貴州省遵義市2020屆高三數(shù)學(xué)9月第一次統(tǒng)一考試試題 理（含解析）（通用）

1、貴州省遵義市2020屆高三數(shù)學(xué)9月第一次統(tǒng)一考試試題 理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1.已知集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對(duì)集合內(nèi)的不等式進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)交集運(yùn)算得到答案.【詳解】集合中，解不等式，得，所以集合而集合所以，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)不等式的計(jì)算，集合交集的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】【分析】對(duì)條件中的式子進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)，得到復(fù)數(shù)，從而得到其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.【

2、詳解】由，得所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，復(fù)平面的相關(guān)概念，屬于簡(jiǎn)單題.3.已知兩個(gè)單位向量和的夾角為，則的最小值為（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】對(duì)平方，然后將單位向量和的模長(zhǎng)和夾角帶入，得到關(guān)于的函數(shù)，然后得到其最小值，從而得到答案.【詳解】因?yàn)楹褪菃挝幌蛄?，且?jiàn)A角為所以，所以，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的表示，求模長(zhǎng)的最小值，屬于簡(jiǎn)單題,4.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故選A5.已知：，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別將

3、與特殊值進(jìn)行比較，然后判斷出其大小關(guān)系，得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查比較指數(shù)值和對(duì)數(shù)值的大小，屬于簡(jiǎn)單題.6.執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸入的，則輸出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的要求，得到每次循環(huán)對(duì)應(yīng)的的值，再根據(jù)判斷語(yǔ)句，結(jié)束循環(huán)，輸出的值，得到答案.【詳解】根據(jù)程序框圖的循環(huán)語(yǔ)句可知第一次循環(huán)，此時(shí)，；第二次循環(huán)，此時(shí)，；第三次循環(huán)，此時(shí)，；第四次循環(huán)，此時(shí)，；第五次循環(huán)，此時(shí)，；第六次循環(huán)，不滿(mǎn)足，循環(huán)停止，輸出故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)輸入值求程序框圖的輸出值，裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和，屬于簡(jiǎn)單題.7.已知函數(shù)，則不等

4、式的解集是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式，求解函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又由，即函數(shù)定義域上的奇函數(shù)，又由不等式可轉(zhuǎn)化為 即，即，解得，即不等式的解集為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中根據(jù)函數(shù)的解析式利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖，在正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自

5、陰影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定積分先求出陰影部分的面積，再由幾何概型的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】陰影部分的面積，正方形面積為，所以所求概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查與面積有關(guān)的幾何概型.9.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A. 函數(shù)的值域與的值域相同B. 若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則是函數(shù)的零點(diǎn)C. 把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，就可以得到函數(shù)的圖像D. 函數(shù)和在區(qū)間上都是增函數(shù)【答案】C【解析】【分析】先求出的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合解析式的特點(diǎn)來(lái)判斷.【詳解】，所以選項(xiàng)A正確；由極值點(diǎn)定義可知選項(xiàng)B正確；把的圖像向右平移個(gè)單位，得到與不相等；故選C.【點(diǎn)睛】

6、本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).三角函數(shù)的圖像變換主要平移方向和系數(shù)的影響.10.楊輝三角，又稱(chēng)帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法（1261年）一書(shū)中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1記作數(shù)列，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）A. 265B. 521C. 1034D. 2059【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出楊輝三角中第47個(gè)數(shù)在第幾行，然后根據(jù)每行規(guī)律得到這一行的和，然后再求其前47項(xiàng)的和.【詳解】根據(jù)題意楊輝三角

7、前9行共有故前47項(xiàng)的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個(gè)數(shù)1和9，所以前47項(xiàng)的和故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角的特點(diǎn)，等比數(shù)列求和，屬于中檔題.11.已知邊長(zhǎng)為4等邊三角形，D為的中點(diǎn)，以為折痕，將三角形折成直二面角，則經(jīng)過(guò)A，B，C，D球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先對(duì)平面圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將三棱錐補(bǔ)齊成長(zhǎng)方體，進(jìn)一步求出長(zhǎng)方體外接球體的半徑，最后求出所求球的表面積【詳解】如圖所示，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D為的中點(diǎn)，以為折痕，將三角形折成直二面角.則,將三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則經(jīng)過(guò)A，B，C，D球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，設(shè)球的半徑為故：所以所以其

8、表面積.故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)補(bǔ)齊圖形求三棱錐的外接球半徑及表面積，屬于中檔題.12.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若關(guān)于漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰落在以為圓心為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為( )A. 3B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】求出到漸近線距離，利用關(guān)于漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰落在以為圓心，為半徑的圓上，可得直角三角形，由勾股定理得關(guān)于的方程，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】由題意， ，一條漸近線方程為,則到漸近線的距離為，設(shè)關(guān)于漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為與漸近線交于，為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，為直角,為直角三角形，由勾股定理得，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線與離心率，屬于難題.離

9、心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出;構(gòu)造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解;根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解二、填空題:把答案填在題中橫線上13.直線與圓（其中）無(wú)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑，將圓的圓心和半徑表示出來(lái)，然后利用公式，得到關(guān)于的不等式，解出答案.【詳解】圓（其中）,圓心為，半徑為，且因?yàn)橹本€與圓無(wú)公共點(diǎn)則圓心直線的距離大于半徑，即，且解得的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，屬于簡(jiǎn)單題.14.甲幾

