湖南省岳陽市2020屆高三數(shù)學第二次模擬考試試題（含解析）（通用）

1、岳陽市2020屆高三教學質(zhì)量檢測試卷（二）數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把答案填在答題卡上對應(yīng)題號后的框內(nèi)，答在試卷上無效.1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由集合可得，在計算的值可得答案.【詳解】解:由題知，故.故選.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題型.2.若復數(shù)則其虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先對復數(shù)進行化簡，將分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡求得結(jié)果.【詳解】，則復數(shù)的虛部為2，故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)

2、復數(shù)的運算，涉及到的知識點有復數(shù)的除法運算，加法運算，以及根據(jù)復數(shù)判斷其虛部，屬于簡單題目.3.等差數(shù)列滿足則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)項之間的關(guān)系，將題中的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的關(guān)系式，化簡求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，則，故選C.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的性質(zhì)，項之間的關(guān)系，屬于簡單題目.4.過拋物線的焦點作直線，交拋物線于兩點，若,則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程易得準線為，拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等，則兩點到準線的距離分別是

3、，由拋物線的定義，將弦長直接轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，即，易得答案.【詳解】的焦點為，準線為，因為兩點是過拋物線焦點的直線與拋物線的交點，所以兩點到準線的距離分別是，所以由拋物線的定義知，故選C.【點睛】該題主要考查了拋物線的知識，關(guān)鍵在于掌握拋物線的定義以及拋物線的簡單性質(zhì)，理解拋物線上點到焦點的距離與到準線的距離相等.5.將多項式分解因式得，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先將題中的條件轉(zhuǎn)化為，從而能夠準確的判斷出5次項出現(xiàn)的情況，之后用二項式定理求解，從而求得結(jié)果.【詳解】，所以展開式中的三次項系數(shù)為，所以，故選A.【點睛】該題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能

4、力與計算能力，屬于中檔題目.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，其側(cè)視圖中的曲線為圓周，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三視圖，還原直觀圖，計算該幾何體的底面積，結(jié)合體積計算公式，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合題意，繪制圖像，如圖所示平面DEF的面積為，故該幾何體的體積，故選B?！军c睛】考查了三視圖還原直觀圖，關(guān)鍵繪制出該幾何體的圖形，結(jié)合體積計算公式，即可，難度中等。7.曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】欲求切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積，關(guān)鍵是求出在點處的切線

5、方程，只需求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決.【詳解】，所以，且，所以切線方程為，即，此直線與軸、軸交點坐標分別為，所以切線與坐標軸圍成的三角形面積是，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與坐標軸圍成的三角形的面積的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，曲線在某點處的切線的方程，屬于簡單題目.8.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)表達式展開合并，再用輔助角公式化簡，得f（x）=sin（2x+）-再根據(jù)正弦函數(shù)對稱軸的公式，求出f（x）圖象的對稱軸方程.【詳解】f（x）=

6、sinx=sin2x-=sin2x+-=sin（2x+）-，f（x）=sin（2x+）-，令2x+=(k,解得x=(k,k=0時，故選B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡與三角函數(shù)性質(zhì)，運用了兩角和差的正余弦公式和二倍角公式，屬于中檔題9.已知在區(qū)間上，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點P，設(shè)點P在x軸上的射影為，的橫坐標為，則的值為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用兩個函數(shù)圖像相交，交點的坐標相同列方程，化簡后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值.【詳解】依題意得，即. = .故選B.【點睛】本小題主要考查兩個函數(shù)交點的性質(zhì)，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查正切的二倍角公

7、式，屬于基礎(chǔ)題.10.四色猜想是世界三大數(shù)學猜想之一，1976年數(shù)學家阿佩爾與哈肯證明，稱為四色定理.其內(nèi)容是：“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數(shù)學語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用，四個數(shù)字之一標記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線圍城的各區(qū)域上分別標有數(shù)字，的四色地圖符合四色定理，區(qū)域和區(qū)域標記的數(shù)字丟失.若在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為的區(qū)域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令B為1，結(jié)合古典概型計算公式，得到

