黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題 理（含解析）（通用）

1、六中2020屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（理工類）考試說明：本試卷分第卷（選擇題）和第卷(非選擇題)兩部分1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.2.做答第卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效.3.做答第卷時，請按題號順序在各題目規(guī)定的答題區(qū)域內(nèi)做答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.4.保持答題卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)用涂改液、修正帶、刮紙刀.第卷（選擇題 ）一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.復(fù)

2、數(shù)，（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，則復(fù)數(shù)z的虛部可求【詳解】z=，z的虛部為1故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題2.已知集合，集合,則圖中的陰影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】圖中陰影部分表示的集合為，所以先求出集合A,B后可得結(jié)論【詳解】由題意得，所以，即圖中陰影部分表示的集合為故選C【點(diǎn)睛】本題考查集合的元素、韋恩圖和集合的補(bǔ)集運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是認(rèn)清圖中陰影部分表示的集合以及所給集合中元素的特征，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)向

3、量，滿足，則（ ）A. 6 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】向量滿足，=3，解得=2則=4故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4.下列命題中錯誤的是（ ）A. 命題“若，則”的逆否命題是真命題B. 命題“”的否定是“”C. 若為真命題，則為真命題D. 已知，則“”是“”的必要不充分條件【答案】C【解析】【分析】對于A，根據(jù)逆否命題的等價性進(jìn)行判斷；對于B，根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷；對于C，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系 進(jìn)行判斷；對于D，利用必要不充分條件進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，若x=y，則sinx=si

4、ny，顯然原命題正確，則逆否命題也為真命題故A正確；對于B，命題“”的否定是“”，故B正確；對于C，若為真命題，則至少有一個是真命題，故不一定為真命題，故C錯誤；對于D，充分性：當(dāng)時，顯然不成立，即充分性不具備；必要性：因?yàn)?，根?jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，顯然，即必要性具備，故D正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及復(fù)合命題的真假關(guān)系，含有量詞的命題的否定，充要條件以及冪函數(shù)的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)5.過點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離可得圓心到直線的距離,結(jié)合勾股定理，即可得結(jié)論.

5、【詳解】根據(jù)題意，設(shè)過點(diǎn)且傾斜角為的直線為 ,其方程為,即,變形可得，圓 的圓心為，半徑 ,設(shè)直線與圓交于點(diǎn),圓心到直線的距離,則，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線的點(diǎn)斜式方程，屬于中檔題. 解答直線與圓的位置關(guān)系的題型，常見思路有兩個：一是考慮圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系（求弦長問題需要考慮點(diǎn)到直線距離、半徑，弦長的一半之間的等量關(guān)系）；二是直線方程與圓的方程聯(lián)立，考慮運(yùn)用韋達(dá)定理以及判別式來解答.6.朱載堉（15361611），明太祖九世孫，音樂家、數(shù)學(xué)家、天文歷算家，在他多達(dá)百萬字的著述中以樂律全書最為著名，在西方人眼中他是大百科全書式的學(xué)者王子。他對文藝的

6、最大貢獻(xiàn)是他創(chuàng)建了“十二平均律”，此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國的鍵盤樂器上，包括鋼琴，故朱載堉被譽(yù)為“鋼琴理論的鼻祖”?！笆骄伞笔侵敢粋€八度有13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音頻率是最初那個音頻率的2倍，設(shè)第二個音的頻率為，第八個音的頻率為，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依題意13個音的頻率成等比數(shù)列，記為an，設(shè)公比為q，推導(dǎo)出q=，由此能求出的值【詳解】依題意13個音的頻率成等比數(shù)列，記為an，設(shè)公比為q，則=，且=2a1，q=，=q6=故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩個頻率的比值的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基本性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查函

7、數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題7.已知，則的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，變形，利用兩角差的余弦公式可得結(jié)果.【詳解】由可得，故選B.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角8.已知函

8、數(shù)是奇函數(shù)，其中，則函數(shù)的圖象（ ）A. 關(guān)于點(diǎn)對稱 B. 關(guān)于直線對稱C. 可由函數(shù)圖象向右平移個單位得到 D. 可由函數(shù)圖象向左平移個單位得到【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得到，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，根據(jù)左加右減的原則得到CD是錯誤的，由，得到B錯誤，A正確.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，其中，f（x）=sin2x=cos（2x）=cos2（x），則函數(shù)g（x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x） 的圖象可由函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位得到的，C,D錯;由,得 時,B錯.因?yàn)?，故A正確.故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的平移問題，首先保證三角函數(shù)同名，不是同名通過誘導(dǎo)

