上海市高橋中學2020屆高三數(shù)學上學期開學考試考試題（含解析）（通用）

1、上海市高橋中學2020屆高三數(shù)學上學期開學考試考試題（含解析）一. 填空題1.滿足的集合共有 個.【答案】31【解析】【分析】根據(jù)真子集的定義可知，M至少含有3個元素，根據(jù)子集的定義知M最多含有七個元素，令N3，4，5，6，7且N，則M=1，2N，而N的個數(shù)為，從而求得M的個數(shù).【詳解】1，2M1，2，3，4，5，6，M中至少含有3個元素且必有1，2，而M為集合1，2，3，4，5，6，7子集，故最多七個元素，令N3，4，5，6，7且N，則M=1，2N，而N的個數(shù)為，所以集合共有31個.故答案為：31.【點睛】本題是一道基礎題，主要考查子集和真子集的定義，這也是解題的關鍵.2.不等式解集為，則

2、.【答案】【解析】【分析】在本題中首先移項，然后通分化成整式不等式進行求解，然后利用一元二次不等式的解集形式求出a即可.【詳解】由得，即，變形得，且，所以，因為解集為，所以，且，解得，故本題答案為.【點睛】本題考查分式不等式的解法，在本題中首先移項，然后通分化成整式不等式進行求解，注意分母不為0，以及一元二次不等式的解集形式，屬基礎題.3.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當，則函數(shù)解析式 .【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件和奇函數(shù)的性質，易求出函數(shù)的解析式，最后表示成分段函數(shù)即可.【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，當時， 則，當時，.所以本題答案為.【點睛】本題考查知識點是函數(shù)奇偶性的性質，要求學生會

3、根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質，結合已知條件求出函數(shù)的解析式，注意解析式是否是分段函數(shù)，屬基礎題.4.設、為正數(shù)，若，則的最小值是 .【答案】4【解析】【分析】整體代入可得，由基本不等式可得結果.【詳解】，且，當且僅當即且時取等號.故答案為4.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，整體代入是解決問題的關鍵，屬基礎題.5.已知函數(shù)值域是，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析】試題分析：設，由已知條件可知可取到上的所有值，當時滿足題意，當時需滿足，解不等式得或，所以實數(shù)的取值范圍是考點：函數(shù)性質6.二次函數(shù)滿足，且有兩個實根、，等于 .【答案】6【解析】【分析】由二次函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)=f(3

4、-x)，得到二次函數(shù)的對稱軸為x=3，則兩個實數(shù)根的和為2x，從而求得結果.【詳解】二次函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，二次函數(shù)y=f(x)的對稱軸為x=3，二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點關于x=3對稱，即兩個交點的中點為3.根據(jù)中點坐標公式得到f(x)=0的兩個實數(shù)根之和為.故本題答案為6.【點睛】本題是一道有關二次函數(shù)對稱性質的題目，根據(jù)得到函數(shù)的對稱軸是解題的關鍵，屬基礎題.7.若為定義在上的函數(shù)，則“存在，使得”是“函數(shù)為非奇非偶函數(shù)”的 條件.【答案】充要【解析】【分析】已知為定義在D上的函數(shù)，由題意看命題“存在，使得”與命題“函數(shù)為非奇非偶函數(shù)”是否能互推，然后根

5、據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進行判斷.【詳解】若為定義在D上的函數(shù)，又存在，使得，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，必存在，使得，否則，根據(jù)逆否命題的等價性可知是奇函數(shù)或偶函數(shù)；“存在，使得”是“函數(shù)為非奇非偶函數(shù)”的充要條件.故答案為充要條件.【點睛】此題主要考查函數(shù)的奇偶性及必要條件、充分條件和充要條件的定義，是一道基礎題.8.已知全集，集合，則中所有元素的和是 .【答案】2020或2020或【解析】【分析】首先化簡集合，然后分：A中有兩個相等的實數(shù)根，A中有兩個不相等的實數(shù)根，三種情況進行討論即可求得結果.【詳解】由題意可知，（1）若A中有兩個相等的實數(shù)根，則，此時，所有

6、元素之和為2020；（2）若，則，由韋達定理可知，所有元素之和為-2；（3）若A中有兩個不相等的實數(shù)根，且，則由韋達定理可知，所有元素之和為2020+(-2)=2020.故答案為:2020或2020或-2.【點睛】本題考查元素與集合關系的判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的靈活運用.9.已知定義在上的函數(shù)的圖像關于點對稱，且滿足，又，則 .【答案】1【解析】【分析】首先由函數(shù)滿足，又，可以分析得，從而求出和.又函數(shù)的圖象關于點對稱，又可推出，綜合考慮幾個周期關系條件即可得到的值.【詳解】因為函數(shù)滿足，則，又，則，.又函數(shù)的圖象關于點對稱，則，所以.又，又.所以.故本題答案為1.