8、概率值，即可?！驹斀狻緼,B只能有一個可能為1，題目求最大，令B為1，則總數(shù)有30個，1號有10個，則概率為，故選C?！军c睛】本道題考查了古典概型計算公式，難度較小。11.設(shè)雙曲線：的右焦點為，為坐標原點，若雙曲線及其漸近線上各存在一點，使得四邊形為矩形，則其離心率為（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出過原點且與漸近線垂直的直線的方程為，再求出過點F且與漸近線平行的直線方程，聯(lián)立方程組求出點的坐標為：，將它代入雙曲線方程整理即可得解?！驹斀狻恳罁?jù)題意作出如下圖像，其中四邊形為矩形，雙曲線的漸近線方程為：，所以直線的方程為，直線的方程為：，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，解

9、得：，所以點的坐標為：，又點在雙曲線上，所以，整理得：，所以.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)及方程思想，考查計算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。12.已知，若存在，使，則稱函數(shù)與互為“度零點函數(shù)”。若與互為“1度零點函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意，求得，利用條件得到，即，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上存在零點，進一步得，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的值域，從而求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，且在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)只有一個零點.即，得.函數(shù)在區(qū)間上存在零點，由，得.令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以只需即有零點，故選B.【點睛

10、】要學會分析題中隱含的條件和信息，如本題先觀察出的零點及單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上存在零點，再進行參變量分離，應(yīng)用導數(shù)解決.二、填空題：本大題共4小題，沒小題5分，共20分。將答案填在答題卡對應(yīng)號的位置上，打錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分。13.已知向量，若，則_【答案】【解析】【分析】直接由已知條件結(jié)合向量垂直的坐標表示列式求得的值.【詳解】因為，所以有，即，因為，所以，解得，故答案是：3.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量垂直的問題，涉及到的知識點有向量垂直的條件是向量數(shù)量積等于零，向量數(shù)量積坐標運算式，數(shù)量積的運算法則，屬于簡單題目.14.岳陽市某高中文學社計劃招入女生人

11、，男生人，若滿足約束條件則該社團今年計劃招入學生人數(shù)最多為_【答案】13【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x+y，利用數(shù)形結(jié)合即可得到z的最大值【詳解】設(shè)z=x+y，則y=x+z，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖：平移直線y=x+z由圖象可知當直線y=x+z經(jīng)過點A時，直線y=x+z的截距最大，此時z最大，由即A（6，7），此時z的最大值為z=6+7=13，故答案為：13.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形常見的類型有截距型

12、（型）、斜率型（型）和距離型（型）(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值。15.已知的三邊長分別為，面積為，且，則該三角形的外接圓面積為_【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合余弦定理以及三角形的面積公式，求得，結(jié)合題中所給的邊長，利用正弦定理求得三角形的外接圓的半徑，利用圓的面積公式求得結(jié)果.【詳解】因為，所以有，所以，因為，所以，設(shè)的外接圓的半徑是R，則有，所以，所以其外接圓的面積為，故答案是：.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角形外接圓的面積的問題，涉及到的知識點有余弦定理，三角形的面積公式，正弦定理，

13、屬于中檔題目.16.正方體中，點分別在棱上，且其中，若平面與線段的交點為，則_【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意找出平面截正方體所得的截面圖形，之后根據(jù)所學知識得到，之后應(yīng)用相似三角形對應(yīng)邊成比例，以及平行線的相關(guān)性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】如圖，分別在上取，使得，,則易知 ，因此平面即平面.連接與的交點即為點，易知，所以，故答案是：.【點睛】該題考查的是有關(guān)正方體的截面的問題，涉及到的知識點有平面截正方體所得截面，相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于中檔題目.三、解答題 （本大題分必做題和選做題，其中17-21題為必做題，第22-23為選做題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把答案填在

14、答題卡上對應(yīng)題號指定框內(nèi)。17.已知數(shù)列且，.（）求數(shù)列的通項公式;（）記為數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和.【答案】()().【解析】【分析】()由題意得，由累乘法得；（）先求出，進而得到，由裂項相消法求數(shù)列的前項和可得到答案?！驹斀狻?)由，得，所以 由累乘法:,，得，所以數(shù)列的通項公式為. ()由等差數(shù)列前項和公式得：，則， 數(shù)列的前項和為：.【點睛】本題考查了累乘法求通項公式，及裂項相消法求數(shù)列的前項和，屬于中檔題。18.如圖,矩形和菱形所在的平面相互垂直,為的中點.(1)求證：平面；(2)若,求二面角的余弦值.【答案】()見解析；()【解析】【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，即，

