江蘇省新沂市第二中學高三數(shù)學復(fù)習 專題46 空間向量及其運算學案 理 蘇科版（通用）

1、學案46空間向量及其運算【導學引領(lǐng)】（一）考點梳理1共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定量對空間任意兩個向量a，b(b0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)，使得ba.推論如圖所示，點P在l上的充要條件是：ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為t或(1t)t.(2)共面向量定理的向量表達式：pxayb，其中x，yR，a，b為不共線向量，推論的表達式為xy或?qū)臻g任意一點O，有xy或xyz，其中xyz1.(3)空間向量基本定理如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得pxe1ye2ze3.2空間向量的數(shù)量

2、積及運算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0a，b，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b則|a|b|cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab即ab|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運算律結(jié)合律：(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac.3空間向量的坐標表示及應(yīng)用(1)數(shù)量積的坐標運算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則aba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標表示設(shè)a(a1，a2，a3)

3、，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，cosa，b.設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB|.【自學檢測】1下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點，則有0；|a|b|ab|是a、b共線的充要條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行；對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若xyz(其中x、y、zR)，則P、A、B、C四點共面其中不正確命題的序號是_2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、兩

4、兩的夾角均為60，且|1，|2，|3，則|等于_3在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點，E為AD的中點，則_(用a，b，c表示)4已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，這四個點_(填“共面”或“不共面”)5(2020廣東卷)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)(2b)2，則x_.【合作釋疑】空間向量的線性運算【訓練1】 如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2)；(3).【訓練2】 如圖所

5、示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別為OA、BC的中點，點G在線段MN上，且2，若xyz，則x，y，z的值分別為_共線、共面向量定理的應(yīng)用【訓練1】 (2020上饒調(diào)研)如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)求證：BD平面EFGH；【訓練2】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC邊上的中點，試證A1B平面AC1D.空間向量性質(zhì)的應(yīng)用【訓練1】 已知空間中三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)aA，bA，(1)若|c|3，且cB，求向量c；(2)求向量a與向量

6、b的夾角的余弦值；(3)若kab與ka2b互相垂直，求實數(shù)k的值；(4)若(ab)(ab)與z軸垂直，求，應(yīng)滿足的關(guān)系【訓練2】如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值【當堂達標】1給出下列四個命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb.若xy，則P，M，A、B共面；若P，M，A，B共面，則xy.其中真命題的序號是_2. 如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則用a，b，c表示為_3(2020蘇州期末)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值是_4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，則|ba|的最小值為_5. 如圖，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為_6已知a3b與7a5b垂直，且a4b與7a2b垂直，則a，b_.7若a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)