7、【點睛】本題主要考查函數(shù)的周期性問題，其中應用到函數(shù)關于點對稱的性質，對于函數(shù)周期性這個考點考查的時候一般結合函數(shù)奇偶性，對稱性問題綜合考慮，技巧性較強，屬中檔題.10.函數(shù)，（）的值域中恰有10個不同整數(shù)，的值為 .【答案】或4【解析】【分析】求出的對稱軸，可討論對稱軸和區(qū)間的關系：分，和三種情況，在每種情況里，根據(jù)二次函數(shù)的單調性或取得頂點情況及端點值求出的值域，而根據(jù)值域中恰有10個不同整數(shù)，可以得到對應的等差數(shù)列的項數(shù)為10，然后求出n即可.【詳解】的對稱軸為，則有，即時，在上單調遞減，的值域為，數(shù)列，共10項，解得；，即時，由n是整數(shù)，即，顯然不滿足在值域中有10個不同整數(shù)，即這種情

8、況不存在；時，在上單調遞增，的值域為，等差數(shù)列，共10項，綜上得或4.故答案為：-6或4.【點睛】考查函數(shù)值域的概念，二次函數(shù)的對稱軸，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調性及取得頂點情況和比較端點值的方法求二次函數(shù)的值域，結合了等差數(shù)列的通項公式的應用，屬難題.11.設aR，若x0時均有(a1)x1( x 2ax1)0，則a_【答案】【解析】【詳解】當時，代入題中不等式顯然不成立當時，令，都過定點考查函數(shù)，令，則與軸的交點為時，均有也過點解得或（舍去），故12.設單調函數(shù)的定義域為，值域為，如果單調函數(shù)使得函數(shù)的值域也是，則稱函數(shù)是函數(shù)的一個“保值域函數(shù)”已知定義域為的函數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，且是的一個“

9、保值域函數(shù)”，是的一個“保值域函數(shù)”，則_【答案】1【解析】【分析】根據(jù)反函數(shù)性質以及“保值域函數(shù)”定義可得的值域等于的定義域，再根據(jù)對應區(qū)間單調性分類討論值域取法，最后根據(jù)對應關系確定a,b，解得結果.【詳解】根據(jù)“保值域函數(shù)”的定義可知；如果函數(shù)是函數(shù)的一個“保值域函數(shù)”，那么的值域就等于的定義域所以， 的值域等于的定義域； 的值域等于的定義域因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以的定義域等于的值域因此的值域等于的定義域函數(shù)，所以在是單調遞減，在是單調遞增（1）當時， ，消元得到，解得，舍去；（2）當時， ，整理可得，解得，故【點睛】本題屬于定義題，有點難需要在審題過程中把題干上給的定義讀懂，理解透徹

10、，靈活運用，對學生能力要求高本題需要注意兩點：（1）復合函數(shù)中內涵數(shù)的值域等于外函數(shù)的定義域，所以能夠得出的值域就等于的定義域；（2）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)，一個函數(shù)定義域等域另一個的值域，這個性質是解本題的關鍵本題易錯的是遺忘了定義中對函數(shù)單調的要求二. 選擇題13.“”是“”的（ ）A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】由得，則1，故“”是“”的充分不必要條件，所以A選項是正確的.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查利用集合法進行判斷，可熟記“誰小誰充分，誰大誰

11、必要”口訣，屬基礎題.14.已知為上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】由題為上的減函數(shù)，則，解得或.故選C.本題主要考查函數(shù)單調性.15.已知定義域為R的函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+8)為偶函數(shù),則（ ）A. f(6)f(7)B. f(6)f(9)C. f(7)f(9)D. f(7)f(10)【答案】D【解析】【詳解】由函數(shù)圖象平移規(guī)則可知，函數(shù)由向右平移8個單位所得，所以函數(shù)關于對稱，因為在區(qū)間上遞減，在上遞增，所以，故選D.本題主要考查函數(shù)的奇偶性.16.定義域和值域均為（常數(shù)）的函數(shù)和y=g(x)的圖像如圖所示，給出

