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文檔簡介
1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一【課標(biāo)要求】1通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;2掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題二【命題走向】近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置,且選擇、填空也有涉及,有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及線段中點(diǎn)、弦長等。分析這類問題,往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法,對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理等。預(yù)測2020年高考:1會(huì)出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題;2與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題,等軸雙曲線基本不出題,坐標(biāo)軸平移或平移化簡方程一般不出解答題,大多是以選擇題形式出現(xiàn)三【要點(diǎn)精講】1點(diǎn)M(
2、x0,y0)與圓錐曲線C:f(x,y)=0的位置關(guān)系2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,從幾何角度可分為三類:無公共點(diǎn),僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為:相交、相切、相離對(duì)于拋物線來說,平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn),但并不是相切;對(duì)于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為:注意:直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件3直線與
3、圓錐曲線相交的弦長公式設(shè)直線l:y=kx+n,圓錐曲線:F(x,y)=0,它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),且由,消去yax2+bx+c=0(a0),=b2 4ac。則弦長公式為:d=。焦點(diǎn)弦長:(點(diǎn)是圓錐曲線上的任意一點(diǎn),是焦點(diǎn),是到相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線的距離,是離心率)。四【典例解析】題型1:直線與橢圓的位置關(guān)系例1已知橢圓:,過左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),求弦AB的長解析:a=3,b=1,c=2,則F(-2,0)。由題意知:與聯(lián)立消去y得:。設(shè)A(、B(,則是上面方程的二實(shí)根,由違達(dá)定理,又因?yàn)锳、B、F都是直線上的點(diǎn),所以|AB|=點(diǎn)評(píng):也可讓學(xué)生利用
4、“焦半徑”公式計(jì)算。例2中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,)的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求橢圓的方程解析:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由F1(0,)得把直線方程代入橢圓方程整理得:。設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為,則由根與系數(shù)的關(guān)系得:,又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,與方程聯(lián)立可解出故所求橢圓的方程為:。點(diǎn)評(píng):根據(jù)題意,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,與直線方程聯(lián)立解方程組,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo),再由F1(0,)知,c=,最后解關(guān)于a、b的方程組即可例3(2020北京理)點(diǎn)在直線上,若存在過的直線交拋物線于兩點(diǎn),且,則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”,那么下列結(jié)論中正確的是 ( ) A直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B直線上僅有有限
5、個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)(點(diǎn)不是所有的點(diǎn))是“點(diǎn)”【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解,如圖,設(shè),則,消去n,整理得關(guān)于x的方程 (1)恒成立,方程(1)恒有實(shí)數(shù)解,應(yīng)選A.【答案】A例4已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(,0)和F2(2,0),長軸長為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。解析:設(shè)橢圓C的方程為,由題意a=3,c=2,于是b=1.橢圓C的方程為y21由得10x236x270,因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式0,所以直線與橢圓有
6、兩個(gè)不同的交點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為()點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。題型2:直線與雙曲線的位置關(guān)系例5(1)過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條,分別求出它們的方程。(2)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí),A、B在雙曲線的同一支上?當(dāng)為何值時(shí),A、B分別在雙曲線的兩支上?解析:(1)解:若直線的斜率不存在時(shí),則,此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn),滿足條件;若直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為則, ,當(dāng)時(shí),方程無解,不滿足條件;當(dāng)時(shí),方程有一解,滿足條件;當(dāng)時(shí),令,化簡得:無解,所以不滿足條件;所以
7、滿足條件的直線有兩條和。(2)把代入整理得:(1)當(dāng)時(shí),。由0得且時(shí),方程組有兩解,直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。若A、B在雙曲線的同一支,須0 ,所以或。故當(dāng)或時(shí),A、B兩點(diǎn)在同一支上;當(dāng)時(shí),A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。點(diǎn)評(píng):與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條例5(1)求直線被雙曲線截得的弦長;(2)求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程解析:由得得(*)設(shè)方程(*)的解為,則有 得,(2)方法一:若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn),則設(shè)直線的方程為,它被雙曲線截得的弦為對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為, 由得(*)設(shè)方程(*)
8、的解為,則,且,得或。方法二:設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為,弦中點(diǎn)為,則得:, 即, 即(圖象的一部分)點(diǎn)評(píng):(1)弦長公式;(2)有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法。例7過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線,且與雙曲線的兩支相交,求該雙曲線離心率的范圍。解析:設(shè)雙曲線的方程為,漸近線,則過的直線方程為,則,代入得即得,即得到。點(diǎn)評(píng):直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系,取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系題型3:直線與拋物線的位置關(guān)系例8已知拋物線方程為,直線過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3,求p的值。解析:設(shè)與拋物線交于由距離公式|AB|=由從而由于p0,解得點(diǎn)評(píng):方程組
9、有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交;有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切;無實(shí)數(shù)解則相離。例92020上海春,4)直線y=x1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.答案:(3,2)解法一:設(shè)直線y=x1與拋物線y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中點(diǎn)為P(x0,y0)。由題意得,(x1)2=4x,x26x+1=0。x0=3.y0=x01=2.P(3,2)。解法二:y22=4x2,y12=4x1,y22y12=4x24x1,=4.y1+y2=4,即y0=2,x0=y0+1=3。故中點(diǎn)為P(3,2)。點(diǎn)評(píng):本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法
10、。例10(2020山東卷文)設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為( ). A. B. C. D. 【解析】拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,則直線的方程為,它與軸的交點(diǎn)為A,所以O(shè)AF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B. 【答案】B【命題立意】:本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線的點(diǎn)斜式方程和三角形面積的計(jì)算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數(shù)的符號(hào)不定而引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點(diǎn)位置的相應(yīng)變化有兩種情況,這里加絕對(duì)值號(hào)可以做到合二為一.例11(2020全國卷文)已知直線與拋物線C:相交A、B兩
11、點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn)。若,則k=(). . . .【解析】本題考查拋物線的第二定義,由直線方程知直線過定點(diǎn)即拋物線焦點(diǎn)(2,0),由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求k=【答案】D五【思維總結(jié)】1加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí)由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長、垂直問題,因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。而不求法與弦長公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查;2關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y,間接把它們聯(lián)系起來,減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系,利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易,化繁為簡,收到意想不到的解題效果;3直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題,實(shí)際上是研究它們的
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