9、公式化為同名，在平移中符合左加右減的原則，在寫解析式時保證要將x的系數(shù)提出來，針對x本身進(jìn)行加減和伸縮.9.已知，若存在兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：有兩個零點(diǎn)，等價于有兩個根，即與有兩個交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.詳解：有兩個零點(diǎn)，等價于有兩個根，即與有兩個交點(diǎn)，畫出與的圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)在軸的截距不大于時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，即，的取值范圍是，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是

10、函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)10.函數(shù)（其中）的圖像不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】（1）當(dāng)時，其圖象為選項(xiàng)A所示；（2）當(dāng)時，若，則圖象如選項(xiàng)D所示；若，則圖象如選項(xiàng)B所示綜上，選項(xiàng)C不正確選C11.已知，則不可能滿足的關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，從而可得，故，然后對給出的四個選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論【詳解】，整理得對于A，由于，解得，所以A成立

11、對于B，由于，解得，所以B成立對于C，所以C成立對于D，由于，所以，因此D不成立故選D【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的轉(zhuǎn)化及基本不定式的變形及其應(yīng)用，解題時注意不等式的應(yīng)用，同時也要注意不等式所需的條件，即“一正、二定、三相等”12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作OA于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，可得，結(jié)合雙曲線定義可得從而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】如圖，作OA于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，與圓相切，又點(diǎn)M在雙曲線上，整理，得，雙曲線的漸近線方程為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線漸近線方程的求法，解題關(guān)鍵

12、建立關(guān)于a，b的方程，充分利用平面幾何性質(zhì)，屬于中檔題.第卷（非選擇題）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題23題為選考題，考生根據(jù)要求做答二、填空題。13.某多面體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰三角形，該多面體的各個面中有若干個是等腰三角形，這些等腰三角形的面積之和為_【答案】【解析】【分析】由三視圖還原原幾何體，可知原幾何體是四棱錐ABCDE，其中底面BCDE為邊長是4的正方形，側(cè)面ABE為等腰三角形，側(cè)面ADC為等腰三角形，然后由三角形面積公式求解【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體是四棱錐ABCDE，其中底面BCDE為邊長是

13、4的正方形，側(cè)面ABE、ADC為等腰三角形，側(cè)面ABC、AED為直角三角形ABE底邊BE上的高為2，AC=，等腰三角形ACD底邊CD上的高為，這些等腰三角形的面積之和為4+4故答案為：4+4【點(diǎn)睛】由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.14.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】首先確定準(zhǔn)線方程，然后結(jié)合對稱性求解的最小值即可.【詳解】，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，即，代入，得，不妨取，即

14、，設(shè)關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為，可得，故 即的最小值為.故答案為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查拋物線中的最值問題，對稱轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15.已知數(shù)列滿足，則該數(shù)列的前20項(xiàng)和為_【答案】2101【解析】【分析】先利用題中條件找到數(shù)列的特點(diǎn)，即其奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成了首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，而其偶數(shù)項(xiàng)則構(gòu)成了首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再對其和用分組求和的方法找到即可【詳解】由題中條件知，a1=1，a2=2，a3=a1+1=2，a4=2a2+0=4，a5=a3+1=3，a6=2a4=8即其奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成了首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，而其偶數(shù)項(xiàng)則構(gòu)成了首項(xiàng)為2，公比為2的等

15、比數(shù)列，所以該數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（1+2+3+10）+（2+4+8+210）=2101故答案為：2101【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式考查學(xué)生的運(yùn)算能力與歸納推理能力16.如圖，已知一個八面體的各條棱長均為，四邊形為正方形，給出下列命題：不平行的兩條棱所在的直線所成的角是或； 四邊形是正方形；點(diǎn)到平面的距離為； 平面與平面所成的銳二面角的余弦值為其中正確的命題全部序號為_【答案】【解析】【分析】利用八面體的結(jié)構(gòu)特征逐條驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)榘嗣骟w的各條棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，所以在四棱錐EABCD中，相鄰兩條側(cè)棱所成的角為60，而像AE與CE所成的角為90，

