2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷2含解析）（通用）（通用）

1、絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試課標(biāo)II理科數(shù)學(xué)【命題特點】2020年高考全國新課標(biāo)II數(shù)學(xué)卷，試卷結(jié)構(gòu)在保持穩(wěn)定的前提下，進(jìn)行了微調(diào)，一是取消試卷中的第卷與第II卷，把解答題分為必考題與選考題兩部分，二是根據(jù)中學(xué)教學(xué)實際把選考題中的三選一調(diào)整為二選一。試卷堅持對基礎(chǔ)知識、基本方法與基本技能的考查, 注重數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。 同時在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適度的改革和創(chuàng)新，與2020年相比難度穩(wěn)中有降略。具體來說還有以下幾個特點：1.知識點分布保持穩(wěn)定小知識點集合，復(fù)數(shù)，程序框圖，線性規(guī)劃，向量問題，三視圖保持一道小題的占比，大知識點三角數(shù)列三小一大，概率統(tǒng)計一大一小，立體幾何兩

2、小一大，圓錐曲線兩小一大，函數(shù)導(dǎo)數(shù)三小一大(或兩小一大)。2.注重對數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查教育部2020年新修訂的考試大綱（數(shù)學(xué)）中增加了數(shù)學(xué)文化的考查要求。2020高考數(shù)學(xué)全國卷II理科第3題以算法統(tǒng)宗中的數(shù)學(xué)問題為進(jìn)行背景，理科19題、文科18題以以養(yǎng)殖水產(chǎn)為題材，貼近生活。3.注重基礎(chǔ)，體現(xiàn)核心素養(yǎng)2020年高考數(shù)學(xué)試卷整體上保持一定比例的基礎(chǔ)題，試卷注重通性通法在解題中的運(yùn)用，另外抽象、推理和建模是數(shù)學(xué)的基本思想，也是數(shù)學(xué)研究的重要方法，試卷對此都有涉及?！久}趨勢】1.函數(shù)知識：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用、以導(dǎo)數(shù)知識為背景的函數(shù)問題是高考命題熱點，函數(shù)性質(zhì)重點是奇偶性、單調(diào)性及圖象的應(yīng)用，

3、導(dǎo)數(shù)重點考查其在研究函數(shù)中的應(yīng)用，注重分類討論及化歸思想的應(yīng)用。 2. 立體幾何知識：立體幾何一般有兩道小題一道大題，小題中三視圖是必考問題，常與幾何的面積與體積結(jié)合在一起考查，解答題一般分2進(jìn)行考查。3解析幾何知識：解析幾何試題一般有3道，圓、橢圓、雙曲線、拋物線一般都會涉及，雙曲線一般作為客觀題進(jìn)行考查，多為容易題，解答題一般以橢圓與拋物線為載體進(jìn)行考查，運(yùn)算量較大，不過近幾年高考適當(dāng)控制了運(yùn)算量，難度有所降低。4.三角函數(shù)與數(shù)列：三角函數(shù)與數(shù)列解答題一般輪流出現(xiàn)，若解答題為數(shù)列題，一般比較容易，重點考查基本量求通項及幾種求和方法，若解答題為三角函數(shù)，一般是解三角形問題，此時客觀題中一般會

4、有一道與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的題目，同時客觀題中會有兩道數(shù)列題，一易一難，數(shù)列客觀題一般具有小巧活的特點。 【試卷解析】一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則有：，故選D?！究键c】 復(fù)數(shù)的除法【名師點睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除。除法實際上是分母實數(shù)化的過程。在做復(fù)數(shù)的除法時，要注意利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1z2|z1|2|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)將分母實數(shù)化。2.設(shè)集合，。若，則（ ）A. B. C.

5、 D.【答案】C3.我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）A1盞 B3盞 C5盞 D9盞【答案】B4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱的一半，其體積，該組合體的體積為：。

6、故選B。【考點】 三視圖；組合體的體積【名師點睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮。求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解。5.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）A B C D【答案】A6.安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ）A12種 B18種 C24種 D

7、36種【答案】D【解析】試題分析：由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進(jìn)行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有種方法。 故選D?！究键c】 排列與組合；分步乘法計數(shù)原理【名師點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步。具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配。在分組時，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法

8、。7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績?？春蠹讓Υ蠹艺f：我還是不知道我的成績。根據(jù)以上信息，則（ ）A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績【答案】D8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）A2 B3 C4 D5【答案】B (3)按照題目的要求完成解答并驗證。9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ）A2 B C D【答案】A10.已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值

9、為（ ）A B C D【答案】C11.若是函數(shù)的極值點，則的極小值為（ ）A. B. C. D.1【答案】A【解析】試題分析：由題可得因為，所以，故令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減所以極小值為，故選A?！究键c】 函數(shù)的極值；函數(shù)的單調(diào)性【名師點睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號不同。(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值。12.已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B二、填空題：本題共

10、4小題，每小題5分，共20分。13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 ?！敬鸢浮?4.函數(shù)（）的最大值是 ?！敬鸢浮?【解析】試題分析：化簡三角函數(shù)的解析式：，由自變量的范圍：可得：，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1?！究键c】 三角變換，復(fù)合型二次函數(shù)的最值?！久麕燑c睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數(shù)值符號四個方面分析。15.等差數(shù)列的前項

11、和為，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由題意有： ，解得 ，數(shù)列的前n項和,裂項有：，據(jù)此： 。【考點】 等差數(shù)列前n項和公式；裂項求和?！久麕燑c睛】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的。16.已知是拋物線的

12、焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則 ?！敬鸢浮?【考點】拋物線的定義；梯形中位線在解析幾何中的應(yīng)用?！久麕燑c睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化。如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題。因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第1721題為必做題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考

13、題：共60分。17.（12分）的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求?！敬鸢浮?1)；(2)。18.（12分）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下：（1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；（2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)

14、的估計值（精確到0.01）附： 【答案】(1)；(2) 有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；(3)。（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量箱產(chǎn)量舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466由于，故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點。（1）證明：直線 平面PAB；（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值?！敬鸢浮?1)證明略；(2) 。（2）由已知得,以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)則，因為BM與底面ABCD所

15、成的角為45，而是底面ABCD的法向量，【考點】 判定線面平行；面面角的向量求法【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計算。(2)設(shè)m，n分別為平面，的法向量，則二面角與互補(bǔ)或相等，故有|cos |cos|=。求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。20. （12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。(1) 求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。 【答案】(1) 。(2)證明略。（2）由題意知。設(shè)

16、,則，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F。【考點】 軌跡方程的求解；直線過定點問題?！久麕燑c睛】求軌跡方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)0。(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程。(3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程。(4)代入(相關(guān)點)法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而運(yùn)動，常利用代入法求動點P(x，y)的軌跡方程。21.（12分）已知函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點，且?！敬鸢浮?1)；(2)證明略。（2）由（1）知 ，。設(shè)，則。當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ，所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增。（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計分。22。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為。（1）M為曲線上的動點，點P在線段