解析空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（通用）

1、解析空間矢量在立體幾何中的應(yīng)用傳統(tǒng)的立體幾何課程重視公理系統(tǒng)，強(qiáng)調(diào)綜合處理。長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)生在這種訓(xùn)練下形成了很強(qiáng)的邏輯推理和論證能力。吳文俊老師在數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問(wèn)題中指出：“數(shù)學(xué)研究的是量與空間形式的關(guān)系，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是形與數(shù)的關(guān)系對(duì)于幾何來(lái)說(shuō)，要研究幾何形式，就必須真正的起飛，沒(méi)有量的關(guān)系，我想不出什么好的辦法，當(dāng)然，歐幾里德的漂亮定理是豐富的，漂亮的證明是豐富的”向量是數(shù)與形的完美結(jié)合，它在處理立體幾何的角度和距離時(shí)非常有用。首先，空間角度的矢量法空間各種角度的計(jì)算一直是立體幾何教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。借助矢量角公式，可以方便地避免找角的過(guò)程，而是通過(guò)矢量角的計(jì)算。角度公式：假設(shè)然后本文分析了近年

2、來(lái)該公式在求解直線平面角和二面角中的應(yīng)用。1.不同平面上直線夾角的計(jì)算通常，由具有不同平面的直線形成的角度可以通過(guò)選擇具有不同平面的直線上的兩個(gè)非零向量的和并找到這兩個(gè)向量之間的角度來(lái)獲得例1(廣東卷2020)如圖5所示，AF和DE分別為0和1的直徑。AD垂直于兩個(gè)圓所在的平面，AD=8，BC是直徑0，AB=AC=6，OE/AD。(1)找出平衡重與平衡重之間的角度解決方案：以0為原點(diǎn)，以BC、AF、OE的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，然后是0(0，0，0)，A (0，0)，B(，0，0)，D (0，8)，E (0，0，8)。(0，0)所以，假設(shè)由非平面直線BD和EF形成的角度為

3、，由直線BD和EF形成的角度為方法概述：解決直線在不同平面上形成的角度計(jì)算時(shí)，通常先建立空間直角坐標(biāo)系，然后用計(jì)算得到的兩個(gè)矢量的坐標(biāo)計(jì)算夾角公式。需要特別注意的是，向量之間的夾角范圍是，而不同平面上直線形成的角度范圍是，因此必須注意，最終的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該取正值。二面角的計(jì)算二面角的計(jì)算可以通過(guò)平面法向量之間的夾角來(lái)實(shí)現(xiàn)，然后轉(zhuǎn)化為平面法向量的求解。最后，應(yīng)該注意的是，如果法向量在同一個(gè)方向，它的夾角就是二面角的余角，如果它不在方向上，它就是二面角的平面角。例2(福建卷2020)如圖所示，在直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，f是CE上的點(diǎn)，BF平面ACE。()

4、求二面角的大?。唤鉀Q方法：以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，直線O，OE為X軸，直線AB為Y軸，通過(guò)平行于AD的O點(diǎn)的直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示AE平面BCE，是平面BCE,AEBE，在直角三角形AEB中，AB=2，o是AB的中點(diǎn)oe=1,a(0,-1,0),e(1,0,0),c(0,1,2)，讓平面的法向量AEC=(x，y，z)，那就解決了設(shè)x=1，得到=(1，-1，1)，它是平面EAC的法向量，平面BAC的法向量是=(1，0，0)。cos()=二面角B-AC-E是弧角。方法概述：利用法向量求解二面角的平面角時(shí)，必須注意判斷法向量之間的方向。第二，空間距離的計(jì)算用矢量法求解距

5、離主要有兩種方法，即距離公式法和正投影法。(1)設(shè)置，然后(2)如圖所示，從點(diǎn)A到平面A的距離等于A的對(duì)角線截面AB在法向量A上的正投影長(zhǎng)度，即d=A1B1=a和B是不同平面上的直線。如果ba，AA是A的向量，A1和B1是A和B上方兩點(diǎn)的正投影，則A和B之間的距離為d=A1B1=例3 (2003年高考)如圖所示，在直三棱鏡中，底部是一個(gè)等腰直角三角形， ACB=90，側(cè)邊aa1=2，d和e分別是CC1和A1B的中點(diǎn)，e點(diǎn)的投影在解決方案(一)如圖所示，建立一個(gè)坐標(biāo)系，原點(diǎn)是C，設(shè)CA=2a，然后A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，A，1)，G， a=1，是平面ABD的法向量，并且a1b和平面ABD之間的角度是(即)。(ii)由(i) a (2，0，0)、a1 (2，0，2)、e (1，1，1)組成。D (0，0，1)，假設(shè)A1在AED平面上的投影是K(m，n，p)，那么,* a1kde,a1kae，那是A1K是平面AED的法向量，從A1點(diǎn)到平面AED的距離。上述基于平面法向量的解決方案非常簡(jiǎn)單，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵是先確定與問(wèn)題相關(guān)的平面及其法向量。如果圖中的法向量