16、正確因?yàn)锳E=CE=1，AC=，滿足勾股定理的逆定理，所以AECE，同理AFCF，AEAF，所以四邊形AECF是正方形；故正確；設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離h，由VEABCD=2VABCE，所以，解得h=；所以點(diǎn)A到平面BCE的距離；故正確；設(shè)平面與平面交線為m，顯然m平行BC，取AD的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)為Q，則PEm，QEm故PEQ為平面與平面所成的銳二面角的平面角易知：PQ=1，PE=QE=，cosPEQ=，故正確.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線線關(guān)系以及線面關(guān)系，利用了等積法求點(diǎn)到平面的距離，考查了空間角的計(jì)算，屬于中檔題三、解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟1

17、7.如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，.（1）求的長；（2）若，求的值.【答案】（1）2，（2）【解析】【分析】(1) 如圖，作ADBC于點(diǎn)D，設(shè)AP=2PD=2x，PB= BD PD；（2）由（1）知：AD=，cosACP=，只需求出AC即可.【詳解】（1）如圖，作ADBC于點(diǎn)D，則ADP=90，設(shè)PD=x，PAD=90-AP=2PD=2xAD=，BD=PB+PD=在RTABD中，解得：.BP=4-21=2故BP的長為2；（2）由（1）知：AD=ADBC，ADC=90在RTADC中AC=CD=cosACP=故【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和

18、角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.18.已知數(shù)列滿足，且， .（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)見解析;(2) .【解析】試題分析：（1）把代入到，得到，滿足等差數(shù)列定義；（2）由，利用錯位相減法求和.試題解析：（1）把代入到，得，兩邊同除以，得，為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為1，.（2）由， ，兩式相減，得 .點(diǎn)睛：用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題

19、目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.19.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，為中點(diǎn). （1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】(1)見解析； （2）.【解析】【分析】（）可證平面，得，再證，可證平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)：及各向量的坐標(biāo)，求出平面的一個法向量，及平面的一個法向量，代入夾角公式計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）證明：底面為正方形，又，平面，.同

20、理，平面 .（2）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的一個法向量，又，令，得.同理是平面的一個法向量，則.二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的的判定與性質(zhì)及二面角的計(jì)算，屬于中檔題。20.已知橢圓（1）若橢圓的離心率為，求的值； （2）若過點(diǎn)任作一條直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得， 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（）;（）.【解析】試題分析：（）橢圓的離心率 求解；（）若滿足,則直線的斜率之和 ，那么設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入 ，利用和恒為0的條件，求得定點(diǎn).試題解析： （）因?yàn)?，所?又有，得.（）若存在點(diǎn)，使得，則

21、直線和的斜率存在，分別設(shè)為，且滿足.依題意，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為.由，得.因?yàn)橹本€與橢圓有兩個交點(diǎn)，所以.即，解得.設(shè)，則，.令，當(dāng)時，所以，化簡得，所以.當(dāng)時，檢驗(yàn)也成立.所以存在點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】在圓錐曲線中證明過定點(diǎn)問題，主要是利用“設(shè)而不求”的方法，通常是設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后以此坐標(biāo)和相關(guān)變量表示出等量關(guān)系，寫成一邊為0的形式，若過定點(diǎn)，那就與其他參數(shù)無關(guān)，一般可寫成任何數(shù) ，這樣可求得定點(diǎn).21.已知，.（1）當(dāng)時，求證：；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見證明；（2）【解析】【分析】(1) 設(shè)F（x）=e2x+ln（x+1）（x+1

22、）2x（x0），通過兩次求導(dǎo)，判斷F（x）的單調(diào)性，即可得證；(2) 由題意可得存在x00，+），使得eln（x0+a）x020，設(shè)=e2xln（x+a）x2，兩次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，對a討論，分當(dāng)a時，當(dāng)a時，通過構(gòu)造函數(shù)和求導(dǎo)，得到單調(diào)區(qū)間，可得最值，即可得到所求a的范圍【詳解】(1)設(shè)，F(xiàn)（x）=4e2x2=e2x-+2（e2x1）+e2x0，（x0），所以，F(xiàn)（x）在0，+）上遞增，所以F（x）F（0）=0，所以，F(xiàn)（x）在0，+）上遞增，所以F（x）F（0）=0，即有當(dāng)x0時，f（x）（x+1）2+x；（2）即，則，在上遞增，當(dāng)時，,在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故，當(dāng)時，設(shè),在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則當(dāng)時，恒成立，不合題意綜上，則【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用單調(diào)性解決，考查存在性問題