12、下列四個命題：（1）方程有且僅有三個解；（2）方程有且僅有三個解；（3）方程有且僅有九個解；（4）方程有且僅有一個解；那么，其中正確命題的個數(shù)是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】依題意，依次判斷：（1）由于，可得方程有且僅有三個解；（2）由于，可得方程最多三個解；（3）方程的解最多有九個解；（4）由于，可得方程有且僅有一個解.最后可求得結果.【詳解】（1）方程fg（x）0有且僅有三個解；g（x）有三個不同值，由于yg（x）是減函數(shù)，所以有三個解，正確；（2）方程gf（x）0有且僅有三個解；從圖中可知，f（x）（0，a）可能有1，2，3個解，不正確；（3）方程ff（

13、x）0有且僅有九個解；類似（2）不正確；（4）方程gg（x）0有且僅有一個解結合圖象，yg（x）是減函數(shù)，故正確故答案為：故選B.【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象及其性質、復合函數(shù)的圖象與性質、方程的解與函數(shù)的零點之間的關系，考查了推理能力，考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題.三. 解答題17.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，試確定實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化簡集合A，B，然后求B的補集，再求與A的交集即可；（2）求出A與B的交集，討論a的符號，再根據(jù)包含關系得到關于a的不等式組，求解即可.【詳解】（1）依題意得：或，所以；（2）由題意知a0，若，則

14、，由得，解得，若，則，由得，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，集合的包含關系判斷及應用，交集及其運算，補集及其運算，屬中檔題.18.某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內建造一個長方形公園，公園由長方形的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道（陰影部分）組成已知休閑區(qū)的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4米和10米（如圖）（1）若設休閑區(qū)的長和寬的比，求公園所占面積關于的函數(shù)的解析式；（2）要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)的長和寬該如何設計？【答案】（1）；（2）長100米、寬為40米.【解析】【詳解】(1)設休閑區(qū)寬為a米，則長為ax米，由a2x4000，得a.則S(x)(a8)(

15、ax20)a2x(8x20)a1604000(8x20)16080(2)4160(x1)(2)80(2)41608024160160041605760.當且僅當2，即x2.5時，等號成立，此時a40，ax100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應設計為長100米，寬40米19.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性； （2）若在是增函數(shù)，求實數(shù)的范圍.【答案】（1）當時，為偶函數(shù)，當時，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù),；（2）.【解析】【詳解】（1）當時，對任意，為偶函數(shù)當時，取，得，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2）設，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立，即恒成立又，的取值范圍是20.已知

16、定義在區(qū)間上兩個函數(shù)和，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）若在區(qū)間單調，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，若對于任意，總存在，使恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，先將函數(shù)f(x)的解析式進行配方，然后討論對稱軸與區(qū)間1，2的位置關系，可求出函數(shù)y= f(x)的最大值m(a)；（2）對函數(shù)求導，分在區(qū)間單調遞增或單調遞減兩種情況進行討論，轉化成或恒成立問題求解即可；（3）根據(jù)題意求出g(x)的最大值，然后使，注意對a進行分類討論，然后建立關系式，分別解之即可求出a的范圍【詳解】（1），則當時，當時，所以；（2），依題意，在上恒成立

17、，即在上恒成立，則；在上恒成立，即在上恒成立，則.綜上，實數(shù)的取值范圍為或.（3）依題意可得，當時，由（2）知在上單調遞減，則，由（1）得：當時，解得，所以；當時，解得，所以.綜上所述，.【點睛】本題主要考查含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及任意性和存在性問題轉化為最值的方法，考查學生分類討論思想和轉化思想的應用，綜合性較強，屬中檔題.21.如果函數(shù)的定義域為，且存在實常數(shù)，使得對于定義域內任意，都有成立，則稱此函數(shù)具有“性質”.（1）判斷函數(shù)是否具有“性質”，若具有“性質”，求出所有的值的集合，若不具有“性質”，請說明理由；（2）已知函數(shù)具有“性質”，且當時，

18、求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）已知函數(shù)既具有“性質”，又具有“性質”，且當時，若函數(shù)的圖像與直線有2020個公共點，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2），函數(shù)值域為；，函數(shù)的值域為；，函數(shù)的值域為；，函數(shù)的值域為；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知，由待定系數(shù)法可求得；（2）由新定義可推出為偶函數(shù)，從而求出在上的解析式，討論m與的關系判斷的單調性得出的最值；（3）根據(jù)新定義可知為周期為2的偶函數(shù)，作出的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出p的值.【詳解】（1）假設具有“性質”，則恒成立，等式兩邊平方整理得，因為等式恒成立，所以，解得，則所有的值的集合為；（2）因為函數(shù)具有“性質”，所以恒成立，是偶函數(shù).設，則，.當時，函數(shù)在上遞增，值域為.當時，函數(shù)在上遞減，在上