10、何體（上）與乙?guī)缀误w（下）組合體的三視圖如圖所示，甲、乙?guī)缀误w的體積分別為，則等于_ 【答案】13【解析】【分析】由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個(gè)球，下面是一個(gè)圓錐利用體積計(jì)算公式即可得出【詳解】由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個(gè)球，下面是一個(gè)圓錐，.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體，求球和圓錐的體積，屬于簡(jiǎn)單題.15.已知數(shù)列、均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為和，若，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)，將所求的，再由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，從而得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列、均為等差數(shù)列所以【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列

11、的求和公式，屬于中檔題.16.已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先由函數(shù)得到定點(diǎn)坐標(biāo)，再把代入直線，得到的關(guān)系，再由基本不等式得到答案.【詳解】函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，所以,將代入到直線中，得到，即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，基本不等式求最小值，屬于中檔題.三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.設(shè)函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（）中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求的面積【答案】（）；（）【解析】【分析】（）對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到正弦型函數(shù)，然后根據(jù)的范圍，求出的范圍，得到

12、的值域. （）由得到的值，根據(jù)和正弦定理得到的值，再由求出，根據(jù)和正弦定理，得到，由面積公式求出的面積.【詳解】解：（），函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?，即由，由正弦定理?，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，求正弦型函數(shù)的值域，正弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于簡(jiǎn)單題.18.未來(lái)創(chuàng)造業(yè)對(duì)零件的精度要求越來(lái)越高.打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造，已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件.該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛，可以預(yù)計(jì)在未來(lái)會(huì)有發(fā)展空間.某制造企業(yè)向高校打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺(tái)打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件.該團(tuán)隊(duì)在

13、實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件，從中隨機(jī)抽取個(gè)零件，度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖（單位：）.（1）計(jì)算平均值與標(biāo)準(zhǔn)差；（2）假設(shè)這臺(tái)打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑服從正態(tài)分布，該團(tuán)隊(duì)到工廠安裝調(diào)試后，試打了個(gè)零件，度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、，試問(wèn)此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？為什么？參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1) (2) 機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試【解析】【分析】（1）由均值與方差的定義公式計(jì)算；（2）由正態(tài)分布求得概率后知零件內(nèi)徑在外的概率只有0.0026，而在外，因此機(jī)器異?！驹斀狻浚?） ， ，所以.（2）結(jié)論：需要進(jìn)一步調(diào)試.理由如下：如果機(jī)器正常工作，則服從正態(tài)分布， ，零件內(nèi)徑在之外的概率只有

14、，而，根據(jù)原則，知機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試.【點(diǎn)睛】本題考查均值與方差公式，考查正態(tài)分布，解題時(shí)由相應(yīng)公式計(jì)算即可屬于基礎(chǔ)題19.如圖所示，四棱錐中，底面，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）分別計(jì)算BCA和CAE得出兩角相等，得出AEBC，故而AE平面PBC；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)半平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大小【詳解】（1）證明：在中，是直角三角形又為的中點(diǎn)，是等邊三角形，又平面平面平面（2）由（1）可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 設(shè)為平面的法向量，則

15、即設(shè)，則設(shè)為平面的法向量，則即設(shè)，則二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定，空間向量與二面角的計(jì)算，屬于中檔題一般證明線面平行是從線線平行入手，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，三角形中位線，梯形底邊等，找到線線平行，再證線面平行。20.順次連接橢圓的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)，怡好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形（）求橢圓的方程；（）設(shè)，過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若對(duì)滿(mǎn)足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值【答案】（）；（）【解析】【分析】（）根據(jù)題意列出的方程組，解出，得到橢圓方程；（）按斜率不存在和存在分別表示出直線，直線與橢圓聯(lián)立，得到，將坐標(biāo)表示出來(lái)，代入，得到關(guān)于斜率的不等式，從而求

16、出其最大值，得到的范圍.【詳解】解：（）由已知得：，解得， 所以，橢圓C的方程為（）設(shè)，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，且此時(shí)，當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，由得， 要使不等式恒成立，只需，即的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的交點(diǎn)，橢圓中的范圍問(wèn)題，屬于中檔題.21.已知， （）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）記表示m，n中的最大值，若，且函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（），當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為（）【解析】【分析】（）對(duì)求導(dǎo)，得到，然后分和，分別要求的正負(fù)，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（）分和進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，可知證明至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，先得出關(guān)于對(duì)稱(chēng)

17、，所以要有3個(gè)零點(diǎn)，則必須在上取到2個(gè)零點(diǎn)，得到關(guān)于的不等式組，解出的范圍，得到答案.【詳解】解：（）的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，所以的單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得， 綜上得，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為 （），的唯一一個(gè)零點(diǎn)是， 由（1）可得：（）當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意（）當(dāng)時(shí)，令，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，注意到在上恒正，要有3個(gè)零點(diǎn)，則必須上取到2個(gè)零點(diǎn)，如圖，極大值，且 則有， 綜上，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極大值和零點(diǎn)問(wèn)題，屬于難題.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為

18、原點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（I）寫(xiě)出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)點(diǎn)，分別在曲線，上運(yùn)動(dòng)，若，兩點(diǎn)間距離的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（I），；（II）或.【解析】【分析】（I）消去參數(shù)后可得的普通方程，利用可得的直角方程.（II）利用的最小值得到圓心到直線的距離，從而可求出.【詳解】（I）曲線；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，將，代入，得（II）因?yàn)榍€的半徑，若點(diǎn)，分別在曲線，上運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)間距離的最小值為，即圓的圓心到直線的距離，解得或.【點(diǎn)睛】極坐標(biāo)方程與直角方程的互化，關(guān)鍵是，必要時(shí)須在給定方程中構(gòu)造在極坐標(biāo)系中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在不同的幾何對(duì)象上運(yùn)動(dòng)變化時(shí)