx，sinx)，f(x)mn.(1)求f的值；(2)當(dāng)x時(shí)，求g(x)f(x)sin2x的最大值和最小值解析：(1)f(x)

8、mn2cos2x2sin2x2cos2x，f2cos2cos2cos2cos1.(2)由(1)得g(x)cos2xsin2xsin.x，2x，當(dāng)x時(shí)，g(x)max；當(dāng)x時(shí)，g(x)min1.20(12分)已知平面向量a，b.(1)證明：ab；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使xa(t2k)b，ysatb，且xy，試求sf(t)的函數(shù)關(guān)系式；(3)若sf(t)在1，)上是增函數(shù)，試求k的取值范圍解析：(1)由題知|a|b|1，且ab0，所以ab.(2)由于xy，則xy0，從而s|a|2(tskst2)abt(t2k)|b|20，故sf(t)t3kt，(3)st3kt在1，)上是增函數(shù)，s3

9、t2k0在1，)上恒成立，即k3t2在1，)上恒成立，而3t23，只需k3，k的取值范圍是(，321(12分)已知ABC的面積S滿(mǎn)足S3，且6，與的夾角為.(1)求的取值范圍；(2)求函數(shù)f()sin22sincos3cos2的最小值解析：(1)由題意知：|cos6S|sin()|sin得tan，即3tanS.由S3，得3tan3，即tan1.為與的夾角，(0，)，.(2)f()sin22sincos3cos21sin22cos22sin2cos22sin.，2.當(dāng)2，即時(shí)，f()有最小值為3.22(12分)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)記f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿(mǎn)足(2ac)cosBbcosC，求函數(shù)f(A)的取值范圍解析：(1)mn1，即sincoscos21，即sincos1，sin1.coscoscos221.(2)(2ac)cosBbco