2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 不等式（通用）

1、2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 不等式【教學(xué)內(nèi)容】不等式的性質(zhì)、不等式證明的幾種常見方法 比較法、綜合法、分析法、換元法和放縮法等。【教學(xué)目標(biāo)】不等式的性質(zhì)是不等式證明和求解不等式的理論基礎(chǔ)和前提條件。比較法是證明不等式的最基本的方法，它思維清晰，可操作性強(qiáng)，適用范圍廣泛，在不等式證明中常常采用。比較法通常分兩類：第一、作差與零比較，作差后常需要把多項(xiàng)式因式分解，再由各因式的符號(hào)來(lái)確定差與零的大小；第二、作商與1比較，但要注意除式的符號(hào)，作商后常需把分子分母因式分解后約分再與1進(jìn)行大小比較。綜合法常常用到如下公式：（1）2ab(a,bR) (2) (3)2(a.b0)(4) (5)利用綜合法證明不等式

2、時(shí)常需要進(jìn)行靈活的恒等變形,創(chuàng)造條件去運(yùn)用公式。對(duì)于不能直接分析出如何用綜合法來(lái)證明的不等式，我們可以采用分析法，執(zhí)果索因，從要證明的結(jié)論出發(fā)，去追逆它要成立的條件，得到要證明的結(jié)論就是已知條件或已有的公式，從而說(shuō)明所證不等式成立。另外，換元法、放縮法等對(duì)較復(fù)雜的不等式的證明也很有幫助?！局R(shí)講解】例1、 設(shè)12a0,試比較A=1+a2與B=的大小。解：A-B= = 恒成立.由條件知0,a-10,A-B0 即Ab時(shí),a-b0且a1,mn0,求證:. 分析：這類不等式顯然不解直接用綜合法來(lái)證明，因此仍考慮用比較法，而所證不等式左、右均為幾個(gè)因式的代數(shù)和的形式，因此常采用作差與0比較的方法。證明：

3、 =10當(dāng)0an0,am020當(dāng)a1時(shí), mn0,aman , (*)式0當(dāng)a0且 a1時(shí).(*)式恒正,即.例4、設(shè)a.b.cR+,求證: 分析：初看上去似乎與基本不等式有關(guān)，但若直接運(yùn)用基本不等式，僅能得到所證不等式兩端均非負(fù)，仍然不能證到原不等式成立。若注意到把兩端括號(hào)去掉，則出現(xiàn)了相同項(xiàng)a+b，因此可以考慮用比較法來(lái)證明。證明一、 = a.b.cR+, 0,即所證不等式成立.證明二、 =令 a.b.c R+， x,yR+ =(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2) =(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)0 并且僅當(dāng)x=y即

4、 c2=ab時(shí)“=”成立。 .說(shuō)明:證法一運(yùn)用了基本不等式,關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行恒等變形,創(chuàng)造條件運(yùn)用基本不等式;證法二采用了換元法,關(guān)鍵是如何假設(shè)變量才解使差式化簡(jiǎn)。 例5、當(dāng)n2時(shí)，求證：logn(n-1).logn(n+1)2. logn(n-1)0.logn(n+1)0 logn(n-1).log(n+1)2時(shí),logn-1nlogn(n+1),此結(jié)論應(yīng)記住,它對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)也是很有幫助的,由它可以得到一連串不等式:log2324log2425log2526lup2627。 例6、設(shè)a.b.cR+,求證:.分析:如果把因式a+b+c乘到括號(hào)內(nèi),則所證不等式左邊較復(fù)雜,很難看出用什么方法去證明

5、,若我們注意分析該不等式左邊的特征,它與三個(gè)變?cè)木挡坏仁降淖筮吅茴愃?再聯(lián)想到結(jié)論:當(dāng)x.y.zR+時(shí), 9就不難得到證明了.證明:a.b.cR+ 而2(a+b+c)=( a+b)+(b+c)+(c+a)9即.說(shuō)明:掌握了此類不等式的證明方法后,與此類似的不等式,如10若a.b.cR+ 且a+b+c=1求證: 20若a.b.cR+,則等等就不難證明了. 例7、已知：a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,nN求證:a1x1+a2x2+anxn1 證明:a12+x122a1x1 , a22+x222a2x2an2+xn22anxn,相加得, (a12+a22+an2)+(x1

6、2+x22+xn2) 2(a1x1+anxn) 即a1x1+a2x2+anxn1. 例8、若a3,求證： 證法一：若證原不等式成立，只要證成立，要證此不等式成立，只要證a2-3aa2-3a+2,即證0b0,求證：證明：若證原不等式成立，只要證：，只要證明 ，只要證，只要證 ，只要證只要證即證即證成立，ab0的此式顯然成立,又以上各步均可逆,原不等式成立. 例10、若，則。證法一、要證只要證，只要證即證： , (*)式成立,原不等式成立證法二、如圖，設(shè)A（1,a）,B(1,b),則，由于三角形兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊， Y A(1,a) O 1 X B(1,b)即， 說(shuō)明:證法一是運(yùn)用分析法證

7、明的,在對(duì)變形時(shí)采用了分子有理化的手段,這種變形方法有著較廣泛的運(yùn)用,證法二是構(gòu)造了一個(gè)三角形,其三邊恰好分別是、，然后借助于三角形本身的關(guān)系來(lái)證明，這種通過(guò)構(gòu)造圖形的方法，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想，要引起我們高三復(fù)習(xí)時(shí)注意?！久恐芤痪殹浚ㄒ唬?選擇題： 1、如果0a1 B、（1-a）nf(1-a)D、cos(1+a)-1bc,則下列不等式成立的是（ ）A、abac B、 C、 D、a-bcb(1-c) 3、已知x,a,bR,則下列不等式: x2+32x, a5+b5a3b2+a2b3, a2+b22(a-b-1), 2中恒成立的是 ( )A、 僅和 B、僅和

8、C、僅和 D、全部 4、若0a1,0b1,則a+b,2,a2+b2，2ab中最大的是（ ）A、a2+b2 B、a+b C、 D、2ab 5、設(shè)x,x+2,x+4是一個(gè)鈍角三角形的三條邊，則x的取值范圍是（ ）A、3x6 B、2x2 D、0x6 6、xR，則的（ ）A、必要條件 B、充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 7、設(shè)0 2a1,M=1-a2,N=1+a2,P=那么（ ）A、QPMN B、MNQP C、QMNP D、 MQP1,那么m與n的關(guān)系是 10、ab的充要條件是 11、用不等號(hào)把連接起來(lái)為 12、設(shè)與2的大小關(guān)系是 13、的 條件。 14、當(dāng)0x的取值范圍是 15、若p,qR+且a=p3+q3,b=p2q+pq2則a,b的大小關(guān)系是三、證明題 16、求證：3(a2+b2+c2)(a+b+c)2. 17、設(shè)a0且a1,t0,試比較的大小，并證明你的結(jié)論。 18、若a1,b1求證：a2+b2ab+a+b-1 19、已知x,y,zR求證:x2y2+y2z2+z2x22cyz(x+y+z) 20、設(shè)ab0,求證：3. 21、若a+b=1,求證：2 22、a,b,cR求證： 23、已知a,b,c為不相等的正數(shù)，且abc=1求證： 24、若a+b+c=1，且a,b,c均為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證： 25、設(shè)求證：參考答案（一） 選擇題： 1、C 2