15、根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合線面垂直判定定理即可的結(jié)果；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面以及平面的法向量，求出法向量的夾角即可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：矩形和菱形所在的平面相互垂直，矩形菱形，平面，平面， 菱形中，為的中點.，即，平面. （2）由（1）可知兩兩垂直，以A為原點，AG為x軸，AF為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，故，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得， 設(shè)二面角的平面角為，則， 易知為鈍角，二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

16、等基礎(chǔ)知識，是中檔題.19.已知橢圓:的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為、.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點A的直線與橢圓交于P、Q兩點，且,試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.【答案】（1）（2）直線過定點【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的圓心和半徑寫出圓的標準方程，令求得圓與軸交點的坐標，由此列方程組求得的值，進而求得橢圓的標準方程.（1）根據(jù)，利用點斜式設(shè)出直線的方程，并分別代入橢圓方程解出兩點的坐標，由此求得直線的方程，由此求得定點的坐標為.【詳解】解：（1）依題意知點A的坐標為，則以點A圓心，以為半徑的圓的方程為:

17、，令得，由圓A與y軸的交點分別為、可得，解得，故所求橢圓的方程為.（2）由得，可知PA的斜率存在且不為0，設(shè)直線- 則-將代入橢圓方程并整理得，可得，則，類似地可得，由直線方程的兩點式可得：直線的方程為 ，即直線過定點，該定點的坐標為.【點睛】本小題主要考查圓的標準方程和幾何性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程的兩點式以及直線過定點的問題.屬于中檔題.要求直線和橢圓的交點坐標，需要聯(lián)立直線和橢圓的方程，解方程組求得，這里需要較強的運算能力.直線過定點的問題，往往是將含有參數(shù)的部分合并，由此求得直線所過的定點.20.當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生

18、進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施.程度2020年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到下邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個數(shù)得分17181920（）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本

19、方差（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：預(yù)計全年級恰有2000名學生，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）若在全年級所有學生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.【答案】（I）；（II） ;詳見解析.【解析】【分析】（）根據(jù)古典概率概率公式求解即可得到結(jié)果；（）先根據(jù)頻率分布直方圖得到平均數(shù)個，結(jié)合題意得到正式測試時根據(jù)正態(tài)曲

20、線的對稱性可得，由此可預(yù)計所求人數(shù)；由題意得，根據(jù)獨立重復試驗的概率可得當分別取時的概率，然后可得分布列及期望【詳解】（）設(shè)“兩人得分之和不大于35分”為事件A，則事件A包括兩種情況：兩人得分均為17分；兩人中1人得17分，1人得18分由古典概型概率公式可得，所以兩人得分之和不大于35分的概率為（）由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（個），又由，所以正式測試時， 由正態(tài)曲線的對稱性可得 （人），所以可預(yù)計全年級恰有2000名學生，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)為1683人 由正態(tài)分布模型，全年級所有學生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0.5，所以 的分布列為0123【點睛】

21、（1）離散型隨機變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點，不僅考查學生的理解能力與數(shù)學計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學生運用概率、期望與方差解決實際問題的能力，以解答題為主，中等難度（2）利用正態(tài)曲線的對稱性求概率的方法解題的關(guān)鍵是利用對稱軸x確定所求概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間與已知概率對應(yīng)的隨機變量的區(qū)間的關(guān)系，一般要借助圖形判斷、分析，解題時要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質(zhì)21.已知函數(shù)1若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）當時，以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；(當時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2） .【解析】【分析】1

22、求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；2求出的最大值，問題等價于，即，對恒成立，求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可篩選出符合題意的的范圍【詳解】1由題意，.當時，令得；，得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；(當時，令得；令，得或，所以，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.2令，當時，單調(diào)遞增，則，則對恒成立等價于，即，對恒成立.當時，此時，不合題意，舍去 .當時，令，則，其中，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.當時，所以對，則在上單調(diào)遞增，故對任意，即不等式在上恒成立，滿足題意當時，由，及在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以存在唯一的使得，且時，從而時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則時，即，不符合題意綜上所述，.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式恒成立